高中數(shù)學(xué)-推理與證明復(fù)習(xí)總結(jié)

推理與證明

一、推理

?1.歸納推理

1）歸納推理的定義：從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納

推理。

2）歸納推理的思維過(guò)程大致如圖：

實(shí)驗(yàn)、觀察］-------T概括、推廣-------t猜測(cè)一般性結(jié)論

3）歸納推理的特點(diǎn)：

①歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。

②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)驗(yàn)檢

驗(yàn)，因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。

③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過(guò)歸納推理的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起

點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題。

?2.類比推理

1）根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉?/p>

相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。

2）類比推理的思維過(guò)程是：

觀察、比較|--------聯(lián)想、類推?-------，推測(cè)新的結(jié)論

?3.演繹推理

1）演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴(yán)格的

邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程。

2）主要形式是三段論式推理。

3）三段論式常用的格式為：

M——P（M是P）①

S——M（S是M）②

S——P（S是P）③

其中①是大前提，它提供了一個(gè)一般性的原理；②是小前提，它指出了一個(gè)特殊對(duì)象；

③是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對(duì)特殊情況做出的判斷。

二、證明

?1.直接證明：是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證

結(jié)論的真實(shí)性。直接證明包括綜合法和分析法。

綜合法就是"由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推

出要證的結(jié)論。

分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的

式子，可稱為“由果索因"。

要注意敘述的形式：要證，，只要證B,8應(yīng)是/成立的充分條件.分析法和綜合法常

結(jié)合使用，不要將它們割裂開。

?2.間接證明：即反證法：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)

論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。

反證法的一般步驟是：反設(shè)一推理——矛盾——原命題成立。（所謂矛盾是指：與

假設(shè)矛盾；與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已證明了的結(jié)論矛盾；與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾）.

常見的"結(jié)論詞"與"反議詞"如下表：

原結(jié)論詞反議詞原結(jié)論詞反議詞

至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)所有的X都成立存在某個(gè)X不成立

至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意X不成立存在某個(gè)X成立

至少有〃個(gè)至多有個(gè)夕或qr夕且rq

至多有“個(gè)至少有a+1個(gè)夕且qr夕或rq

“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提-------已知的一般結(jié)論；⑵小前提

-------所研究的特殊情況；⑶結(jié)論-------根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。

一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證

明原命題成立，這種證明方法叫反證法。

1、已知數(shù)列｛怎｝的前門項(xiàng)和用=’.即522),且為=1,通過(guò)計(jì)算的,。3，4，猜想

斯=()

2222

A、5+1)2B、?(?+1)C、2*—1D、2”1

al=l

a2=l/3

a3=l/6

a4=l/10

an=l/[l+2+...+(n-l)+n]=l/[(l+n)*n/2]

2、已知為=1,4+1>環(huán)，且區(qū)+1一%)2-24+1+%)+1=0,計(jì)算a2,%，然后猜想即=

()

A、nB、n2C、n3D、+3--Jn

3、設(shè)條件甲：x=O,條件乙：x+y/(x，X/?)是純虛數(shù)，則()

A、甲是乙的充分非必要條件B、甲是乙的必要非充分條件

C、甲是乙的充分必要條件D、甲是乙的既不充分，又不必要條件

解：根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，x+yi為純虛數(shù)的充要條件是x=O,浮0."若x=O則x+yi為純虛

數(shù)"是假命題，反之為真.-.x,yeR,則"x=O"是"x+yi為純虛數(shù)"的必要不充分條件

故選B

4、已知關(guān)于X的方程層-(2/-1)*+3/77-/=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)/77應(yīng)取的值是()

A、m>-4B、m<-4C、m-12D、m--12

XA2-(2i-l)x+3m-i=0

(xA2+x+3m)-(2x+l)i=0

x=-l/2

代入得到m=l/12

5、設(shè)/?+,R-,例分別表示正實(shí)數(shù)集，負(fù)實(shí)數(shù)集，純虛數(shù)集，則集合加{加|6GM是()

A、個(gè)B、R-C、/?U/?-D、R-U{0}

6、若2+3/是方程*+mx+/7=0的T根，則實(shí)數(shù)〃的值為()

A、m=4,/7=-3B、m=-4,n=13

C、m=4,n=-21D、m--4,/7=-5

7、下列表述正確的是().

