高中數(shù)學(xué)解題基本方法2

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法

—>配方法

配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形(配成"完全平方")的技巧，通過配方找到已知

和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運用"裂項"與"添

項"、"配"與"湊"的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為"湊配法"。

最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未

知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二

次曲線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)=a+2ab+b,將這個公式靈

活運用，可得到各種基本配方形式，如：

a+b=(a+b)—2ab=(a—b)+2ab；

a+ab+b=(a+b)—ab=(a—b)+3ab=(a+)+(b)；

a+b+c+ab+bc+ca=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]

a+b+c=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=(a+b—c)—2(ab-be—ca)=...

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1+sin2a=l+2sinacosa=(sina+cosa)；

x+=(x+)—2=(x-)+2；.....等等。

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項等比數(shù)歹U{a}中，a?a+2a?a+a?a=25,則a+a=?

2.方程x+y—4kx—2y+5k=0表示圓的充要條件是。

A.<k<lB.kv或k>lC.k￡RD.卜=或1C=1

3.已知sina+cosa=1,則sina+cosa的值為。

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=log(—2x+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

A.(-8,]B.[,+8)C.(-,]D」,3)

5.已知方程x+(a-2)x+a-l=0的兩根x、x,則點P(x,x)在圓x+y=4匕則實數(shù)a=_____。

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aa=a,將已知等式左邊后配方(a+a)易索番

案是：5o

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x-a)+(y-b)=r,解r>0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sina+cosa)—2sinacosa=1,求出sinacosa,然后求出

所求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3-。

II、示范性題組：

例1.已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角

線長為。

A.2B.C.5D.6

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,則，而欲求對角線長，將

其配湊成兩已知式的組合形式可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,由已知"長方體的全面積為11,其12條棱的長度之

和為24"而得:。

長方體所求對角線長為：===5

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和?個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析

三個數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。

這也是我們使用配方法的種解題模式。

例2.設(shè)方程x+kx+2=0的兩實根為p、q,若()+()W7成立，求實數(shù)k的取值范圍。

【解】方程x+kx+2=0的兩實根為p、q,由韋達定理得：p+q=-k,pq=2,

()+()====W7,解得kW—或k'o

又：p、q為方程x+kx+2=0的兩實根，/\=1<一8》0即k》2或kW—2

綜合起來，k的取值范圍是：一WkW—或者WkW。

【注】關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式"△"；已知方程有兩根時,

可以恰當(dāng)運用韋達定理。本題由韋達定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特

征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對"△"討論，結(jié)果將出錯,

即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對"△"的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這一點我們

要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a+ab+b=0,求()+()。

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為()+()+1=0,則=3(3為1的立方虛根)；或

配方為(a+b)=ab。則代入所求式即得。

【解】由a+ab+b=0變形得：()+()+1=0,

設(shè)3=,則3+3+|=0,可知3為I的立方虛根，所以：=,3==1。

又由a+ab+b=0變形得：(a+b)=ab,

所以()+()=()+()=()+()=3+=2。

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計算

表達式中的高次幕。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

【另解】由a+ab+b=0變形得：()+()+1=0，解出=后，化成三角形式，代入所求

表達式的變形式()+()后，完成后面的運算。此方法用于只是未聯(lián)想到3時進行解題。

假如本題沒有想到以上系列變換過程時，還可由a+ab+b=0解出：a=b,直接代入

所求表達式，進行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。

III、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=(x—a)+(x-b)(a、b為常數(shù))的最小值為。

A.8B.C.D.最小值不存在

2.a、B是方程x-2ax+a+6=0的兩實根，貝ij(a-1)+(B-1)的最小值是。

A.-B.8C.18D.不存在

3.已知x、yGR,且滿足x+3y—1=0,則函數(shù)t=2+8有<,

A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值

4.橢圓x-2ax+3y+a—6=0的一個焦點在直線x+y+4=0上，貝lja=。

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡：2+的結(jié)果是o

A.2sin4B.2sin4—4cos4C.—2sin4D.4cos4—2sin4

6.設(shè)F和F為雙曲線一y=l的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足NFPF=90°,則4FPF

