高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性講義第11講正態(tài)分布3種常考題型_第1頁
高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性講義第11講正態(tài)分布3種??碱}型_第2頁
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文檔簡介

第11講正態(tài)分布3種??碱}型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一:正態(tài)曲線①正態(tài)曲線:函數(shù)φμ,σ(x)=eq\f(1,\r(2π)σ),x∈(-∞,+∞),其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù),φμ,σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.②正態(tài)曲線φμ,σ(x)=eq\f(1,\r(2π)σ),x∈R有以下性質(zhì):1.曲線位于x軸上方,與x軸不相交;2.曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱;3.曲線在x=μ處達(dá)到最大值eq\f(1,σ\r(2π));4.曲線與x軸之間的面積為1;5.當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖①;6.當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”;σ越大,曲線越“矮胖”,如圖②.考點(diǎn)二:正態(tài)分布的性質(zhì)①正態(tài)分布:一般地,如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)等于正態(tài)分布曲線與軸所圍成的區(qū)域面積,則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定,因此正態(tài)分布常記作N(μ,σ2),如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則記為。(此時(shí),X不是離散型隨機(jī)變量,是連續(xù)型隨機(jī)變量。)②X~N(μ,σ2)中μ,σ的統(tǒng)計(jì)意義1.μ可取任意實(shí)數(shù),表示平均水平的特征數(shù),E(X)=;2.σ>0表示標(biāo)準(zhǔn)差,D(X)=σ2當(dāng)μ一定時(shí),σ越小,正態(tài)曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散考點(diǎn)三:正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3σ原則①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.②由P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974,知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi).而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.③在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之間的值,并簡稱之為3σ原則.【題型目錄】題型一:正態(tài)曲線題型二:利用正態(tài)分布求概率題型三:正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【典型例題】題型一:正態(tài)曲線【例1】設(shè)有一正態(tài)總體,它的概率密度曲線是函數(shù)的圖像,且,則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是(

).A.10與8 B.10與2 C.8與10 D.2與10【答案】B【分析】化簡函數(shù)為,得到,即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,即正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為與.故選:B.【例2】甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布,,其相應(yīng)的分布密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是(

)(注:正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為,)A.甲類水果的平均質(zhì)量B.乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量大D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的特征可得兩者的均值、方差的大小關(guān)系,結(jié)合正態(tài)分布密度曲線可判斷D,進(jìn)而即得.【詳解】由題圖可知甲圖象關(guān)于直線對(duì)稱,乙圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以,,,故A正確,C錯(cuò)誤;因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“高瘦”(曲線越“高瘦”,越小,表示總體的分布越集中),所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于均值左右,故B錯(cuò)誤;因?yàn)橐覉D象的最高點(diǎn)為,即,所以,故D錯(cuò)誤.故選:A.【例3】已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)(,)的圖像如圖所示,則(

)A., B.,C., D.,【答案】C【分析】由正態(tài)分布的圖像中對(duì)稱軸位置比較均值大小,圖像胖瘦判斷標(biāo)準(zhǔn)差的大小.【詳解】由題圖中的對(duì)稱軸知:,與(一樣)瘦高,而胖矮,所以.故選:C【例4】若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,記為,則關(guān)于的密度函數(shù)及其圖象,下列說法中錯(cuò)誤的是(

)A.當(dāng)時(shí),正態(tài)曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.正態(tài)曲線一定是單峰的C.曲線的峰值為D.當(dāng)無限增大時(shí),曲線無限接近軸【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可【詳解】對(duì)A,當(dāng)時(shí),正態(tài)曲線關(guān)于,即軸對(duì)稱,故A正確;對(duì)B,根據(jù)正態(tài)曲線函數(shù)的性質(zhì)可得正態(tài)曲線一定是單峰的,故B正確;對(duì)C,曲線在處取得峰值為,故C錯(cuò)誤;對(duì)D,當(dāng)無限增大時(shí),曲線無限接近軸,故D正確;故選:C【題型專練】1.李明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎自行車,他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到,假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布,.X和Y的分布密度曲線如圖所示.則下列結(jié)果正確的是(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線,結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性和性質(zhì),逐項(xiàng)判定,即可求解.【詳解】對(duì)于A中,隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,可得隨機(jī)變量的方差為,即,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B中,根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線圖像,可得隨機(jī)變量,所以,所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C中,根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像,可得時(shí),隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的曲線與圍成的面積小于時(shí)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的曲線與圍成的面積,所以,所以C正確;對(duì)于D中,根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像,可得,,即,所以D錯(cuò)誤.故選:C.2.(多選題)已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為(,),且的極大值點(diǎn)為,記,,則(