①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一

般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.

A.①②③；B.②③④；C.②④⑤；D.①③⑤.

8、下面使用類比推理正確的是().

A.“若”.3=兒3,則。="'類推出"若。?O=/rO,則a=b"

B."^(a+b)c=ac+bc"類推出"(a-b)c=ac-bc"

C.”若(a+O)c=ac+仇;"類推出"色也=0+(MO)”

ccc

nnn

D."(ab￥=ab"類推出"(a+b￥=優(yōu)+b"

9、有一段演繹推理是這樣的："直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線

平面a，直線au平面a，直線bII平面a，則直線bII直線a"的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，

*

這是因?yàn)?)

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C推郵式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤

10、用反證法證明命題：”三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是()。

(A)假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；(B)假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；

(C)假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；(D)假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。

11、在十進(jìn)制中2004=4x10°+0x1(?+0x102+2x1()3,那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折

合成十進(jìn)制為()

A.29B.254C.602D.2004

l-an+2

12、利用數(shù)學(xué)歸納法證明"l+a+a2+...+an+i=「,(a〃,neNf時(shí)，在驗(yàn)

\-a

證n=l成立時(shí)，左邊應(yīng)該是()

(A)l(B)l+a(C)l+a+a2(D)l+a+a2+a3

13、某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n=k也GN.)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)〃=%+1

時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)〃=7時(shí)該命題不成立，那么可推得()

A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立

C.當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n=8時(shí)該命題成立

14、用數(shù)學(xué)歸納法證明"(〃+1)(〃+2)…(〃+〃)=2”?1?2…一(2〃-1)"(〃eN+)時(shí),

從"〃=%到〃=左+1"時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是()

_..2女+12k+2

A.2k+1B.2(2k+1)C.--------D.---------

k+\k+l

①當(dāng)n=l時(shí)，左邊=2,右邊=2,等式成立。

A

②設(shè)當(dāng)n=k,時(shí)等式成立，BP(k+l)(k+2)...(k+k)=2k.l.3...(2k-l)

當(dāng)n=k+l時(shí),左邊=(k+2)(k+3)....(k+k)(k+K+l)(k+k+2)

=2Ak.l.3.5...(2k-l).(2k+l)(2k+2)/(k+l)

=2A(k+l).1.3…(2k-l)(2k+l)

aiS=2A(k+l).1.3....[2(k+l)-l]=2A(k+l).1.3.....(2k+l)即左邊=右邊，等式成立

綜上：當(dāng)N屬于N+時(shí)，等式成立。

15、已知〃為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

1一!+!一!+…+1=2（—+―+…+1）時(shí),若已假設(shè)〃=%（%22為偶數(shù)）

時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）

A.〃=%+1時(shí)等式成立B.n=k+2時(shí)等式成立

C.〃=2攵+2時(shí)等式成立D.〃=2伏+2）時(shí)等式成立

16、數(shù)列｛凡｝中,ai=l,Sn表示前n項(xiàng)和，且Sn,Sn+i,2sl成等差數(shù)列，通過(guò)計(jì)算Si,

S2,S3,猜想當(dāng)n21時(shí)，Sn=（）

2"+12"-I/〃（〃+l）r,1

AA?Bn.C.—D-1-尹

17、（8分）求證：V6+V7＞2A/2+V5.

18、（14分）已知數(shù)列｛a〃｝滿足Sn+an=2n+l,（1）寫出力,力,力,并推測(cè)an的表達(dá)式；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。

一、1、B2、B3、B4、C5、B6、B6-16DCABBCABBB

17、證明：要證原不等式成立，

只需證（后+"）2＞（2后+石）2,

即證2房＞2面。

?.上式顯然成立,

.,?原不等式成立.

