新高考高中數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)全透視專題14.6數(shù)列綜合問題(專題訓(xùn)練卷)(原卷版+解析)

專題14.6數(shù)列綜合問題（專題訓(xùn)練卷）一、單選題1．（2023·河南洛陽·高三期中（文））在等比數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．2．（2023·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二月考）已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公比為2，則a12+a22+?+an2＝（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．3．（2023·河南鄭州·高二期中（理））設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．4．（2023·河南鄭州·高二期中（文））在等比數(shù)列中，，.記，則數(shù)列（）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)5．（2023·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二月考）在數(shù)列{an}中．a(chǎn)1＝4，a2＝6，且當(dāng)時(shí)，，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，bn＝，則當(dāng)為整數(shù)時(shí)，λn＝（）A．6 B．12 C．20 D．246．（2023·全國高二單元測試）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意，，則的最小值為（）A．3 B． C．2 D．7．（2023·全國高二學(xué)業(yè)考試）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．8．（2023·全國高二單元測試）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意，，則的最小值為（）A．3 B． C．2 D．二、多選題9．（2023·全國高二單元測試）市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（若2021年7月7日貸款到賬，則2021年8月7日首次還款）.已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：，計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）A．選擇方式①，若第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，則小張?jiān)摴P貸款的總利息為289200元B．選擇方式②，小張每月還款額為3800元C．選擇方式②，小張總利息為333840元D．從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①10．（2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列中的前項(xiàng)和為，若對任意的正整數(shù)，都有，則稱為“和諧數(shù)列”，下列結(jié)論，正確的有（）A．常數(shù)數(shù)列為“和諧數(shù)列”B．為“和諧數(shù)列”C．為“和諧數(shù)列”D．若公差為的等差數(shù)列滿足：為“和諧數(shù)列”，則的最小值為-211．(2023·全國高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，對于任意，，，不等式恒成立，則的取值可以是（）A．1 B．2 C． D．412.（2023·全國高二學(xué)業(yè)考試）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和，設(shè)，記的前項(xiàng)和為，則下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題13.（2023·北京東城·東直門中學(xué)高二月考）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2＝1，a1a3＝3，則a4＝_______.14．（2023·浙江麗水?高一期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.______.15.（2023·北京東城·東直門中學(xué)高二月考）設(shè)Sn為公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且3a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則q＝_____，_____.16.（2023·河南高二月考（理））已知數(shù)列滿足.且，若中恰有項(xiàng)大于，則的取值范圍是__________．四、解答題17.（全國高考真題）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（2023·四川巴中·高三月考（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（2023·河南鄭州·高二期中（理））已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（2023·福建福州三中高三月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．21.（2023·河南洛陽·高三期中（文））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，.（1）證明：是等差數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.（2023·全國高二課時(shí)練習(xí)）2019年某政府投資8千萬元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目．規(guī)劃從2020年起，之后的若干年內(nèi)，每年投資2千萬元用于此項(xiàng)目.2019年該項(xiàng)目的凈收入為萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長50%．記2019年為第1年，為第1年至此后第年的累計(jì)利潤（含第年，累計(jì)利潤＝累計(jì)凈收入－累計(jì)投入，單位：千萬元），當(dāng)時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利．（1）求的表達(dá)式．（2）根據(jù)預(yù)測，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由．參考數(shù)據(jù)：，．專題14.6數(shù)列綜合問題（專題訓(xùn)練卷）一、單選題1．（2023·河南洛陽·高三期中（文））在等比數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．答案：A分析：由題設(shè)結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得公比，進(jìn)而求.【詳解】由題設(shè)，，又，可得，∴.故選：A2．（2023·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二月考）已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公比為2，則a12+a22+?+an2＝（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．答案：D分析：根據(jù)等比數(shù)列定義，求出，可證明是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式，可得解【詳解】由等比數(shù)列的定義，故由于故是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列a12+a22+?