)A.B.C.D.【答案】BCD【分析】利用隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)可得到,可判斷A;利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上遞增,在上遞減,即的極大值點(diǎn)為,故可判斷B;根據(jù)密度曲線關(guān)于對(duì)稱,可判斷CD【詳解】對(duì)于A,由隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為可得,因?yàn)?,所以,所以隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,故錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)槎魏瘮?shù)在上遞增,在上遞減,由函數(shù)在上單調(diào)遞增,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得(,)在上遞增,在上遞減,所以的極大值點(diǎn)為,所以,所以隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,故正確;對(duì)于C,因?yàn)?,,又,所以,即,故正確;對(duì)于D,因?yàn)?,,所以,故正確;故選:BCD3.(多選題)關(guān)于正態(tài)密度曲線,下列說法正確的是(

)A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線的峰值為C.越大,曲線越“矮胖”D.對(duì)任意,曲線與軸圍成的面積總為1【答案】ACD【分析】根據(jù)密度曲線的解析式判斷ABC,由密度曲線的特點(diǎn)判斷D即可得解.【詳解】對(duì)于A,根據(jù)正態(tài)密度曲線可知,,,故,所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),的峰值為,故不正確;對(duì)于C,當(dāng)越大時(shí),的峰值越小,所以曲線形狀“矮胖”,故正確;對(duì)于D,由正態(tài)曲線的特點(diǎn)知,曲線與軸圍成的面積總為1,故正確.故選:ACD4.設(shè)隨機(jī)變量,X的正態(tài)密度函數(shù)為,則______.【答案】0【分析】由正態(tài)密度函數(shù)結(jié)構(gòu)直接可得.【詳解】由正態(tài)密度函數(shù)結(jié)構(gòu)特征可知,.故答案為:0題型二利用正態(tài)分布求概率【例1】某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布,下列結(jié)論中不正確的是(

)A.越大,該物理量在一次測量中在的概率越大B.C.D.越小,該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】A【分析】越大,正態(tài)密度曲線越“胖矮”,可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤;根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性,可知BCD正確.【詳解】為數(shù)據(jù)的方差,所以越大,數(shù)據(jù)在均值附近越分散,所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越小,故A錯(cuò)誤;由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確;由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知,該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等,故D正確.故選:A.【例2】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X<μ+σ)=(

)附:概率P(μ-σ≤X<μ+σ)P(μ-2σ≤X<μ+2σ)P(μ-3σ≤X<μ+3σ)近似值 【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得:∴故選:A.【例3】隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù),其圖象如圖所示,設(shè),則圖中陰影部分的面積為(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】解:由題意可知,則,故圖中陰影部分的面積為.故選:C.【例4】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,且,則(

) 【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解:因?yàn)榍?,所?故選:D【例5】已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可得,即可得到、關(guān)于對(duì)稱,從而得到方程,解得即可.【詳解】解:因?yàn)椋?,所以,所以,解?故選:D【例6】(多選題)設(shè)X是隨機(jī)變量,那么(

)A.若,則B.若,,則C.若,,則D.若,則【答案】ABC【分析】對(duì)于AD,根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)分析判斷,對(duì)于BC,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)分析判斷【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?,所以,所以,所以A正確,對(duì)于B,因?yàn)?,,所以,所以B正確,對(duì)于C,因?yàn)椋?,因?yàn)?,所以,所以,所以C正確,對(duì)于D,因?yàn)?,所以,所以,所以,所以D錯(cuò)誤,故選:ABC【例7】(多選題)將二項(xiàng)分布X~B(100,0.5)近似看成一個(gè)正態(tài)分布,其中,.設(shè),則Y~N(0,1),記,已知,,則(