3715

18、解：Q)ai=1,為右二可，

猜測(cè)為=2--

2〃

(2)①由(1)已得當(dāng)〃=1時(shí)，命題成立；

②假設(shè)n=攵時(shí)，命題成立，即數(shù)=2-1，

2k

當(dāng)"=Z+1時(shí)，西+力++a左+a%+1+ak+1=2(Z+1)+1,且的+力++ak-2k

+1-a攵

:.2k+1-a%+2aai=2(〃+1)+l=2Ar+3,

；.2a?+i=2+2-加i=2-/，

即當(dāng)時(shí)，命題成立.

n=k+l

根據(jù)①②得都成立

nwN+,an=2-9

推理與證明

【最新考綱透析】

1,合情推理與演繹推理

(1)了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)

學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；

(2)了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單

推理；

(3)了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。

2.直接證明與間接證明

(1)了解直接證明的兩種基本方法一^分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考

過(guò)程、特點(diǎn)；

(2)了解間接證明的一種基本方法一反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。

3.數(shù)學(xué)歸納法

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。

【核心要點(diǎn)突破】

要點(diǎn)考向1:合情推理

考情聚焦：1.合情推理能夠考查學(xué)生的觀察、分析、比較、聯(lián)想的能力，在高考中越

來(lái)越受到重視；

2.呈現(xiàn)方式金榜經(jīng)，屬中檔題。

考向鏈接：1.歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先

根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論；

2.類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具

有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì)。在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的

推理過(guò)程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)。

例1：(2010?福建高考文科16)觀察下列等式：

①cos2a=2cos?a-1;

②cos4a=8cos,a-8cos2a+1;

③cos6a=32cos6a-48cos4a+18cos2a-1;

④cos8a=128cos'a-256cos6a+160cos4a-32cos2a+1;

(5)coslOa=mcos10a-1280cos8a+1120cos6a+ncos4a+pcos2a-1.

可以推測(cè)，m-n+p=.

【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對(duì)系數(shù)進(jìn)行猜測(cè)求解.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)歸納推理可得.

【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1,???m-1280+1120+n+p-1=1,

.,.m+n+p=162p=10>5=5Qm士曲n=-400m—n+p=962

【答案】962.

要點(diǎn)考向2:演繹推理

考情聚焦：1.近幾年高考，證明題逐漸升溫，而其證明主要是通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行的；

2.主要以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中、高檔題。

考向鏈接：演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過(guò)程主要是通過(guò)演繹推理進(jìn)行

的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確，一定

要注意推理過(guò)程的正確性與完備性。

例2:（2010?浙江高考理科?T14）設(shè)

〃22,〃￡N,（2元+—）n—（3x+—）/?=%+CL^X++…+?］亡，

將同（Od）的最小值記為（，則q=0Z=提—/Z=0Z=或—…，卻…

其中北=.

【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的推理規(guī)則是關(guān)鍵.

【思路點(diǎn)撥】觀察7；的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn).

【規(guī)范解答】觀察T"表達(dá)式的特點(diǎn)可以看出<二°，（=°........當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1=°;

_±__L_±_1

，3、，T5一2535............??當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，（T一2"3”.

0，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)

T"=<《1一，1當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)

【答案】123

要點(diǎn)考向3:直接證明與間接證明

考情聚焦：1.直接證明與間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩種思維方式，考查了學(xué)生的邏輯思

維能力，近幾年高考對(duì)此部分的考查有所加強(qiáng)。

2.以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題目。

例3:(2010?北京高考文科?T20)

已知集合S“={X|X=(x”X2,為e{0,l},i=l,2「：〃}(〃22)對(duì)于

4=(4，%,…，8=(4也,…2，)eS“，定義A與B的差為

4一3=(|4-偽|,鬼一打\,'"\an-h?|);

A與B之間的距離為d(A,B)=丑㈤-b\

/=1

(I)當(dāng)廿5時(shí)，設(shè)4=(0,1,0,0,1),3=(1,1,1,0,0),求4一3,d(A,B);

(n)證明：VA,fi,CeS?,WA-BeS?,且。(A—C,3-C)=d(A,3);

(DI)證明：VAB,CwS“,d(A8),d(AC),d(B,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)

【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力。本題情景是全新的，對(duì)學(xué)生

的"學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求。要求教師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生"學(xué)

習(xí)能力"、"創(chuàng)新能力"的培養(yǎng).

【思路點(diǎn)撥】(I)(n)直接按定義證明即可；(in)"至少”問(wèn)題可采用反證法證明.