的面積是o

7.若x>—1,則f(x)=x+2x+的最小值為。

8.已知<P<a〈口，cos(a-B)=,sin(a+B)=—,求sin2a的值。(92年高考題)

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax+Bx+C,給定m、n(m<n),且滿足A[(m+n)+mn]+2A[B(m+n)

—Cmn]+B+C—0。

①解不等式f(x)>0；

②是否存在一個實數(shù)t,使當(dāng)tW(m+t,n-t)時，f(x)〈0?若不存在，說出理由；若存在，

指出t的取值范圍。

10.設(shè)s>l,t>l,mSR.x=k?gt+logs,y=logt+logs+m(logt+logs),

①將y表示為x的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有?個實根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，

這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換

研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題

簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來,

隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和

推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究

方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知

或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通

過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4+2—220,先變形為設(shè)2=t(t>0),而變?yōu)槭煜さ囊辉?/p>

二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。

三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角

知識中有某點聯(lián)系進行換元。如求函數(shù)y=+的值域時，易發(fā)現(xiàn)xe[0,l],設(shè)*=5畝<1,a

G[0,],問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值

域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x+y=r(r>0)時，則可作三角代換

x=rcos0、y=rsin0化為三角問題。

均值換元，如遇到*+丫=$形式時，設(shè)x=+t,y=-t等等。

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范

圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如匕兒例

中的t>0和ae[0,],,

I、再現(xiàn)性題組：

l.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設(shè)f(x+l)=log(4—x)(a>l),則f(x)的值域是。

3.已知數(shù)歹!]{a}中，a=-1,a,a=a—a,則數(shù)列通項a=。

4.設(shè)實數(shù)x、y滿足x+2xy-1=0,則x+y的取值范圍是?

5.方程=3的解是?

6.不等式log(2—1)?log(2—2)〈2的解集是o

【簡解】1小題:設(shè)sinx+cosx=te[-WJy=+t-,對稱軸t=-1,當(dāng)t=,y=+；

2小題：設(shè)x+l=t(t2l),則f(t)=log[-(t-l)+4],所以值域為(-8,bg4]；

3小題：已知變形為一=-1,設(shè)b=,則b=—l,b=—l+(n-1)(-1)=-n,所以a=一；

4小題：設(shè)x+y=k,貝IIx—2kx+l=0,Z\=4k—420,所以k2l或kW—1；

5小題：設(shè)3=y,則3y+2y—1=0,解得y=,所以x=-1；

6小題：設(shè)log(2—l)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y〈l,所以xG(k)g,log3)。

II、示范性題組：

例1.實數(shù)x、y滿足4x—5xy+4y=5(①式)，設(shè)S=x+y,求+的值。(93年全

國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

【分析】由S=x+y聯(lián)想到cosa+sina=1,于是進行三角換元，設(shè)代入①式求S和S

的值。

【解】設(shè)代入①式得：4S—5S,sinacosa=5

解得S=；

/Wsin2aWl，3W8-5sin2aW13WW

+=+==

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2a=的有界性而求，即解不等式：||W1。

這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的"有界法"。

【另解】由S=x+y,設(shè)x=+t,y=—t,tG[—,],

則xy=±代入①式得：4S±5=5,

移項平方整理得100t+39S-l60S+100=0。

，39S-160S+100^0解得：WSW

，+=+==

【注】此題第一種解法屬于"三角換元法”，主要是利用已知條件S=x+y與三角公式

cosa+sina=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問題。

第二種解法屬于"均值換元法"，主要是由等式S=x+y而按照均值換元的思路，設(shè)x=+t、

y=-t,減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、

不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

和"均值換元法"類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設(shè)x=

a+b,y=a—b,這稱為"和差換元法"，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設(shè)x=a+b,y=a