)A., B.C. D.【答案】AC【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望與方差公式可求得,即可判斷A;根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可判斷B;根據(jù),結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可判斷C;根據(jù)正態(tài)分布的特征即可判斷D.【詳解】解:因?yàn)閄~B(100,0.5),所以,所以,故A正確;因?yàn)椋?,因?yàn)閅~N(0,1),所以,所以,故B錯(cuò)誤;若,則,所以,故C正確;,為固定值,正態(tài)分布是連續(xù)型的,連續(xù)型隨機(jī)變量取任何一個(gè)固定的值概率都是0,所以,故D錯(cuò)誤.故選:AC.【例8】(多選題)已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,其數(shù)學(xué)期望,隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則(

)A. B.C. D.【答案】BD【分析】由二項(xiàng)分布的均值知求得,即可判斷A,B,進(jìn)一步求出,又根據(jù)服從正態(tài)分布可求得,,即可判斷C,D.【詳解】因?yàn)?,所以,即A錯(cuò)誤,B正確;易知,因?yàn)?,所以,所以,即C錯(cuò)誤,D正確.故選:BD.【例9】已知隨機(jī)變量X,Y分別滿足,,且均值,方差,則________.【答案】【分析】由二項(xiàng)分布和正態(tài)分布的期望、方差公式建立方程,求解即可.【詳解】解:因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y分別滿足,,所以,,解得,故答案為:.【題型專練】1.已知兩個(gè)隨機(jī)變量,,其中,(),若,且,則(

) 【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的均值與正態(tài)分布的均值公式可得,再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解即可【詳解】由可得,即.又,由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可得故選:D2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,且,則(

) 【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求解.【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,所以正態(tài)分布的對(duì)稱軸為,根據(jù)對(duì)稱性可知:故選:D3.下列說法正確的是(

)A.“與是互斥事件”是“與互為對(duì)立事件”的充分不必要條件B.隨機(jī)變量,若,,則C.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則D.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且滿足,則隨機(jī)變量服從正態(tài)分布【答案】D【分析】對(duì)于A:利用互斥事件和對(duì)立事件的概念即可得出A錯(cuò)誤;對(duì)于B:利用二項(xiàng)分布的期望和方差公式求解即可判斷B錯(cuò)誤;對(duì)于C:利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可判斷出故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:利用正態(tài)分布的概念和期望方差公式求解即可得D正確;【詳解】對(duì)于A:與是互斥事件,但與不一定互為對(duì)立事件,與互為對(duì)立事件,則與一定是互斥事件,故“與是互斥事件”是“與互為對(duì)立事件”的必要不充分條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,若,,可得,,得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:由服從正態(tài)分布,得,.∵,則,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且滿足,則,,,,,故,即隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,故D正確;故選:D.4.隨機(jī)變量,已知其概率分布密度函數(shù)在處取得最大值為,則(

)附:. 【答案】B【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)求出,再利用特殊區(qū)間的概率及正態(tài)分布的性質(zhì)求解.【詳解】由題意,,,所以,,所以,.故選:B.5.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,若,則(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得:,,結(jié)合題意可求,進(jìn)而可求.【詳解】,則,∴,則,∴,故選:C.6.(多選題)某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,則下列結(jié)論正確的是(

)A.越大,則產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率越大D.該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率與落在內(nèi)的概率相等【答案】BC【分析】對(duì)于A,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)分析判斷,對(duì)于BCD,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A,越大,則數(shù)據(jù)越分散,所以產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率越小,所以A錯(cuò)誤,對(duì)于B,因?yàn)楫a(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,所以正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于50的概率為0.5,所以B正確,對(duì)于C,由選項(xiàng)B可知正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于50.01的概率與小于49.99的概率相等,所以C正確,對(duì)于D,由選項(xiàng)B可知正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以由正態(tài)分布的圖象可知該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率大于落在內(nèi)的概率,所以D錯(cuò)誤,故選:BC7.(多選題)下列說法正確的有(