【規(guī)范解答】(I)A-8=(|。-1|,|1叫|。-1|,|。-。卬-Q)=(1,0,1,0,1)

^(AB)=|0-l|+|l-l|+|0-l|+|0-0|+|l-0|=3

(n)設(shè)A=(4M2,…,q)B=(4也，…也),C=(q,C2,…,C")wS“

因?yàn)?，4€{0,1}所以卜4—么|e{0,l}(i=1,2,…

從而A-B=(何-41他-可,…|)c5.

由題意知4，4，qe{°，1}a=Lz…

當(dāng)q=0時(shí)，忖-7-打一c4=k一修

c

當(dāng)q=1時(shí)||?,--G|-1^-/||=|(1-?,?)-(1-bt)|=\at-Z>;|

d(A_C,3_C)=Z|a,f|=d(AB)

所以i

(HI)證明:設(shè)A=(q，4,…，4),6=(4也，…也),C=(C[,C2,…,c/eS、

d(A,B)=k,d(A,C)=I,d(B,C)=h

記0=(0,0,…O)eS“由(口)可知

d(A,B)=d(A-A,B-A)=d(Q,B-A)=k

d(A,C)=d(A—A,C—A)=d(0,C-4)=/

d(B,C)=d(B-A,C-A)=h

所以14fl(i=1,2,???，〃)中1的個(gè)數(shù)為k1。-41a=1，2L〃)中1的個(gè)數(shù)為/

設(shè),是使內(nèi)一⑷=J-4=1成立的i的個(gè)數(shù)。^h=l+k-2t

由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，

即d(A,B\d(A,C),d(B,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).

注：(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個(gè)結(jié)論不成立的例子即可；

(2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩個(gè)方法，我們常用分析法尋找解決問(wèn)題的突破口，

然后用綜合法來(lái)寫出證明過(guò)程，有時(shí)候，分析法和綜合法交替使用。

要點(diǎn)考向4:數(shù)學(xué)歸納法

考情聚焦：1.新課標(biāo)區(qū)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的考查在去年有加強(qiáng)的趨勢(shì)，望能引起足夠的重

2.以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題。

例4:等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為工，已知對(duì)任意的〃wN+，點(diǎn)(〃S,),均在函

數(shù)y=6'+?。＞0且b工1力,「均為常數(shù))的圖像上.

(1)求r的值;

(11)當(dāng)5=2時(shí)，記勿=2(10例，+崎(N+

證明：對(duì)任意的HGN*,不等式%上*?&B……％±1＞冊(cè)工J成立

白Ab.

【解析】因?yàn)閷?duì)任意的〃eN+,點(diǎn)(〃,5“)，均在函數(shù)曠=。'+廣伯＞0且/2。1,4廠均為常數(shù)

的圖像上.所以得5?=夕+「，當(dāng)〃=1時(shí),q=￡=b+r,當(dāng)〃22

時(shí)a“==夕+r-("一+r)=b"-"t=3―1)/,又因?yàn)閧qj為等比數(shù)列，所以

「=一1公比為方，為=(8—1)"1

(2)當(dāng)b=2時(shí)，q=(b—I)"-=2"，bn=2(log2q,+1)=2(log22--'+1)=2n

_.b+12〃+1c-|X|/?.+1a+1b+13572〃+l

bn2nb}b2bn2462〃

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式華?罟……^411等,內(nèi)成立.

①當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=?，右邊=及，因?yàn)?＞血，所以不等式成立.

_/nr、csix1一L一■.公八，…n_/?.4_1+1仇+1357

②假以當(dāng)n=k時(shí)不等式成AZ,即-----=--.....■—=-TT爸UGT成立

々b2bk246

則當(dāng)0=^+1時(shí)，左邊=紀(jì)^.”2+14+1磯+13572左+12左+3

~bk--^7=57%2k'2k+2

ab2

>yn—^2Z+3卜2k+3)2"+1)?+4("+1)+1

>+2k+2-弋4(Z+1)F4(%+1)a+D+"高>收而

所以當(dāng)〃=%+1時(shí)，不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.