—b,代入①式整理得3a+13b=5>求得aG[0J,所以S=(a-?b)+(a+b)=2(a+b)=+a

e[,],再求+的值。

例2.z^ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,+=—，求cos的值。(96年全

國理)

【分析】由已知"A+C=2B"和"三角形內(nèi)角和等于180°"的性質(zhì)，可得；由"A+C=

120°"進行均值換元，則設(shè),再代入可求cosa即cos。

【解】由AABC中已知A+C=2B,可得，

由A+C=120°,設(shè)，代入已知等式得：

+=+=+===—2,

解得：cosa=,即：cos=。

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以+=-

——2,設(shè)=—Fm,=-----m,

所以cosA=,cosC=，兩式分別相加、相減得：

cosA+cosC=2coscos=cos=,

cosA—cosC=_2sinsin=_sin=,

即：sin=—,=—,代入sin+cos=l整理得：3m—16m—12=0,解出m=6,代入cos==。

【注】本題兩種解法由"A+C=120°"、"+=-2"分別進行均值換元，隨后結(jié)合三角形

角的關(guān)系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當(dāng)熟

練。假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由A+C=2B,得A+C=120°,

B=60°。所以+=—=—2,即cosA+cosC=-2cosAcosC,和積互化得：

2coscos=—[cos(A+C)+cos(A-C),即cos=—cos(A-C)=—(2cos—1),整理得：4cos+2cos

-3—0,

解得：cos=

y

，，

-X

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx,cosx—2a的最大值和最小值。

【解】設(shè)sinx+cosx=t,則te由(sinx+cosx)=l+2sinx?cosx得：sinx?cosx=

???f(x)=g(t)=-(t-2a)+(a>0),te[-,]

t=-時，取最小值：一2a—2a—

當(dāng)2a2時，t=,取最大值：-2a+2a—；

當(dāng)0<2aW時，t=2a,取最大值：。

f（x）的最小值為一2a—2a—,最大值為。

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx?cosx的內(nèi)

在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換

元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（tG[-,]）與sinx+cosx對應(yīng)，否則將會出錯。本題解

法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定

參數(shù)分兩種情況進行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值

和最小值的題型時，即函數(shù)為f（sinx±cosx,sinxcsox）,經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化

為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。

例4.設(shè)對所于有實數(shù)X,不等式xlog+2xlog+log>0恒成立，求a的取值范圍。（87年

全國理）

【分析】不等式中l(wèi)og、log.log三項有何聯(lián)系？進行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，

再實施換元法。

【解】設(shè)log=t,貝!Jlog=log=3+log=3—log=3—t,log=21og=-2t,

代入后原不等式簡化為（3-t）x+2tx-2t>0,它對一切實數(shù)x恒成立，所以：

，解得二t<0UPlog<0

0?1,解得

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何

設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og、log、log三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題

時，使用了"判別式法"。另外，本題還要求對數(shù)運算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不

等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當(dāng)變形，發(fā)

現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。

例5.已知=,且十=（②式），求的值。

【解】設(shè)==匕則sin0=kx,cos0=ky,且sin。+cos。=k（x+y）=1,代入②式得：+

即：+=

設(shè)=t,則t+=,解得：t=3或=土或土

【另解】由==18。，將等式②兩邊同時除以，再表示成含tg。的式子：l+tgQ==tg

9,設(shè)tgO=t,則3t-10t+3=0,

，t=3或，解得=±或±。

【注】第一種解法由=而進行等量代換，進行換元，減少了變量的個數(shù)。第二種解法將

已知變形為=，不難發(fā)現(xiàn)進行結(jié)果為tgO,再進行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較