).A.從10名男生,5名女生中選取4人,則其中至少有一名女生的概率為B.若隨機(jī)變量,則方差C.若隨機(jī)變量,,則D.已如隨機(jī)變量X的分布列為,則【答案】BCD【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率可求A,根據(jù)二項(xiàng)分布的方差以及方差的性質(zhì)即可求解B,根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求解C,根據(jù)隨機(jī)變量的分步列即可求解D.【詳解】對(duì)于A,設(shè)至少有一名女生為事件,則,則,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)殡S機(jī)變量,所以,,故B正確;對(duì)于C,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì),,所以,,故C正確;對(duì)于D,,得,可得,解得,所以,故D正確;故選:BCD.題型三:正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例1】某地組織普通高中數(shù)學(xué)競賽.初賽共有20000名學(xué)生參賽,統(tǒng)計(jì)得考試成績(滿分150分)服從正態(tài)分布.考試成績140分及以上者可以進(jìn)入決賽.本次考試可以進(jìn)入決賽的人數(shù)大約為(

)附:.A.26 B.52 C.456 D.13【答案】A【分析】由題意可得正態(tài)分布中的,根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性結(jié)合題中數(shù)據(jù)求,即可求出答案.【詳解】考試成績(滿分150分)服從正態(tài)分布,所以,則,,所以可進(jìn)入決賽的人數(shù)大約為人.故選:A.【例2】已知在體能測試中,某校學(xué)生的成績服從正態(tài)分布,其中60分為及格線,則下列結(jié)論中正確的是(

)附:隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則A.該校學(xué)生成績的均值為25 B.該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為C.該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為70 D.該校學(xué)生成績及格率超過95%【答案】D【分析】求得該校學(xué)生成績的均值判斷選項(xiàng)A;求得該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差判斷選項(xiàng)BC;求得該校學(xué)生成績及格率的范圍判斷選項(xiàng)D.【詳解】由正態(tài)分布的定義,為期望值,為方差,選項(xiàng)A:該校學(xué)生成績的均值為70.判斷錯(cuò)誤;選項(xiàng)B:該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為.判斷錯(cuò)誤;選項(xiàng)C:該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為.判斷錯(cuò)誤;選項(xiàng)D:該校學(xué)生成績及格率,判斷正確.故選:D.【例3】某班一次數(shù)學(xué)考試(滿分150分)的成績服從正態(tài)分布,若,則估計(jì)該班這次數(shù)學(xué)考試的平均分為(

)A.85 B.90 C.95 D.105【答案】C【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以估?jì)該班這次數(shù)學(xué)考試的平均分.故選:C.【例4】小明上學(xué)有時(shí)做公交車,有時(shí)騎自行車,他記錄多次數(shù)據(jù),分析得到:坐公交車平均用時(shí)30min,樣本方差為36;騎自行車平均用時(shí)34min,樣本方差為4,假設(shè)做公交車用時(shí),騎自行車用時(shí),則(

)A. B.C.如果有38分鐘可用,小明應(yīng)選擇坐公交車 D.如果有34分鐘可用,小明應(yīng)選擇自行車【答案】B【分析】利用正態(tài)分布曲線的意義以及對(duì)稱性,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?,將化為?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則,因?yàn)?,所以,故A錯(cuò)誤;又,,故B正確;因?yàn)?,所以如果?8分鐘可用,小明應(yīng)選擇自行車,故C錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以如果?4分鐘可用,小明應(yīng)選擇坐公交車,故D錯(cuò)誤.故選:B.【例5】(多選題)某校對(duì)高一學(xué)生進(jìn)行了一次物理測試,得到學(xué)生的物理成績,其中60分及以上為及格,90分及以上為優(yōu)秀.則下列說法正確的是(

)參考數(shù)據(jù):隨機(jī)變量,則,,.A.該校高一學(xué)生物理成績的方差為10B.該校高一學(xué)生物理成績的期望為70C.該校高一學(xué)生物理成績的及格率不到85%D.該校高一學(xué)生物理成績的優(yōu)秀率超過5%【答案】BC【分析】根據(jù),求出高一學(xué)生物理成績的期望為,方差為,從而A錯(cuò)誤,B正確;利用正態(tài)分布的原則及正態(tài)分布的對(duì)稱性得到成績的及格率和優(yōu)秀率,判斷CD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,所以該校高一學(xué)生物理成績的期望為,方差為,故A錯(cuò)誤,B正確;因?yàn)?,,而,所以,,所以,故該校高一學(xué)生物理成績的及格率不到85%,C正確;,而,所以,所以該校高一學(xué)生物理成績的優(yōu)秀率不足5%,D錯(cuò)誤;故選:BC【例6】(多選題)在網(wǎng)課期間,為了掌握學(xué)生們的學(xué)習(xí)狀態(tài),某省級(jí)示范學(xué)校對(duì)高二一段時(shí)間的教學(xué)成果進(jìn)行測試.高二有1000名學(xué)生,某學(xué)科的期中考試成績(百分制且卷面成績均為整數(shù))Z服從正態(tài)分布,則(人數(shù)保留整數(shù))(

