高一數(shù)學教材同步知識點專題詳解(蘇教版必修第一冊)6.3對數(shù)函數(shù)(原卷版+解析)

6.3對數(shù)函數(shù)TOC\o"1-4"\h\z\u6.3對數(shù)函數(shù) 1知識框架 1一、基礎(chǔ)知識點 1知識點1對數(shù)函數(shù)的概念 3知識點2對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 5知識點3反函數(shù) 7二、典型題型 8題型1對數(shù)函數(shù)的定義域 10題型2比較對數(shù)式的大小 12題型3解對數(shù)不等式 12三、難點題型 12題型1與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象 15題型2值域問題 17四、活學活用培優(yōu)訓練 29一．基礎(chǔ)知識點知識點1對數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)叫作對數(shù)函數(shù)，它的定義域是(0，＋∞)．例1（多選題）存在函數(shù)滿足：對于任意都有（

）A． B． C．D．例2已知在上是減函數(shù)，且對任意的都成立，寫出一個滿足以上特征的函數(shù)___________.例3已知函數(shù)y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)的圖象如圖所示．(1)求實數(shù)a與b的值；(2)函數(shù)y＝loga(x＋b)與y＝logax的圖象有何關(guān)系？知識點2對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R圖象過定點(1,0)在(0，＋∞)上是增函數(shù)當0<x<1時，y<0；當x>1時，y>0在(0，＋∞)上是減函數(shù)當0<x<1時，y>0；當x>1時，y<0例1（多選題）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，，則函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系中的圖象可能是（

）A． B．C． D．例2如圖所示，①②③④中不屬于函數(shù)的一個是____例3已知函數(shù)，且點在函數(shù)的圖象上.(1)求函數(shù)的解析式，并在圖中的直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.即的取值范圍是.知識點3反函數(shù)(1)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)和指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y＝x對稱．(2)一般地，如果函數(shù)y＝f(x)存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作y＝f－1(x)．(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．(4)原函數(shù)y＝f(x)的定義域是它的反函數(shù)y＝f－1(x)的值域；原函數(shù)y＝f(x)的值域是它的反函數(shù)y＝f－1(x)的定義域．例1（多選題）下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的值域為B．函數(shù)的零點所在區(qū)間為C．函數(shù)與互為反函數(shù)D．函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)例2已知關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是_________例3已知函數(shù)的解析式為，其中常數(shù)滿足.(1)若，判斷函數(shù)是否一定存在反函數(shù)，并說明理由；(2)若，解不等式.二．典型題型題型1對數(shù)函數(shù)的定義域解題技巧：求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時，除遵循前面已學習過的求函數(shù)定義域的方法外，還要對這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意對數(shù)的底數(shù)；三是按底數(shù)的取值應用單調(diào)性，有針對性地解不等式．例1（多選題）下列四組函數(shù)中，f

（x）與g（x）相等的是（）A．f

（x）＝lnx2，g（x）＝2lnxB．f

（x）＝x，g（x）＝（）2C．f

（x）＝x，g（x）＝D．f

（x）＝x，g（x）＝logaax（a>0且a≠1）例2函數(shù)的定義域為________.例3設(shè)函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為．(1)求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．題型2比較對數(shù)式的大小解題技巧：比較對數(shù)值大小的常用方法(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．例1（多選題）下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．例2設(shè)x，y，z為正數(shù)，且，則x，y，z的大小關(guān)系為___________．例3分別比較下列各組數(shù)的大?。?1)，，；(2)，，；(3)與．題型3解對數(shù)不等式解題技巧：對數(shù)不等式的三種考查類型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論．(2)形如logax>b的不等式，應將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，或利用函數(shù)圖象求解．例1（多選題）已知，若是的充分條件，則實數(shù)的值可能是（