熟練。在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。

例6.實數(shù)x、y滿足+=1,若x+y—k>0恒成立，求k的范圍。

【分析】由已知條件+=1,可以發(fā)現(xiàn)它與a+b=l有相似之處，于是實施三角換元。

【解】由+=1,設(shè)=<：050,=sin0,

即：代入不等式x+y—k>0得：

3cos0+4sin?！猭>0（即k<3cos0+4sin0=5sin（（）+W）

所以k<-5時不等式恒成立。

【注】本題進行三角換元，將代數(shù)問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式

恒成立的問題，再運用"分離參數(shù)法"轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般

地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有

關(guān)問題時，經(jīng)常使用“三角換元法"。

y

X

x+y-k>0

平面區(qū)域

本題另?種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式ax+by

+c>0(a>0)所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=O所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。

此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上x+y-k>0的區(qū)域。即

當(dāng)直線x+y—k=0在與橢圓下部相切的切線之下時。當(dāng)直線與橢圓相切時，方程組有相等

的一組實數(shù)解，消元后由△=()可求得k=-3,所以kv-3時原不等式恒成立。

IIL鞏固性題組：

1.已知Rx)=lgx(x>0),則f(4)的值為。

A.21g2B.Ig2C.Ig2D.Ig4

2.函數(shù)y=(x+l)+2的單調(diào)增區(qū)間是。

A.[-2,+°°)B.[-1,4-00)D.(.00,4-00)c.(-8,-1]

3.設(shè)等差數(shù)歹I」｛a｝的公差d=,且S=145,則a+a+a+……+a的值為。

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x+4y=4x,則x+y的范圍是。

5.已知a》0,b20,a+b=l,則+的范圍是。

6.不等式〉ax+的解集是(4,b),則2=,b=.

7.函數(shù)y=2x+的值域是?

8.在等比數(shù)列｛a｝中，a+a+...+a=2,a+a+...+a=12,求a+a+...+a。

yDC

AB

0x

9.實數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對任意實數(shù)x,不等式sinx+2mcosx+4m—1<0恒成立。

10.已知矩形ABCD,頂點C(4,4),A點在曲線x+y=2(x>0,y>0)上移動，且AB、AD始

終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。

三、待定系數(shù)法

要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)

的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件

是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具

有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個

問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達式，

如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求

復(fù)數(shù)、解析兒何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達形式，所以都可以用待定

系數(shù)法求解。

使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；

第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：

①利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；

②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；

③利用定義本身的屬性列方程；

④利用幾何條件列方程。

比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，

其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所

得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入己經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓

錐曲線的方程。

I、再現(xiàn)性題組：

1.設(shè)f(x)=+m,f(x)的反函數(shù)f(x)=nx—5,那么m、n的值依次為。

A.,-2B.—,2C.,2D.—,—2

2.二次不等式ax+bx+2>0的解集是(一,)，則a+b的值是。

A.10B.-10C.14D.-14

3.在(l—x)(1+x)的展開式中，x的系數(shù)是。

A.-297B.-252C.297D.207

4.函數(shù)y=a—bcos3x(b<0)的最大值為，最小值為一，則y=-4asin3bx的最小正周期是

5.與直線L：2x+3y+5=0平行且過點A(l,-4)的直線U的方程是。

6.與雙曲線x-=l有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是。

【簡解】1小題：由f(x)=+m求出f(x)=2x—2m,比較系數(shù)易求，選C；

2小題：由不等式解集(一,)，可知一、是方程ax+bx+2=0的兩根，代入兩根，列出關(guān)