)參考數(shù)據(jù):若,.B.成績?cè)?5分以上(含95分)人數(shù)和70分以下(含70分)人數(shù)相等C.成績不超過77分的人數(shù)少于150D.超過98分的人數(shù)為1【答案】ABD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念可知A對(duì),根據(jù)對(duì)稱性可知B對(duì),根據(jù)原則和曲線的對(duì)稱性即可求解C,D.【詳解】由,可知,所以平均分為,故A對(duì).由于,可知關(guān)于對(duì)稱,根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知,成績?cè)?5分以上(含95分)人數(shù)和70分以下(含70分)的概率相等,進(jìn)而人數(shù)相等,故B對(duì).,因?yàn)?,所以C錯(cuò)誤.,因?yàn)椋猿^98分的人數(shù)為1,故D正確.故選:ABD【例7】已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量,則隨機(jī)抽取10000袋這種食品,袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約___________袋(質(zhì)量單位:).(附:,則,,).【答案】8186【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性及原則求出,從而求出袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋.【詳解】由題意得:,,則,故,則袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋.故答案為:8186【例8】現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測量某一個(gè)物理量,其測量誤差n次測量,最后結(jié)果的誤差,則為使的概率控制在0.0456以下,至少要測量的次數(shù)為(

)A.32 B.64 C.128 D.256【答案】C【分析】先由題設(shè)條件得到,再轉(zhuǎn)化得,從而利用正態(tài)分布原則可得,由此可得結(jié)果.【詳解】依題意,得,所以,即,而,所以且,又因?yàn)?,所以,,所以且,即,解得,故至少要測量的次數(shù)為.故選:C.【例9】為了保障某種藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值范圍內(nèi),某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過程中,檢驗(yàn)員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時(shí)對(duì)該藥品進(jìn)行檢測,每天檢測4次:每次檢測由檢驗(yàn)員從該藥品生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品進(jìn)行檢測,測量其主要藥理成分含量(單位:)根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的其主要藥理成分含量服從正態(tài)分布.(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記表示某次抽取的20件產(chǎn)品中其主要藥理成分含量在之外的藥品件數(shù),求的數(shù)學(xué)期望;(2)在一天的四次檢測中,如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)異常情況,需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查;如果有兩次或兩次以上出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品,則需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測.①下面是檢驗(yàn)員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量:經(jīng)計(jì)算得,,,其中為抽取的第件藥品的主要藥理成分含量,用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?②試確定一天中需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測的概率(精確到0.001).附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,,,,.;(2)①需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查;②0.014.【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合分布的對(duì)稱性可得藥理成分含量在之外的概率,再利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可;(2)①由估計(jì)得,驗(yàn)證表中數(shù)據(jù)即可;②先利用二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算在一次檢測中,發(fā)現(xiàn)需要對(duì)本次生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查的概率,然后利用古典概型的概率計(jì)算公式確定一天中需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測的概率即可.【詳解】(1)抽取的一件藥品的主要成分含量在之內(nèi)的概率為0.9974,從而主要成分在該區(qū)間之外的概率為0.0026,故,X的數(shù)學(xué)期望為.(2)①由,得估計(jì)值為,結(jié)合樣本數(shù)據(jù)可以看出有一件藥品的主要藥理成分(9.22)含量在之外,因此需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.②設(shè)“在一次檢測中,發(fā)現(xiàn)需要對(duì)本次生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查”為事件,則,如果在一天中,需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測,則在一天的四次檢測中,兩次或兩次以上出現(xiàn)了主要藥理成分含量在區(qū)間外的藥品,故概率為:,故確定一天中需要對(duì)原材料進(jìn)行檢測的概率為0.014.【例10】為了切實(shí)維護(hù)居民合法權(quán)益,提高居民識(shí)騙防騙能力,守好居民的“錢袋子”,某社區(qū)開展“全民反詐在行動(dòng)——反詐騙知識(shí)競賽”活動(dòng),現(xiàn)從參加該活動(dòng)的居民中隨機(jī)抽取了100名,統(tǒng)計(jì)出他們競賽成績分布如下:成績(分)人數(shù)242240284(1)求抽取的100名居民競賽成績的平均分和方差(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(2)以頻率估計(jì)概率,發(fā)現(xiàn)該社區(qū)參賽居民競賽成績X近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本成績平均分,近似為樣本成繢方差,若,參賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書”;若,參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”,①若該社區(qū)有3000名居民參加本次競賽活動(dòng),試估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的居民人數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));②試判斷競賽成績?yōu)?6分的居民能否獲得“反詐先鋒證書”.附:若,則,,.【答案】(1),;(2)①2456;②能【分析】(1)利用公式直接求出均值、方差即可;(2)①結(jié)合給的概率和正態(tài)分布的性質(zhì),確定獲得“參賽紀(jì)念證書”,進(jìn)而計(jì)算可得人數(shù);②利用正態(tài)分布的知識(shí)求出,即,進(jìn)而可得結(jié)果.(1)100名居民本次競賽成績平均分,100名居民本次競賽成績方差,(2)①由于近似為樣本成績平均分,近似為樣本成績方差,所以,,可知,,由于競賽成績X近似地服從正態(tài)分布,因此競賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書”的概率估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的居民人數(shù)為2456;②當(dāng)時(shí),即時(shí),參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”,所以競賽成績?yōu)?6分的居民能獲得“反詐先峰證書”.【題型專練】1.近年來中國進(jìn)入一個(gè)鮮花消費(fèi)的增長期,某農(nóng)戶利用精準(zhǔn)扶貧政策,貸款承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚,種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個(gè)大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布和,則下列選項(xiàng)不正確的是(