+an2＝故選：D3．（2023·河南鄭州·高二期中（理））設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．答案：A分析：設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，然后利用分求出，再利用列方程，由對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可求出結(jié)果【詳解】設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，則（），若，則，則，顯然沒有出現(xiàn)，所以，所以，由兩邊的對應(yīng)項(xiàng)相等可得，解得，所以.故選：A4．（2023·河南鄭州·高二期中（文））在等比數(shù)列中，，.記，則數(shù)列（）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)答案：A分析：首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式求得，根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及前面的，分析可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)等比數(shù)列為q，則等比數(shù)列的公比，所以，則其通項(xiàng)公式為：，所以，令，所以當(dāng)或5時(shí)，t有最大值，無最小值結(jié)合前面的，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為正數(shù)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為負(fù)數(shù)故時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值所以有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng).故選：A5．（2023·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二月考）在數(shù)列{an}中．a(chǎn)1＝4，a2＝6，且當(dāng)時(shí)，，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，bn＝，則當(dāng)為整數(shù)時(shí)，λn＝（）A．6 B．12 C．20 D．24答案：D分析：首先根據(jù)條件通過配湊系數(shù)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；然后再根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求出Tn，代入可求出，從而可判斷選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，又因?yàn)?，所以從第二?xiàng)起是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，所以時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，要使為整數(shù)，需是15的因數(shù)，所以，此時(shí).故選：D.6．（2023·全國高二單元測試）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意，，則的最小值為（）A．3 B． C．2 D．答案：B分析：由已知得.再求得，從而有數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再利用分組求和的方法，以及等比數(shù)列求和公式求得，從而求得得答案.【詳解】解：由，得，∴.又由，得，又，∴.所以，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，∴.∴.∵對任意，，∴的最小值為.故選：B.7．（2023·全國高二學(xué)業(yè)考試）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．答案：C分析：求出等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可求得的值.【詳解】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，所以，，因?yàn)椋傻?，因此?故選：C.8．（2023·全國高二單元測試）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意，，則的最小值為（）A．3 B． C．2 D．答案：B分析：由已知得.再求得，從而有數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再利用分組求和的方法，以及等比數(shù)列求和公式求得，從而求得得答案.【詳解】解：由，得，∴.又由，得，又，∴.所以，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，∴.∴.∵對任意，，∴的最小值為.故選：B.二、多選題9．（2023·全國高二單元測試）市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.方式①：等額本金，每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；方式②：等額本息，每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（若2021年7月7日貸款到賬，則2021年8月7日首次還款）.已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年，月利率為0.004，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：，計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）A．選擇方式①，若第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，則小張?jiān)摴P貸款的總利息為289200元B．選擇方式②，小張每月還款額為3800元C．選擇方式②，小張總利息為333840元D．從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①答案：ACD分析：等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為，則，，等額本息還款方式中，設(shè)小張每月還款額為元，則，分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列模型研究，依次判斷即可【詳解】對于A，由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則，，則，故小張?jiān)摴P貸款的總利息為（元），故A正確.對于B，設(shè)小張每月還款額為元，則，所以，即，故B錯(cuò)誤.對于C，小張采取等額本息貸款方式的總利息為（元），故C正確.對于D，因?yàn)?，所以從?jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇方式①，故D正確.故選：ACD10．（2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列中的前項(xiàng)和為，若對任意的正整數(shù)，都有，則稱為“和諧數(shù)列”，下列結(jié)論，正確的有（）A．常數(shù)數(shù)列為“和諧數(shù)列”B．為“和諧數(shù)列”C．為“和諧數(shù)列”D．若公差為的等差數(shù)列滿足：為“和諧數(shù)列”，則的最小值為-2答案：BD分析：根據(jù)給定“和諧數(shù)列”的定義，對各選項(xiàng)中的數(shù)列逐一分析計(jì)算即可判斷作答.