于系數(shù)a、b的方程組，易求得a+b,選D；

3小題：分析x的系數(shù)由C與(-1)C兩項組成，相加后得x的系數(shù)，選D；

4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；

5小題:設(shè)直線U方程2x+3y+c=0,點A(l,⑷代入求得C=10,即得2x+3y+10=0；

6小題：設(shè)雙曲線方程x-=A，點(2,2)代入求得入=3,即得方程一=1。

H、示范性題組：

例1.已知函數(shù)丫=的最大值為7,最小值為一1,求此函數(shù)式。

【分析】求函數(shù)的表達式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實際

是就是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到"判別式法"。

【解】函數(shù)式變形為：(y—m)x—4x+(y—n)=0,xGR,由已知得y-mWO

△=(—4)—4(y—m)(y—n)》0即：y-(m+n)y+(mn—12)^0①

不等式①的解集為(-1,7),則一1、7是方程y—(m+n)y+(mn—12)=0的兩根，

代入兩根得：解得：或

?*.丫=或者丫=

此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y+l)(y—7)W0,即y—6y—7W0,然后與不等式①比較系數(shù)而

得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。

【注】在所求函數(shù)式中有兩個系數(shù)m、n需要確定，首先用"判別式法"處理函數(shù)值域問

題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。

兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫

出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的

解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的"判別式法"：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參

數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用△》(),建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出

y的范圍就是值域，使用"判別式法"的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成?個一元二次方程。

例2.設(shè)橢圓中心在(2,-1),它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較

近的端點距離是一，求橢圓的方程。

yB'

AFO'F'A'

B

【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。

設(shè)a、b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一,個方程，再將焦點與長軸較近端點

的距離轉(zhuǎn)化為a-c的值后列出第二個方程。

【解】設(shè)橢圓長軸設(shè)、短軸2解焦距2c,則|BF|=a

解得：

二所求橢圓方程是：+=1

也可有垂直關(guān)系推證出等腰RtaBBF后，由其性質(zhì)推證出等腰RtZSBOF,再進行如下

列式：，更容易求出a、b的值。

【注】圓錐曲線中，參數(shù)(a、b、c、e、p)的確定，是待定系數(shù)法的生動體現(xiàn)；如何

確定，要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)(a、b>c、e)不

變，本題就利用了這一特征，列出關(guān)于a-c的等式。

一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程(或

幾何數(shù)據(jù))一幾何條件轉(zhuǎn)換成方程一求解一已知系數(shù)代入。

例3.是否存在常數(shù)a、b、c,使得等式1?2+2?3+...+n(n+l)=(an+bn+c)對一切自

然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。(89年全國高考題)

【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n=l、

2、3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對

所有自然數(shù)n都成立。

【解】假設(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n=l,得4=(a+b+c)；n=2,得22=(4a

+2b+c)；n=3,得70=9a+3b+c。整理得：

，解得，

于是對n=l、2、3,等式1?2+2?3+...+11(11+1)=(311+1111+10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸

納法證明對任意自然數(shù)n,該等式都成立：

假設(shè)對n=k時等式成立，即1?2+2?3+...+k(k+l)=(3k+llk+10)；

當(dāng)11=卜+1時,1?2+2?3+”.+k(k+l)+(k+l)(k+2)=(3k+llk+10)+(k+l)(k+2)

=(k+2)(3k+5)+(k+l)(k+2)=(3k+5k+12k+24)=[3(k+l)+ll(k+1)+10],

也就是說，等式對n=k+l也成立。

綜上所述，當(dāng)a=8、b=ll、c=10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。

【注】建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體

現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以按照先試值、再猜想、最

后歸納證明的步驟進行。本題如果記得兩個特殊數(shù)列1+2+...+n、1+2+...+n求和的公式,

也可以抓住通項的拆開，運用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n+l)=n+2n+n得S=1?2

+2?3+...+n(n+1)=(1+2+...+n)+2(l+2+...+n)+(l+2+...+n)=+2X+=(3n+1In

+10),綜上所述，當(dāng)a=8、b=ll、c=10時，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。

例4.有矩形的鐵皮，其長為30cm,寬為14cm,要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小

正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容

積是多少？

【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)

函數(shù)，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究。

【解】依題意，矩形盒子底邊邊長為(30—2x)cm,底邊寬為(14—2x)cm,高為xcm。

盒子容積V=(30—2x)(14—2x)x=4(15—x)(7—x)x,

顯然:15—x>0,7—x>0,x>0()