）A．8 B．C． D．例2若不等式對于任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____________例3已知函數(shù).(1)寫出函數(shù)的定義域并判斷其奇偶性；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.三．難點題型題型1與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象解題技巧：1．已知y＝f(x)的圖象，求y＝|f(x＋a)|＋b的圖象步驟如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的圖象，求y＝|f(x＋a)＋b|的圖象，步驟如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有絕對值號的函數(shù)圖象時，先將絕對值號內(nèi)部的圖象作出來，再進行翻折，內(nèi)部變換的順序是先變換x，再變換y.例1（多選題）已知函數(shù)，若有四個不同的解且，則有

（

）A． B．C． D．的最小值為例2若函數(shù)在上的最大值為4，則a的取值范圍為________．例3如圖，已知過原點O的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點，分別過點A，B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C，D兩點．(1)證明O，C，D三點在同一條直線上；(2)當軸時，求A點的坐標．題型2值域問題解題技巧：求函數(shù)值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根據(jù)函數(shù)解析式的特征，從函數(shù)自變量的變化范圍出發(fā)，通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合解析式，直接得出函數(shù)值域．(2)配方法當所給的函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的(形如y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c)，求函數(shù)值域問題時，可以用配方法．(3)單調(diào)性法根據(jù)在定義域(或定義域的某個子集)上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域．(4)換元法求形如y＝logaf(x)型函數(shù)值域的步驟：①換元，令u＝f(x)，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)求出u的范圍；②利用y＝logau的單調(diào)性、圖象，求出y的取值范圍．例1（多選題）已知函數(shù)，以下判斷正確的是（

）A．f（x）是增函數(shù) B．f（x）有最小值C．f（x）是奇函數(shù) D．f（x）是偶函數(shù)例2已知函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，則的值為___________.例3已知，函數(shù)(1)若函數(shù)過點，求此時函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.四．活學活用培優(yōu)訓練一、單選題1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．若函數(shù)的圖象過點，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-33．函數(shù)定義域為（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知的值域為R，那么a的取值范圍是(

)A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)6．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．二、多選題7．在同一直角坐標系中，函數(shù)，的圖象可能是（

）A． B．C． D．8．下列四個函數(shù)中過相同定點的函數(shù)有（

）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若a＞b＞c，且，則（

）A．a(chǎn)＞1 B．b＞1C．0＜c＜l D．0＜ac＜1三、填空題10．有（1）；（2）當時，單調(diào)遞減.下列函數(shù)中，同時滿足性質(zhì)（1）（2）的函數(shù)有_________.（填序號）①；②；③；④；⑤；⑥.11．已知函數(shù)，若存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是______．12．函數(shù)的值域是______．四、解答題13．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的定義域．(2)若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍．(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．14．已知函數(shù)（且）.(1)求函數(shù)的定義域，并判斷的奇偶性；(2)是否存在實數(shù)m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由.6.3對數(shù)函數(shù)TOC\o"1-4"\h\z\u6.3對數(shù)函數(shù) 1知識框架 1一、基礎(chǔ)知識點 1知識點1對數(shù)函數(shù)的概念 3知識點2對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 5知識點3反函數(shù) 7二、典型題型 8題型1對數(shù)函數(shù)的定義域 10題型2比較對數(shù)式的大小 12題型3解對數(shù)不等式 13三、難點題型 13題型1與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象 15題型2值域問題 17四、活學活用培優(yōu)訓練 28一．基礎(chǔ)知識點知識點1對數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)叫作對數(shù)函數(shù)，它的定義域是(0，＋∞)．例1（多選題）存在函數(shù)滿足：對于任意都有（

