靜態(tài)場邊值問題的解法

關(guān)于靜態(tài)場邊值問題的解法本章內(nèi)容安排4.1邊值問題的分類4.2唯一性定理4.3鏡像法4.4分離變量法4.5復(fù)變函數(shù)法4.6格林函數(shù)法4.7有限差分法第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第2頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.1邊值問題的分類1定義通過微分方程及相關(guān)邊界條件描述的問題2分類第一類邊值問題：給定整個邊界上的位函數(shù)值；第二類邊值問題：給定邊界上每一電位函數(shù)的法向?qū)?shù)；第三類邊值問題：給定一部分邊界上每一點的電位，同時給定另一部分邊界上每一點電位法向?qū)?shù)。第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第3頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.2唯一性定理4.2.1格林公式1格林第一公式由散度定理令則第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第4頁,共30頁，星期六，2024年，5月則即第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第5頁,共30頁，星期六，2024年，5月2格林第二公式4.2.2唯一性定理對任意的靜電場,當(dāng)空間各點的電荷分布與整個邊界上的邊界條件已知時,空間個部分的場唯一確定。第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第6頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.3鏡像法1用途是解靜電場邊值問題的一種特殊方法，主要用來求解分布在導(dǎo)體附近的電荷產(chǎn)生的場。2分類平面鏡像法球面鏡像法圓柱鏡像法平面介質(zhì)鏡像法第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第7頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.4分離變量法1內(nèi)容是數(shù)學(xué)物理方法中應(yīng)用最廣的一種方法，它要求所給的邊界與一個適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的坐標(biāo)表面相重合，或分段重合，待求偏微分方程的解可表示成三個函數(shù)的乘積，每一個函數(shù)僅是一個坐標(biāo)的函數(shù)。從而把偏微分方程化為常微分方程進(jìn)行求解。第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第8頁,共30頁，星期六，2024年，5月2實現(xiàn)分離變量法的步驟分離變量。將偏微分方程的定解問題化為常微分方程的定解問題（線性齊次偏微分方程）；確定固有值和固有函數(shù)。當(dāng)邊界條件是齊次的時，利用其求固有值，并求出滿足零邊界條件的非零解；求解其他常微分方程。得到滿足齊次邊界條件的偏微分方程的特解Un（x，y）；將所有Un（x，y）疊加，利用其中的常數(shù)使其滿足偏微分方程其余的定解條件。第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第9頁,共30頁，星期六，2024年，5月3分離變量法的分類直角坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法球坐標(biāo)系中的分離變量法4.5復(fù)變函數(shù)法主要用途用于求解復(fù)雜邊界的二維邊值問題，且在一般條件下，其解具有較簡單的形式，可方便地計算電容。第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第10頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.5.1復(fù)電位若復(fù)變函數(shù)為解析函數(shù)，則實部和虛部間滿足柯西-黎曼條件：解析函數(shù)的實部和虛部滿足二維拉普拉斯方程：第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第11頁,共30頁，星期六，2024年，5月在無源區(qū)，二維靜電場的電位滿足拉普拉斯方程，即二維靜電場的電位可用解析函數(shù)的實部或虛部表示。對于解析函數(shù)曲線簇和曲線簇處處相互正交。即任意解析函數(shù)的實部和虛部均滿足二維拉普拉斯方程，且實部和虛部的等值線相互垂直。第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第12頁,共30頁，星期六，2024年，5月由于二維靜電問題的等位線和電力線相互垂直，故如果用虛部表示電位，則實部的等直線就表示電通量線，此時稱該實部為通量函數(shù)，稱解析函數(shù)為復(fù)電位。第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第13頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.5.2用復(fù)電位解二維邊值問題通量函數(shù)若利用某一解析函數(shù)的虛部表示二維電場的電位，則如圖所示，通過曲面的電通量為第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第14頁,共30頁，星期六，2024年，5月第四章靜態(tài)場邊值問題的解法BE導(dǎo)體EdSdlAxy電通量函數(shù)第15頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.6格林函數(shù)1格林函數(shù)的內(nèi)容是數(shù)學(xué)物理方法中的基本方法之一，可用于求解靜態(tài)場中的拉普拉斯方程，泊松方程及時變場中的亥姆霍茲方程。2格林函數(shù)的要點求出與待解問題具有相同邊界形狀的格林函數(shù)；通過積分得到具有任意分布源的解。第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第16頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.6.1靜電場邊值問題的格林函數(shù)表示方法1給定邊界形狀下一般邊值問題的格林函數(shù)2格林函數(shù)邊界條件的分類第一類邊值問題的格林函數(shù)第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第17頁,共30頁，星期六，2024年，5月第二類邊值問題的格林函數(shù)第三類邊值問題的格林函數(shù)第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第18頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.6.2簡單邊界的格林函數(shù)無界空間的格林函數(shù)上半空間的格林函數(shù)球內(nèi)、外空間的格林函數(shù)第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第19頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.7有限差分法1．差分原理有限差分法將連續(xù)場域內(nèi)的問題轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)的問題，通過離散化模型上各離散點的數(shù)值解來逼近連續(xù)場域內(nèi)的真實解。2.差分表示法對于函數(shù)f(x)，當(dāng)獨立變量x有一微小增量

x＝h時，相應(yīng)f(x)的增量為：第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第20頁,共30頁，星期六，2024年，5月稱為函數(shù)f(x)的差分被稱為有限差分。中心差分一階差商二階差商

第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第21頁,共30頁，星期六，2024年，5月3

將二維場的邊值問題轉(zhuǎn)化為一組差分方程組設(shè)邊值問題是決定離散點的分布方式按正方網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格邊長（步長）h，網(wǎng)格線的交點稱結(jié)點；設(shè)結(jié)點O上的電位為

(xo,yo)=

o,結(jié)點1，2，3，4上的電位為

1，

2，

3，

4；第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第22頁,共30頁，星期六，2024年，5月任一點x的電位考慮1，3兩點x1=xo+h,x3=xo-h

第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第23頁,共30頁，星期六，2024年，5月若h足夠小，則第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第24頁,共30頁，星期六，2024年，5月二維場泊松方程的差分形式二維場拉普拉斯方程的差分形式第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第25頁,共30頁，星期六，2024年，5月第四章靜態(tài)場邊值問題的解法格林函數(shù)表示方法第26頁,共30頁，星期六，2024年，5月4.

差分方程的解法設(shè)將場域劃分如圖；邊界上的值分別為f1,......f16；在各內(nèi)點上作出差分，泊松方程變成差分方程組；解出關(guān)于

1，

2.....

9的代數(shù)聯(lián)立方程組，即可求出各點的函數(shù)值。第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第27頁,共30頁，星期六，2024年，5月第四章靜態(tài)