注：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式，命題關(guān)鍵在于"先看項(xiàng)"，弄

清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由n=k

到n=k+l時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)。

(2)在本例證明過(guò)程中，①考慮"n取第一個(gè)值的命題形式"時(shí)，需認(rèn)真對(duì)待，一般

情況是把第一個(gè)值供稿通項(xiàng)，判斷命題的真假，②在由n=k到n=k+l的遞推過(guò)程中，必

須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。

(3)在用數(shù)學(xué)歸納法證明的第2個(gè)步驟中，突出了兩個(gè)湊字，一"湊"假設(shè)，二"湊"

結(jié)論，關(guān)鍵是明確n=k+l時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由n=k到n=k+l時(shí)，命題形式之間的

區(qū)別和聯(lián)系。

【高考真題探究】

1.(2010?山東高考文科10)觀察(f)'=2x,(x4),=4x*134,(cosx)'=-sinx,由

歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(-%)=/(%)，記g⑴為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，

貝!Jg(-x)=()

(A)/(x)(B)-/(x)(C)g(x)(D)—g(x)

【規(guī)范解答】選D.通過(guò)觀察所給的結(jié)論可知，若/(x)是偶函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)g(x)是奇函

數(shù)，故選D.

2.(2010?陜西高考理科?T12)觀察下列等式：

13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102.....根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為

【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的幕式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下：

1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)。故第五個(gè)等式為：

13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.

【答案】13+23+33+43+53+63=212.

4.(2010?江蘇高考?T23)已知AABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。

(1)求證：cosA是有理數(shù)；

(2)求證：對(duì)任意正整數(shù)n,cosnA是有理數(shù)。

【命題立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證的能力與分析

問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

【思路點(diǎn)撥】(1)利用余弦定理表示cosA,由三邊a,Ac是有理數(shù)，求得結(jié)論；(2)可

利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【規(guī)范解答】方法一：(1)設(shè)三邊長(zhǎng)分別為,cos—+：一。,?.七力,，是有理

2bc

數(shù)，

從+c,2-/是有理數(shù)分母2兒為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉性,

.??十:一"必為有理數(shù),「.cosA是有理數(shù)。

2hc

(2)①當(dāng)〃=1時(shí)，顯然cosA是有理數(shù)；

當(dāng)九=2時(shí)，,「cos2A=2cos?A-1,因?yàn)閏osA是有理數(shù)，,cos2A也是有理數(shù)；

②假設(shè)當(dāng)n<k*22)時(shí)，結(jié)論成立,即coskA、cos(k-I)A均是有理數(shù)。

當(dāng)〃=%+1時(shí)，cos(k+1)A=cosMcosA—sinMsinA,

cos(Z+1)A=coskAcos/I——[cos(M-A)-cos(M+A)],

cos(A:+l)A=cosMcosA——cos(/:-l)/l+—cos(A:+l)A,

22

解得：cos伏+l)A=2cos加cosA-cos(k-l)A

,.cosA,cosfc4,cos(A-l)A均是有理數(shù)，，2cos加8$4-8$(火-1)人是有理數(shù)，

cos(A+1)A是有理數(shù)

即當(dāng)〃=上+1時(shí)，結(jié)論成立。綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n,cosnA是有理數(shù)。

5.(2009江蘇高考)設(shè)a2%>0,求證：3/+2b3>3(rb+lab1.

證明：3/+2b7,—(Serb+2ab2)-3a2(a-b)+2h2(b—ci)-(3a2—2b2)(a-b).

因?yàn)閍N%>0,所以a—〃NO,3a2-2b1>0,

從而(3/_2/)(a-切對(duì)，

即3a3+2Z/23a2。+2ab2.

6.(2008安徽高考)設(shè)數(shù)列｛q｝滿足q=0,%=⑹+1-c,ceM,其中c為實(shí)數(shù)

(I)證明：q€[0川對(duì)任意〃€*成立的充分必要條件是。€[0,1]；

(口)設(shè)0<c，<；,證明：a“…1-(3c)"-',"eN*；

(HI)設(shè)0<c<2，證明：a；+星+C>n+l-Y^-mcN*

31-3c

【解析】(I)必要性：..《=(),%=l-c,又???生€[(),1],二。融-c1,BPce[O,l].