設(shè)V=(15a—ax)(7b—bx)x(a>0,b>0)

要使用均值不等式，則

解得：a=,b=,x=3。

從而V=(一)(—x)xW()=X27=576。

所以當(dāng)x=3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。

【注】均值不等式應(yīng)用時要注意等號成立的條件，當(dāng)條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以用"

待定系數(shù)法"求。本題解答中也可以令V=(15a-ax)(7—x)bx或(15—x)(7a-ax)bx,再由使

用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了"湊配

法"和"函數(shù)思想"。

III、鞏固性題組：

1.函數(shù)y=logx的xG[2,+8)上恒旬y|>i,則a的取值范圍是。

A.2>a>且aWlB.0<a<或l<a<2C.l<a<2D.a>2或0<a<

2.方程x+px+q=0與x+qx+p=0只有一個公共根，則其余兩個不同根之和為。

A.1B.-1C.p+qD.無法確定

3.如果函數(shù)y=sin2x+a?cos2x的圖像關(guān)于直線x=—對稱，那么a=。

A.B.-C.1D.-1

4.滿足C+1?C+2?C+...+n?C<500的最大正整數(shù)是。

A.4B.5C.6D.7

5,無窮等比數(shù)歹U{a}的前n項和為S=a-,則所有項的和等于。

A.-B.1C.D.與a有關(guān)

6.(1+kx)=b+bx+bx+…+bx,若b+b+b+…+b=—1,貝IIk=。

7.經(jīng)過兩直線llx-3y-9=0與12x+y-19=0的交點，且過點(3,-2)的直線方程為

8.正三棱錐底面邊長為2,側(cè)棱和底面所成角為60°,過底面一邊作截面，使其與底

面成30°角，則截面面積為。

9.設(shè)y=f(x)是一次函數(shù)，已知f(8)=15,且f(2)、f(5)、(fl4)成等比數(shù)列,求f(l)+f(2)+...

+f(m)的值。

10.設(shè)拋物線經(jīng)過兩點(-1,6)和(-1,-2),對稱軸與x軸平行,開口向右,直線y=2x+7和

拋物線截得的線段長是4,求拋物線的方程。

四、定義法

所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由

定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本

質(zhì)屬性來明確概念。

定義是千百次實踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點。

簡單地說，定義是基本概念對數(shù)學(xué)實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講

讓我們回到定義中去。

I、再現(xiàn)性題組：

1.已知集合A中有2個元素，集合B中有7個元素，AUB的元素個數(shù)為n,則.

A.2WnW9B.7WnW9C.5WnW9D.5WnW7

2.設(shè)MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，則?

A.MP<OM<ATB.OM<MP<ATC.AT?OM<MPD,OM<AT<MP

3.復(fù)數(shù)z=a+2i,z=-2+i,如果|z|v憶則實數(shù)a的取值范圍是.

A.—l<a<lB.a>lC.a>0D.a<—1或a>l

4.橢圓+=1上有一點P,它到左準(zhǔn)線的距離為，那么P點到右焦點的距離為。

A.8C.7.5C.D.3

5.奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T,則我一)的值為。

A.TB.0C.D,不能確定

6.正三棱臺的側(cè)棱與底面成45°角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為。

【簡解】1小題：利用并集定義，選B；

2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；

3小題：利用復(fù)數(shù)模的定義得<,選A；

4小題：利用橢圓的第二定義得到=e=,選A；

5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到出一)=f()=—f(一),選B：

6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。

11、示范性題組：

例1.已知z=l+i,①設(shè)w=z+3—4,求w的三角形式；②如果=1-i,

求實數(shù)a、b的值。(94年全國理)