【詳解】對于A，數(shù)列中，令(c為常數(shù))，，當(dāng)c<0時(shí)，，此時(shí)的常數(shù)數(shù)列不為“和諧數(shù)列”，A不正確；對于B，數(shù)列中，令，則，，即成立，B正確；對于C，數(shù)列中，令，，，不是“和諧數(shù)列”，C不正確；對于D，令，則，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，因是“和諧數(shù)列”，于是有，，即有，，從而得，又，即對恒成立，若，則有對恒成立，必有，即，，因此，，若，則對應(yīng)的是開口向下的拋物線在x取正整數(shù)時(shí)的函數(shù)值，由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)正整數(shù)n足夠大時(shí)，的值是負(fù)數(shù)，不成立，從而只有，且，的最小值為-2，D正確.故選：BD11．(2023·全國高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，對于任意，，，不等式恒成立，則的取值可以是（）A．1 B．2 C． D．4答案：BD分析：根據(jù)，可得，由此可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而可得的范圍，再根據(jù)不等式恒成立即可求得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，，兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，，即得，由此可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，，，又因?yàn)樵?，上恒成立，所以，?故選：BD.12.（2023·全國高二學(xué)業(yè)考試）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和，設(shè)，記的前項(xiàng)和為，則下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則答案：AB分析：先根據(jù)求得以及公比的取值范圍，再由可得，計(jì)算，討論的范圍即可得與的大小關(guān)系，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】由于是等比數(shù)列，，所以，，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，等價(jià)于或，對于，由于可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，所以，對于可得：.綜上所述，的取值范圍是；因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，且，所以，?dāng)或時(shí)，，即，故A選項(xiàng)正確.當(dāng)或時(shí)，，即，故B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，即，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.三、填空題13.（2023·北京東城·東直門中學(xué)高二月考）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2＝1，a1a3＝3，則a4＝_______.答案：8【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，結(jié)合題設(shè)條件求a1、q，進(jìn)而由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求a4.【解答】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1+a2＝1，a1a3＝3，∴a1(1+q)＝1，a1(1q2)＝3，顯然q≠1，解得a1＝1，q＝2.∴a4＝(2)3＝8.故答案為：8.14．（2023·浙江麗水?高一期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.______.答案：【解析】，，當(dāng)時(shí)，.故，滿足又故答案為：；.15.（2023·北京東城·東直門中學(xué)高二月考）設(shè)Sn為公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且3a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則q＝_____，_____.答案：310分析：利用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比q，再利用等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】Sn為公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且3a1，2a2，a3成等差數(shù)列，可得4a2＝3a1+a3，即有4a1q＝3a1+a1q2，即q2﹣4q+3＝0，解得q＝3，故，，則.故答案為：3；10.16.（2023·河南高二月考（理））已知數(shù)列滿足.且，若中恰有項(xiàng)大于，則的取值范圍是__________．答案：分析：由，化簡得到，求得，根據(jù)題意，得到且，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，可得，即，可得，即，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以，可得，因?yàn)閿?shù)列中恰有項(xiàng)大于，所以且，解得，即的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17.（全國高考真題）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：（1）；（2）.分析：（1）根據(jù)題意列出方程組，求出首項(xiàng)與公比，即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）由an＝化簡bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝.由條件可知q＞0,故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.故.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為18.（2023·四川巴中·高三月考（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：（1）證明見解析，；（2）.分析：(1)根據(jù)給定條件結(jié)合消去，再對等式變形整理即可得證，然后求出的表達(dá)式并進(jìn)行驗(yàn)證即可得解；(2)利用(1)的結(jié)論和分組求和方法并借助等差等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】（1）由及得：，整理得：，變形得：，由得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，即，于是得，則當(dāng)時(shí)，而，即對也成立，所以；（2）由（1）知：，所以.19．（2023·河南鄭州·高二期中（理））已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：（1）；（2）.分析：（1）由題可知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合條件可求公比，進(jìn)而可求；（2）利用分組求和即得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，由，，成等比數(shù)列，可得，即，∴，∴；（2）由上可得，∴.20．（2023·福建福州三中高三月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．答案：（1）；（2）．分析：（1）利用的關(guān)系可得，即可知為等比數(shù)列，寫出等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可.（2）由（1）得，利用分組求和，并結(jié)合錯(cuò)位相減法及等差、等比前n項(xiàng)和公式求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，