充分性：設(shè)Ce[0,1],對(duì)任意neN*用數(shù)學(xué)歸納法證明e[0,1].

當(dāng)〃=1時(shí)，4=0G[0,1].

假設(shè)當(dāng)〃=A時(shí)，ake[0,l](fc...1)，則%?=ca；+1-c,,c+l-c=l,且

%+i=ca；+1—c鹿1—c0,tZj(.+16fO,I1.

由數(shù)學(xué)歸納法知，a.e[0,11對(duì)任意neN成立.

(II)設(shè)0<CY,，當(dāng)〃=1時(shí)，=0,結(jié)論成立；

當(dāng)〃…2時(shí)，=ca；_]+l-c,1—an—c(l—c^_x)=c(l—an_x)(1+an_t+.

0<c<；，由(I)知a,—e[。,1],二1+a”-i+a3,,3且1—a“…0,

2

(3c)(l-a?_2)^J(3。)"一'(1—q)=(3c)"T,

J

an...1-(3c)',n&N*.

(m)設(shè)o<c<\,當(dāng)"=i時(shí)，a\=o>2--^-，結(jié)論成立；

3l-3c

當(dāng)〃…2時(shí)，由(口)知/…1-(3C)"T>0,

a；>[1—(3C)"T]2=1-2(3c)i+(3°產(chǎn)”力>1-2(3c))’.

.-.a；+a-++a；=G+>n-1-2[(3c)+(3c)2++(3。嚴(yán)]

2[l-(3c)”]

=〃+1—>??+!—2

1—3c1—3。

一、選擇題

1.已知P是4的充分不必要條件，則F是「P的()

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

_1,11

2?設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則。+江"】。+7三個(gè)數(shù)（）

A、都大于2B、至少有一個(gè)大于2

C、至少有一個(gè)不大于2D、至少有一個(gè)不小于2

3在中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,=，則△ABC一定是（）

GA。B

（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等邊三角形（D）等腰直角三角形

4.5.已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈,若對(duì)于任意的x”芍eO（再H/），都有

/（土產(chǎn)）<）匕）："上）,則稱y=/（X）為。上的凹函數(shù).由此可得下列函數(shù)中的凹

函數(shù)為（）

23

（A）j=log2x（B）j=Vx（C）y=x（D）y=x

5.給定正整數(shù)n（n22）按下圖方式構(gòu)成三角形數(shù)表；第一行依次寫上數(shù)1,2,3，…，n,在

下面一行的每相鄰兩個(gè)數(shù)的正中間上方寫上這兩個(gè)數(shù)之和，得到上面一行的數(shù)（比下一行少

一個(gè)數(shù)），依次類推，最后一行（第n行）只有一個(gè)數(shù).例如n=6時(shí)數(shù)表如圖所示，則當(dāng)

n=2007時(shí)最后一行的數(shù)是（）

112

4861

202836

8121620

357911

123456

(A)251x22007(B)2007x22006(C)251x22008(D)2007x22005

6.如圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1,由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1,2,3,4,5,6的橫、

縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列｛an｝（neN*）的前12項(xiàng)（即橫坐標(biāo)為奇數(shù)項(xiàng)，縱坐標(biāo)為偶數(shù)項(xiàng)），按

如此規(guī)律下去，則a2009+a2010+a2Oil等于（）

(C)l006(D)2Oil

二、填空題

7.對(duì)于等差數(shù)列｛%｝有如下命題："若｛4｝是等差數(shù)列，卬=0,s、7是互不相等的正

整數(shù)，則有（s-D?,-（r-!）%=0"。類比此命題，給出等比數(shù)列也，｝相應(yīng)的一個(gè)正

確命題是：“________________________________________________

8.如果AAIBICI的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于AA2B2c2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則AAIB.ICI

是三角形，M2B2c2是三角形.（用"銳角"、"鈍角"或"直角"

填空）

9.在直角三角開鄉(xiāng)A8C中，兩直角邊分別為a、b,設(shè)h為斜邊上的高，貝城=5+'，

由此類比：三棱錐S-A5C的三個(gè)側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長(zhǎng)分別為b、c,

設(shè)棱推底面ABC上的高為/?，則.