)附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則.A.若紅玫瑰日銷售量范圍在的概率是0.6826,則紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250B.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中C.白玫瑰日銷售量范圍在D.白玫瑰日銷售量范圍在【答案】D【分析】利用正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可逐項(xiàng)判斷求解.A:根據(jù)即可求解;B:根據(jù)紅玫瑰日銷售量的方差為,白玫瑰的日銷售量的方差為即可比較判斷;C:根據(jù)對(duì)稱性可知;D:根據(jù)對(duì)稱性可知.【詳解】對(duì)于A,若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則,∴對(duì)于紅玫瑰的銷量,若紅玫瑰日銷售量范圍在的概率是0.6826,則,故紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250,故A正確;對(duì)于B,∵紅玫瑰日銷量的方差為900,小于白玫瑰日銷量的方差1600,∴紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中,故B正確;對(duì)于C,設(shè)白玫瑰日銷售量為X,,,,則,故C正確;對(duì)于D,白玫瑰日銷售量范圍在,即的概率為,故D錯(cuò)誤.故選:D.2.(多選題)趙先生早上9:00上班,上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行.趙先生從家到公交站或地鐵站都要步行5min.公交車多且路程近一些,但乘坐公交路上經(jīng)常擁堵,所需時(shí)間(單位:min)服從正態(tài)分布,下車后從公交站步行到公司要12min;乘坐地鐵暢通,但路線長且乘客多,所需時(shí)間(單位:min)服從正態(tài)分布,下地鐵后從地鐵站步行到公司要5min.從統(tǒng)計(jì)的角度,下列說法中正確的是(