）A． B． C．D．【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷各選項的對錯.【詳解】對于A，取可得，取可得，與函數(shù)定義矛盾，故A錯誤，對于B，設(shè)，則，所以可化為，B正確，對于C，設(shè)，則，所以可化為，C正確，對于D，設(shè)，則，所以可化為，D正確，故選：BCD.例2已知在上是減函數(shù)，且對任意的都成立，寫出一個滿足以上特征的函數(shù)___________.【答案】答案不唯一【分析】由變形到可考慮對數(shù)函數(shù)，然后根據(jù)單調(diào)性以及“”可考慮構(gòu)造對數(shù)型函數(shù).【詳解】由題意可知，可變化為的形式，由此可想到對數(shù)函數(shù)，又因為在上是減函數(shù)且，所以滿足條件的一個函數(shù)可取，故答案為：(答案不唯一).例3已知函數(shù)y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)的圖象如圖所示．(1)求實數(shù)a與b的值；(2)函數(shù)y＝loga(x＋b)與y＝logax的圖象有何關(guān)系？【答案】(1)a＝2，b＝4(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)圖象經(jīng)過的點，列方程即可求解；（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由（1）可知，函數(shù)y＝loga(x＋b)恒過定點，而對數(shù)函數(shù)y＝logax恒過定點，由于兩者圖象形狀一樣但是位置不同，通過向左平移4個單位即可得到.(1)由圖象可知，函數(shù)的圖象過點(－3,0)與點(0,2)，所以可得0＝loga(－3＋b)與2＝logab，解得a＝2，b＝4.(2)由（1）可知，函數(shù)y＝loga(x＋b)恒過定點，而對數(shù)函數(shù)y＝logax恒過定點，函數(shù)y＝loga(x＋4)的圖象可以由y＝logax的圖象向左平移4個單位得到．知識點2對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R圖象過定點(1,0)在(0，＋∞)上是增函數(shù)當0<x<1時，y<0；當x>1時，y>0在(0，＋∞)上是減函數(shù)當0<x<1時，y>0；當x>1時，y<0例1（多選題）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，，則函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系中的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)a＞0，b＞0，且ab＝1，，分和，由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象判斷.【詳解】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，，∴當時，，則函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系中的圖象是：，當時，，則函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系中的圖象是：故選：AB．例2如圖所示，①②③④中不屬于函數(shù)的一個是____【答案】③【解析】根據(jù)單調(diào)性確定只有在上是增函數(shù)，排除①②，再利用特殊值判斷.【詳解】在上是減函數(shù)，其圖象分別對應①②，而只有在上是增函數(shù)，的圖象關(guān)于對稱，圖象對應④，所以③不滿足，故答案為：③例3已知函數(shù)，且點在函數(shù)的圖象上.(1)求函數(shù)的解析式，并在圖中的直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，圖象見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)點在函數(shù)的圖象上求出，再分段畫出函數(shù)的圖象；（2）將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，在同一坐標系中作出圖象，利用圖象進行求解.(1)解：因為點在函數(shù)的圖象上，所以，解得，即，其圖象如圖所示：(2)解：將化為，因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，在同一坐標系中作出直線與函數(shù)的圖象（如圖所示），由圖象，得，即，即的取值范圍是.知識點3反函數(shù)(1)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)和指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y＝x對稱．(2)一般地，如果函數(shù)y＝f(x)存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作y＝f－1(x)．(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．(4)原函數(shù)y＝f(x)的定義域是它的反函數(shù)y＝f－1(x)的值域；原函數(shù)y＝f(x)的值域是它的反函數(shù)y＝f－1(x)的定義域．例1（多選題）下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的值域為B．函數(shù)的零點所在區(qū)間為C．函數(shù)與互為反函數(shù)D．函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分別判斷各選項.【詳解】A選項：函數(shù)，當時，取最小值為，所以函數(shù)的值域為；B選項：因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個零點，且，，所以其零點所在區(qū)間為，B選項正確；C選項：，即，可得，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，C選項正確；D選項：函數(shù)與函數(shù)的定義域均為，，，不為同一函數(shù)，D選項錯誤；故選：ABC.例2已知關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是_________【答案】【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)以及導數(shù)的幾何意義，只需函數(shù)與直線相交即可.【詳解】若關(guān)于的方程有解，即與的圖像有交點，因為與互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對稱，如圖所示：設(shè)函數(shù)與直線相切，切點為，，則有，解得：，由圖像可知，當時，曲線與直線有交點，即與的圖像有交點，即方程有解.故答案為：例3已知函數(shù)的解析式為，其中常數(shù)滿足.(1)若，判斷函數(shù)是否一定存在反函數(shù)，并說明理由；(2)若，解不等式.【答案】(1)存在，理由見解析(2)當時，；當時，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（2）化簡不等式可得，再分和兩種情況求解即可(1)若，則或.當時，在R上嚴格單調(diào)遞增；當時，在R上嚴格單調(diào)遞減.故一定存在反函數(shù).(2)若，則即，，故.當時，，解得；當時，，解得二．典型題型題型1對數(shù)函數(shù)的定義域解題技巧：求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時，除遵循前面已學習過的求函數(shù)定義域的方法外，還要對這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意對數(shù)的底數(shù)；三是按底數(shù)的取值應用單調(diào)性，有針對性地解不等式．例1（多選題）下列四組函數(shù)中，f