三、解答題

10.觀察下表：

1,

2,3

4,5,6,7

8,9,10,11,12,13,14?,15,

問(wèn)：(1)此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少？

(2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？

(3)2010是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？

(4渥否存在neN*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227-213-120?若存在,

求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.已知數(shù)列{%}：%=1,4=2,q=r,az=4+2(n是正整數(shù)),與數(shù)列{b?}:

仇=1,a=0,4=T，仇=。，bll+4=bn("是正整數(shù)).記

Tn=b[%+b^a2+4%++bnan.

(1)若4+g+。3++42，求「的值；

(2)求證：當(dāng)〃是正整數(shù)時(shí)，Ti2n;

(3)已知「〉0，且存在正整數(shù)機(jī)，使得在工2,“+一兀M，，6,“M2中有4項(xiàng)為100.求

r的值，并指出哪4項(xiàng)為100.

22

12.已知數(shù)列{a“},>0,a,=0,a?+|+an+l-1=an(neN").記

Sn-a.+%+??,+ci.T--------------1------------------------------+,,,H--------------------------------------------------.

1+(2|(1+G1)(1+<z2)(1+q)(1+%)…(1+a”)

求證：當(dāng)〃wN?時(shí)，

(!)??<%；

(口)S?>n-2;

(DI)z,<3。

一、選擇題

1?【解析】選A.反證法的原理："原命題"與"逆否命題"同真假，即：若P=>q則％n-p.

2.【解析】選D.

5AabsinAsinB，八/八、

3【解析】選A.-----=——-二---；=——-tanAA=tan5，又因?yàn)锳,B￡(O,;r),

cosAcosBcosAcosB''

A=B;

4.【解析】選C.可以根據(jù)圖像直觀觀察；對(duì)于（C）證明如下：欲證

+々(/5)+/(々),即證（土戶）<當(dāng)其

,即證

~2T~

2

（X,+X2）<2x：+2x1,即證（巧一々J>0，顯然，這個(gè)不等式是成立的，且每一步可

逆，故原不等式得證；

5.【解析】選C.由題意知，112=7x24,48=6x23,20=5x22,故n行時(shí)，最后一行數(shù)為

(n+l)-2n-2,

所以當(dāng)n=2007時(shí),最后一行數(shù)為2008x22005=251x22008.

二、填空題

6?【解析】選B.觀察點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律可知，偶數(shù)項(xiàng)的值等于其序號(hào)的一半.a4n-3=n，a4n-l=f,

又2009=4x503-3,2011=4x503-1,..^2009=503,a2011=-50312010=1005,

?■?a2009+a2010+a2011=1005.

7?【解析】這是一個(gè)從等差數(shù)列到等比數(shù)列的平行類比，等差數(shù)列中+、-、x、+類比到等

比數(shù)列經(jīng)常

是x、+、（）"、灰5,類比方法的關(guān)鍵在于善于發(fā)現(xiàn)不同對(duì)象之間的"相似"，"相似"是

即武廣

類比的基礎(chǔ)。b:'=1.

r5-1

答案：若物,｝是等比數(shù)列，仇=1,S、，是互不相等的正整數(shù)，則有‘7T=1。

hs

C1111

8.答案：銳角鈍角

三、解答題

10?【解析】(1)?.第n+1行的第1個(gè)數(shù)是2n,n行的最后一個(gè)數(shù)是2n-l.

(2)2n-1+(2n-1+l)+(2n-1+2)+...+(2n-l)

「巨'+2"1J-2"1

2=3-2?3_2n-2.

(3).210=1024,2n=2048,1024<2010<2048,

.1.2010在第11行，該行第1個(gè)數(shù)是210=1024,由2010-1024+1=987,知2010是

第11行的第987個(gè)數(shù).

設(shè)第行的所有數(shù)之和為,第行起連續(xù)行的所有數(shù)之和為

(4)nann10Sn.

則2n3n22n1n12n+1n

an=3-2--2-,an+1=3-2--2-,an+2=3-2-2..........

2n+15n+7

an+g=3-2-2,

2n32n1

Sn=3(2-+2-+...+22n+15)_(2n-2+2n-l+...

2-1)2-2(2.1)

+2n+7)~6，~4-1