【分析】代入z進行運算化筒后，運用復(fù)數(shù)三角形式和復(fù)數(shù)相等的定義解答。

【解】由z=l+i,有w=z+3—4=(1+i)+3—4=2i+3(1—i)—4=—1—i,w

的三角形式是(cos+isin)；

由z=l+i,有===(a+2)—(a+b)i。

由題設(shè)條件知：(a+2)-(a+b)i=1+i；

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得:，

解得。

【注】求復(fù)數(shù)的三角形式，?般直接利用復(fù)數(shù)的三角形式定義求解。利用復(fù)數(shù)相等的定

義，由實部、虛部分別相等而建立方程組，這是復(fù)數(shù)中經(jīng)常遇到的。

例2.已知f(x)=—x+cx,f(2)=-14,f(4)=-252,求y=logf(x)的定義域，判定在(J)

上的單調(diào)性。

【分析】要判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函

數(shù)的單調(diào)性定義判斷。

【解】解得：

f(x)=—x+x解f(x)>0得：O〈x〈l

設(shè)則f(x)—fi[x)=—x+x-(-x+x)=(x-x)[l-(x+x)(x+x)],

,/x+x>,x+x>(x+x)(x+x)〉X=1

f(x)-f(x)>o即f(x)在(,D上是減函數(shù)

???<1y=logf(x)在(,1)上是增函數(shù)。

A'A

D

CC

OH

B'B

【注】關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義解題。

本題還在求n、c的過程中，運用了待定系數(shù)法和換元法。

例3.如圖，已知ABC'-ABC是正三棱柱，D是AC中點。

①證明：AB，〃平面DBC；

②假設(shè)AB，_LBC,求二面角D-BC-C的度數(shù)。(94年全國理)

【分析】由線面平行的定義來證①問，即通過證AB，平行平面DBC內(nèi)的一條直線而得；

由二面角的平面角的定義作出平面角，通過解三角形而求②問。

【解】①連接B'C交BC于O,連接0D

,/AEC-ABC是正三棱柱

四邊形BBCC是矩形

0是BC中點

△ABC中，D是AC中點AB'Z/OD

AB'〃平面DBC

②作DH_LBC于H,連接0HDHJ_平面BCC

??AB，〃OD,AB'IBC/.BC'IOD

BC'±OH即NDOH為所求二面角的平面角。

設(shè)AC=1,作OEJ_BC于E,則DH=sin60°=,BH=,EH=；

為△BOH中，OH=BHXEH=,

Z.OH==DH/.ZDOH=45°,即二面角D-BC-C的度數(shù)為45°。

【注】對于二面角D-BC-C的平面角，容易誤認為/DOC即所求。利用二面角的平面角

定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH,再證得垂直于棱的

垂線DO,最后連接兩個垂足OH,則/DOH即為所求，其依據(jù)是三垂線定理。本題還要求

解三角形十分熟練，在RtABOH中運用射影定理求0H的長是計算的關(guān)鍵。

此題文科考生的第二問為：假設(shè)ABUBC,BC=2,求AB'在側(cè)面BBCC的射影長。

解答中抓住斜線在平面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影。其

解法如下：作AELBC于E,連接B'E即所求，易得到OE〃BB,所以==,EF=B'E,在

RtAiBBE中，易得到BFJ_.BE,由射影定理得：B，EXEF=BE即B舊=1,所以B，E=。

y

MF

Ax

例4.求過定點M(l,2),以x軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的下頂點的軌跡方程。

【分析】運動的橢圓過定點M,準(zhǔn)線固定為x軸，所以M到準(zhǔn)線距離為2。抓住圓錐曲

線的統(tǒng)一性定義，可以得到=建立一個方程，再由離心率的定義建立一個方程。

【解】設(shè)A(x,y)、F(x,m),由M(l,2),則橢圓上定點M到準(zhǔn)線距離為2,下頂點A到準(zhǔn)