（x）與g（x）相等的是（）A．f

（x）＝lnx2，g（x）＝2lnxB．f

（x）＝x，g（x）＝（）2C．f

（x）＝x，g（x）＝D．f

（x）＝x，g（x）＝logaax（a>0且a≠1）【答案】CD【分析】根據(jù)相等函數(shù)的定義逐一判斷即可得出答案.【詳解】解：對于選項A，f

（x）的定義域為{x|x≠0}，g（x）的定義域為{x|x>0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是相等函數(shù)；對于選項B，f

（x）的定義域為R，g（x）的定義域為{x|x≥0}，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是相等函數(shù)；對于選項C，g（x）＝＝x，兩函數(shù)的定義域和對應法則相同，是相等函數(shù)；對于選項D，g（x）＝logaax＝x，x∈R，兩個函數(shù)的定義域和對應法則相同，是相等函數(shù)．故選：CD.例2函數(shù)的定義域為________.【答案】,【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及二次根式的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可．【詳解】解：要使函數(shù)有意義，需且，故且，解得：，故函數(shù)的定義域是,．故答案為：,.例3設(shè)函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為．(1)求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題知，即得；（2）根據(jù)，得，即求.(1)由題知，解得：，∴.(2)由題知，若，則，，實數(shù)的取值范圍是.題型2比較對數(shù)式的大小解題技巧：比較對數(shù)值大小的常用方法(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．例1（多選題）下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】A.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解；B.利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解；C.先利用對數(shù)運算化簡，再利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得解；D.利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解.【詳解】A.因為指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，，所以，所以該選項錯誤；B.因為對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，所以，所以該選項正確；C.，因為又，所以該選項正確；D.由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增得，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減得，所以.所以該選項正確.故選：BCD例2設(shè)x，y，z為正數(shù)，且，則x，y，z的大小關(guān)系為___________．【答案】【分析】由題可設(shè)，進而可得，然后根據(jù)換底公式及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因為x，y，z為正數(shù)，可設(shè)，則，因為，所以，所以，即．故答案為：．例3分別比較下列各組數(shù)的大?。?1)，，；(2)，，；(3)與．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）對于同底數(shù)的對數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，對于不同底數(shù)的對數(shù)，利用中間值法；（2）對數(shù)與指數(shù)之間的比較，利用中間值法；（3）對于真數(shù)相同的對數(shù)，利用函數(shù)圖象.（1）因為在上是增函數(shù)，所以．又在上是增函數(shù)，所以，所以．（2）因為在R上是增函數(shù)，所以．因為在上是增函數(shù)，所以．因為在上是減函數(shù)，所以．所以．（3）方法一：函數(shù)和的圖象如圖所示．當時，的圖象在的圖象的上方，所以．方法二：因為，，又，所以．題型3解對數(shù)不等式解題技巧：對數(shù)不等式的三種考查類型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論．(2)形如logax>b的不等式，應將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，或利用函數(shù)圖象求解．例1（多選題）已知，若是的充分條件，則實數(shù)的值可能是（