)參考數(shù)據(jù):若,則,,.A.若8:00出門,則乘坐公交上班不會(huì)遲到B.若8:02出門,則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C.若8:06出門,則乘坐公交上班不遲到的可能性更大D.若8:12出門,則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到【答案】CD【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)以及正態(tài)分布在特殊區(qū)間的概率進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】對(duì)于A,若8:00出門,趙先生乘坐公交的時(shí)間不大于43min才不會(huì)遲到,因?yàn)槌俗凰钑r(shí)間(單位:min)服從正態(tài)分布,所以,且,所以,所以趙先生上班遲到還是有可能發(fā)生的,A不正確;對(duì)于B,若8:02出門,若乘坐地鐵,則乘坐時(shí)間不大于48min才不會(huì)遲到,因?yàn)槌俗罔F所需時(shí)間(單位:min)服從正態(tài)分布,所以,所以,所以趙先生乘坐地鐵上班不遲到的可能性為0.9772,若8:02出門,若乘坐公交,則乘坐時(shí)間不大于41min才不會(huì)遲到,因?yàn)槌俗凰钑r(shí)間(單位:min)服從正態(tài)分布,所以,所以,故二者的可能性一樣,B不正確;對(duì)于C,若8:06出門,若乘坐公交,則乘坐時(shí)間不大于37min才不會(huì)遲到,因?yàn)槌俗凰钑r(shí)間(單位:min)服從正態(tài)分布,所以,所以,若8:06出門,若乘坐地鐵,則乘坐時(shí)間不大于44min才不會(huì)遲到,因?yàn)槌俗罔F所需時(shí)間(單位:min)服從正態(tài)分布,所以,C正確;對(duì)于D,若8:12出門,趙先生乘坐地鐵的時(shí)間不大于38min才不會(huì)遲到,因?yàn)槌俗罔F所需時(shí)間(單位:min)服從正態(tài)分布,所以,所以,所以乘坐地鐵上班不遲到的可能性非常小,D正確.故選:CD.3.(多選題)楊明上學(xué)有時(shí)坐公交車,有時(shí)騎自行車,他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時(shí),樣本方差為36;騎自行車平均用時(shí),樣本方差為4,假設(shè)坐公交車用時(shí)(單位:)和騎自行車用時(shí)(單位:)都服從正態(tài)分布,正態(tài)分布中的參數(shù)用樣本均值估計(jì),參數(shù)用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì),則(

)A. B.C. D.若某天只有可用,楊明應(yīng)選擇坐公交車【答案】ABD【分析】利用正態(tài)分布曲線的意義以及對(duì)稱性,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】解:隨機(jī)變量的均值為,方差為,則,,,隨機(jī)變量的均值為,方差為,則,,,所以,故A正確;,,因?yàn)椋?,故B正確;,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)椋赃x擇公交車,故D正確.故選:ABD.4.(多選題)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布,則(

)A.該正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.越大,該正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線越尖陡C.越小,在一次測量中,的取值落在內(nèi)的概率越大D.在一次測量中,的取值落在與落在的概率相等【答案】AC【分析】利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可判斷AD選項(xiàng)的正誤;利用的大小對(duì)正態(tài)密度曲線的影響可判斷BC選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),該正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱,A對(duì);對(duì)于B選項(xiàng),越大,曲線越平,B錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng),越小,曲線越陡,所以,越小,在一次測量中,的取值落在內(nèi)的概率越大,C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)椋烧龖B(tài)密度曲線的對(duì)稱性可得,D錯(cuò).故選:AC.5.(多選題)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣,創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系,為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給作出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高,得出株高(單位:)近似服從正態(tài)分布.已知時(shí),有,,.下列說法正確的是(

)A.該地水稻的平均株高約為 B.該地水稻株高的方差約為100C.該地株高超過的水稻約占68.27% D.該地株高低于的水稻約占99.87%【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性,即可求解.【詳解】由題意可知,,,故A,B正確;由題意得,所以,故C錯(cuò)誤;所以,故D正確;故選:ABD.6.(多選題)設(shè)X~N(μ1,),Y~N(μ2,),這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對(duì)任意正數(shù)t,P(X≤t)>P(Y≤t)D.對(duì)任意正數(shù)t,P(X>t)>P(Y>t)【答案】ABD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的密度曲線可知和的大小關(guān)系,由正態(tài)分布的意義即可求解.【詳解】由題圖可知μ1<0<μ2,σ12<,∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A錯(cuò);P(X≤)>P(X≤σ1),故B錯(cuò);當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí),由題圖可知P(X≤t)>P(Y≤t),而P(X≤t)=1-P(X>t),P(Y≤t)=1-P(Y>t),∴P(X>t)<P(Y>t),故C正確,D錯(cuò).故選:ABD7.正態(tài)分布概念是由德國數(shù)學(xué)家和天文

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