線距離為y。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到：

,消m得：(x—1)+=1,

所以橢圓下頂點的軌跡方程為(x-1)+=1。

【注】求曲線的軌跡方程，按照求曲線軌跡方程的步驟，設(shè)曲線上動點所滿足的條件，

根據(jù)條件列出動點所滿足的關(guān)系式，進行化簡即可得到。本題還引入了一個參數(shù)m,列出的

是所滿足的方程組，消去參數(shù)m就得到了動點坐標(biāo)所滿足的方程，即所求曲線的軌跡方程。

在建立方程組時，巧妙地運用了橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義。一般地，圓錐曲線的點、

焦點、準(zhǔn)線、離心率等問題，常用定義法解決；求圓錐曲線的方程，也總是利用圓錐曲線的

定義求解，但要注意橢圓、雙曲線、拋物線的兩個定義的恰當(dāng)選用。

IIL鞏固性題組：

1.函數(shù)y=f(x)=a+k的圖像過點(1,7),它的反函數(shù)的圖像過點(4,0),則*x)的表達式是_。

2.過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影

分別為A、B,則/AFB等于。

A.45°B,60°C.90°D.120°

3.已知A={0,l},B={x|xA},則下列關(guān)系正確的是,。

A.ABB.ABC.AGBD.AB

4.雙曲線3x-y=3的漸近線方程是o

A.y=±3xB.y=±xC.y=±xD.y=±x

5.已知定義在R上的非零函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),則氏x)是。

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇既偶函數(shù)

6.C+C=。

7.Z=4(sinl40°-icosl40°),則復(fù)數(shù)的輻角主值是。

8.不等式ax+bx+c>0的解集是(1,2),則不等式bx+cx+a〈0解集是。

9.已知數(shù)歹U{a}是等差數(shù)列，求證數(shù)歹()也是等差數(shù)列，其中b=(a+a+...+a)。

10.已知F、F是橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點，其中F與拋物線y=l2x的焦點重合,

M是兩曲線的一個焦點，且有cos/MFF?cos/MFF=,求橢圓方程。

五、數(shù)學(xué)歸納法

歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸

納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物

全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察

了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。

數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有

著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n=1(或n)時成

立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n=k時命題成立，再證明n=k+l時命題也成立，

這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命

題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可

以斷定"對任何自然數(shù)(或nen且ndN)結(jié)論都正確"。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是

由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。

運用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n=k+l時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)

意識，注意與最終要達到的解題目標(biāo)進行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐

步減小，最終實現(xiàn)目標(biāo)完成解題。

運用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不

等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。

I、再現(xiàn)性題組：

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明6+1)(11+2)...(11+11)=27?2...(211—1)(nSN),從"k到k+1",

左端需乘的代數(shù)式為。

A.2k+lB.2(2k+l)C.D.

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明l+++...+〈n(n>l)時，由n=k(k>l)不等式成立，推證n=k+l

時，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個數(shù)是o

A.2B.2-1C.2D.2+1

3.某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n=k(kdN)時該命題成立，那么可推得n=k+l時該

命題也成立?，F(xiàn)已知當(dāng)n=5時該命題不成立，那么可推得。(94年上海高考)

A.當(dāng)n=6時該命題不成立B.當(dāng)n=6時該命題成立

C.當(dāng)n=4時該命題不成立D.當(dāng)n=4時該命題成立

4.數(shù)列｛a｝中，已知a=l,當(dāng)n22時a=a+2n—1,依次計算a、a、a后，猜想a的表

達式是。

A.3n—2B.nC.3D.4n—3

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明3+5(n￡N)能被14整除，當(dāng)n=k+l時對于式子3+5應(yīng)變形為

6.設(shè)k棱柱有f(k)個對角面，則k+1棱柱對角面的個數(shù)為f(k+l)=f(k)+。

【簡解】1小題：n=k時,左端的代數(shù)式是(k+l)(k+2)...(k+k),n=k+l時，左端的代

數(shù)式是(k+2)(k+3)...(2k+l)(2k+2),所以應(yīng)乘的代數(shù)式為，選B；