）A．8 B．C． D．【答案】CD【分析】求出，令，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)集合的包含關(guān)系和充分條件的定義可得答案.【詳解】，令，若，則或，解得或，結(jié)合選項，若是的充分條件，則實數(shù)的值可能是.故選：CD.例2若不等式對于任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____________【答案】【分析】由的取值范圍求出的范圍，依題意利用換底公式及參變分離可得對于任意恒成立，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得到，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】解：因為不等式對于任意恒成立，即不等式對于任意恒成立，因為，所以，所以不等式對于任意恒成立，令，，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以或，解得或，即；故答案為：例3已知函數(shù).(1)寫出函數(shù)的定義域并判斷其奇偶性；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)的定義域為；為偶函數(shù)(2)【分析】（1）先列不等式組求得函數(shù)的定義域再利用定義判斷其奇偶性即可；（2）先將轉(zhuǎn)化為對數(shù)不等式，再列不等式組即可求得實數(shù)的取值范圍.（1）由，可得，則函數(shù)的定義域為由可得函數(shù)為偶函數(shù)（2）由，可得由，可得解之得，則實數(shù)的取值范圍為三．難點題型題型1與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的圖象解題技巧：1．已知y＝f(x)的圖象，求y＝|f(x＋a)|＋b的圖象步驟如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的圖象，求y＝|f(x＋a)＋b|的圖象，步驟如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有絕對值號的函數(shù)圖象時，先將絕對值號內(nèi)部的圖象作出來，再進行翻折，內(nèi)部變換的順序是先變換x，再變換y.例1（多選題）已知函數(shù)，若有四個不同的解且，則有

（

）A． B．C． D．的最小值為【答案】ABD【分析】先畫出圖像，結(jié)合圖像即可判斷AC選項，再通過判斷B選項，最后結(jié)合單調(diào)性判斷D選項.【詳解】由題意，當時，：當0<時，：當時，，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，易知f(x)與直線有四個交點，分別為（-2，1），（0，1），（，1），（4，1），因為有四個不同的解且，所以故C錯誤；且A正確；，又，所以，即，B正確；所以，且，構(gòu)造函數(shù)，且，可知g(x)在（1，4]上單調(diào)遞減，且，所以的最小值為—．D正確．故選：ABD．例2若函數(shù)在上的最大值為4，則a的取值范圍為________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出時的值，即可得解.【詳解】解：因為，當時，易知在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增．作出的大致圖象，如圖所示．由圖可知，，，因為在上的最大值為，所以的取值范圍為．故答案為：例3如圖，已知過原點O的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點，分別過點A，B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C，D兩點．(1)證明O，C，D三點在同一條直線上；(2)當軸時，求A點的坐標．【答案】(1)證明見解析．(2)．【分析】（1）設(shè)，，則，，由共線得一關(guān)系式，利用對數(shù)的換底公式變形后可得兩點坐標滿足的關(guān)系，從而得結(jié)論；（2）由兩點的縱坐標相等可求得，代入（1）中關(guān)系式可求得得點坐標．（1）設(shè)，，則，，共線，則，所以，即，所以三點共線；（2）由（1）得，即，所以．所以，當時，，重合不合題意，因此，，從而，（負值舍去），所以點坐標為．題型2值域問題解題技巧：求函數(shù)值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根據(jù)函數(shù)解析式的特征，從函數(shù)自變量的變化范圍出發(fā)，通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合解析式，直接得出函數(shù)值域．(2)配方法當所給的函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的(形如y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c)，求函數(shù)值域問題時，可以用配方法．(3)單調(diào)性法根據(jù)在定義域(或定義域的某個子集)上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域．(4)換元法求形如y＝logaf(x)型函數(shù)值域的步驟：①換元，令u＝f(x)，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)求出u的范圍；②利用y＝logau的單調(diào)性、圖象，求出y的取值范圍．例1（多選題）已知函數(shù)，以下判斷正確的是（

）A．f（x）是增函數(shù) B．f（x）有最小值C．f（x）是奇函數(shù) D．f（x）是偶函數(shù)【答案】BD【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)情況并確定是否存在最小值，應用奇偶性定義判斷奇偶性.【詳解】由，令為增函數(shù)；而在上遞減，在上遞增；所以在上遞減，在上遞增；又在定義域上遞增，則在上遞減，在上遞增；所以在上遞減，在上遞增，故最小值為，，故為偶函數(shù).故選：BD例2已知函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，則的值為___________.【答案】2【分析】由題意知：且在上單調(diào)遞增，由此即可列出等式，解出答案.【詳解】因為為函數(shù)的反函數(shù)，所以，又，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，由題意，，所以，，解得或（舍去）.故答案為：2.例3已知，函數(shù)(1)若函數(shù)過點，求此時函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）將點代入可求出，進而得到解析式；（2）由復合函數(shù)的單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增，進而得到最大值與最小值，再由已知得到問題的等價不等式對任意恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求最值可得出答案.（1）解：因為函數(shù)過點，即，解得，故；（2）因為是復合函數(shù)，設(shè)，，，在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，由題意對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，設(shè)，，只需即可，因為的對稱軸為，圖像是開口向下的拋物線，故在單調(diào)遞減，故，故.四．活學活用培優(yōu)訓練一、單選題1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念即得.【詳解】因為函數(shù)(且)為對數(shù)函數(shù)，所以ABC均為對數(shù)型復合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對數(shù)函數(shù).故選：D.2．若函數(shù)的圖象過點，則（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【分析】因為函數(shù)圖象過一點，代入該點的坐標解方程即得解.【詳解】解：由已知得，所以，解得：，故選：A．3．函數(shù)定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用根號下的數(shù)大于等于0，對數(shù)真數(shù)大于0，解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得：，解得，故選：B.4．已知函數(shù)，，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件求出兩個函數(shù)在上的值域，結(jié)合若存在，使得，等價為兩個集合有公共元素，然后根據(jù)集合關(guān)系進行求解即可．【詳解】當時，，即，則的值域為[0，1]，當時，，則的值域為，因為存在，使得，則若，則或，得或，則當時，，即實數(shù)a的取值范圍是，A，B，C錯，D對.故選：D．5．已知的值域為R，那么a的取值范圍是(

)A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)【答案】C【分析】先求出的值域，然后確定的值域所包含的集合，利用一次函數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】當x≥1時，f(x)=lnx，其值域為[0，+∞)，那么當x<1時，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，解得：，且a≥﹣1.故選：C.6．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷出是偶函數(shù)，結(jié)合可選出答案.【詳解】由已知可得函數(shù)的定義域為，，所以是偶函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，可排除A，B；由，可排除D．故選：C二、多選題7．在同一直角坐標系中，函數(shù)，的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的取值范圍，對比兩函數(shù)圖像得出的的取值范圍即可判斷.【詳解】A：根據(jù)的圖像知對數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，圖像過點，所以；根據(jù)的圖像為的一條直線可判斷，且無論a為何值圖像均為，此類情況符合題意，A正確；B：由的圖像可知，若，對數(shù)函數(shù)的圖像應向右平移，選項中的圖像向左平移，故B錯誤；C：由對數(shù)函數(shù)的圖像知且，函數(shù)的圖像與直線交點的橫坐標小于1且函數(shù)單調(diào)遞減，所以且，C正確；D：由的圖像知函數(shù)單調(diào)遞減則，但未向右平移，錯誤.故選：AC【點睛】本題考查函數(shù)圖像問題，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8．下列四個函數(shù)中過相同定點的函數(shù)有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合冪指對函數(shù)的性質(zhì)確定各函數(shù)所過的定點坐標，即可判斷過相同定點的函數(shù).【詳解】A：必過；B：，由知函數(shù)