河北省衡水市2024-2025學年高三數(shù)學上學期期中試題含解析

Page242024—2025學年上學期期中考試高三數(shù)學試題考試時間：120分鐘滿分：150分留意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息；2.請將答案正確填寫在答題卡上.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列表示圖中的陰影部分的是（）A. B.C. D.2.若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面上對應點所在的象限為（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知非零向量滿意，且，則與的夾角為（）A B. C. D.4.函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.5.將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.A. B.C. D.6.已知數(shù)列的首項為1，是邊所在直線上一點，且，則數(shù)列的通項公式為（）A. B. C. D.7.已知正方形ABCD的邊長為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則點D的運動軌跡的長度為（）A. B. C. D.8.已知三角形中，，角平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.若，則B.命題：“”的否定是“”C.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為D.若函數(shù)則10.已知是函數(shù)的圖象與直線的兩個交點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的定義域為C.在區(qū)間單調(diào)遞增D.的圖象的對稱中心為點11.已知數(shù)列的前項的和為，，，，則下列說法正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C. D.12.設函數(shù)定義域為，且滿意，，當時，，則（）A.是奇函數(shù)B.C.的值域是D.方程在區(qū)間內(nèi)恰有1518個實數(shù)解第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列滿意，則__________.14.已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則______.15.在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為________．16.在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則的最大值為________．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列為等比數(shù)列，在數(shù)列中，，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，求數(shù)列的前項和.18.已知，，且.（1）求角的大??；（2）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有極大值，無微小值，求的取值范圍.19已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性；20.已知數(shù)列的前項和為.（1）求；（2）求.21.如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個半圓形，其中O為圓心，直徑AB的長為，C，D兩點在半圓弧上，且，設．（1）當時，求四邊形ABCD的面積；（2）若要在景區(qū)內(nèi)鋪設一條由線段AB，BC，CD和DA組成的觀光道路，則當為何值時，觀光道路的總長l最長，并求出l的最大值．22.已知函數(shù)，為的導函數(shù).（1）求在上的極值；（2）設，求證：.

2024—2025學年上學期期中考試高三年級數(shù)學試題考試時間：120分鐘滿分：150分留意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息；2.請將答案正確填寫在答題卡上.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列表示圖中的陰影部分的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)交集、并集和補集的定義推斷即可.【詳解】①②③④⑥⑦，②③④⑤⑥⑦，所以②③④⑥⑦，故A正確；①②③④⑤⑥，所以①②③④⑥，故B錯；①②③④⑤⑥⑦，故C錯；③④⑥，故D錯.故選：A.2.若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面上對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先化簡復數(shù)，然后求其共軛復數(shù)，再依據(jù)復數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】在復平面上對應的點為，該點在第一象限，故選：A.3.已知非零向量滿意，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量垂直，結(jié)合數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】，，故選：D4.函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：依據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值的符號解除即可推斷；方法二：依據(jù)函數(shù)的奇偶性及某個函數(shù)值的符號解除即可推斷.【詳解】方法一：因為，即，所以，所以函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故解除；當時，，即，因此，故解除A.故選:D.方法二：由方法一，知函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故解除；又，所以解除A.故選：D.5.將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合對函數(shù)圖象的影響可得.【詳解】將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，得到函數(shù)即的圖象，再把函數(shù)圖象上全部點的橫坐標縮短為原來的一半，就得到函數(shù)的圖象，然后再把函數(shù)的圖象上全部點的縱坐標伸長為原來的4倍，就得到函數(shù)的圖象.故選：A.6.已知數(shù)列的首項為1，是邊所在直線上一點，且，則數(shù)列的通項公式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三點共線，可得，再由等比數(shù)列的通項公式求出結(jié)果.【詳解】由題意可知三點共線，所以，因為，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故選：A7.已知正方形ABCD的邊長為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則點D的運動軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題設分析時的形態(tài)，進而確定D的運動軌跡，即可求軌跡長度.【詳解】設方形對角線AC與BD交于O，由題意，翻折后時，為邊長為的等邊三角形，此時，若接著翻折，如下圖示，所以點D的運動軌跡是以O為圓心，為半徑的圓心角為的圓弧，所以點D的運動軌跡的長度為.故選：C8.已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)正弦定理可得，再建立平面直角坐標系求解的軌跡方程，進而可得面積的最大值.【詳解】中，在中，故，，因，故，又角的平分線交于點，則，故.故.以為坐標原點建立如圖平面直角坐標系，則因為，，故，，設，則，即，故，化簡可得，即，故點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.故當縱坐標最大，即時面積取最大值為.故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.若，則B.命題：“”的否定是“”C.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為D.若函數(shù)則【答案】ACD【解析】【分析】利用二次函數(shù)求最值推斷A，利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題來推斷B，依據(jù)抽象函數(shù)的定義域可推斷C，依據(jù)換元法求解析式可推斷D.【詳解】對于選項A，由，得，，則，，所以當時，取到最小值，所以，故選項A正確；對于選項B，“”的否定是“”，故選項B不正確；對于選項C，函數(shù)的定義域為，則中的范圍為，即，所以，由抽象函數(shù)的定義域可得，中的范圍為，故函數(shù)的定義域為；所以選項C正確；對于選項D，令，則，，由得，，所以，，所以選項D正確.故選：ACD.10.已知是函數(shù)的圖象與直線的兩個交點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的定義域為C.在區(qū)間單調(diào)遞增D.的圖象的對稱中心為點【答案】AD【解析】【分析】A選項，依據(jù)的周期性推斷即可；BD選項利用整體代入的方法求定義域和對稱中心即可；C選項，利用代入檢驗法推斷單調(diào)性.【詳解】因為是函數(shù)的圖象與直線的交點，所以的最小值為函數(shù)的最小正周期，，所以，故A正確；令，解得，所以的定義域為，故B錯；因為，所以，因為函數(shù)在上不單調(diào)，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故C錯；令，解得，所以的對稱中心為點，，故D正確.故選：AD.11.已知數(shù)列的前項的和為，，，，則下列說法正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C. D.【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)遞推公式可判定A，利用特別項結(jié)合等比數(shù)列的定義可判定B，利用迭代法及等比數(shù)列的定義結(jié)合的關系可判定C、D.【詳解】由題意可知，所以，故A正確；因為，所以不能是等比數(shù)列，故B錯誤；因為（），即（），所以，所以，即，又因為，所以是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即，故D正確．故選：AD.12.設函數(shù)的定義域為，且滿意，，當時，，則（）A.是奇函數(shù)B.C.的值域是D.方程在區(qū)間內(nèi)恰有1518個實數(shù)解【答案】ACD【解析】【分析】由推斷奇函數(shù)，即推斷A選項；求周期再結(jié)合奇偶性計算的值，即推斷B選項；利用導數(shù)推斷上的單調(diào)性，再求最值，最終利用奇偶性，對稱性即推斷C選項；將的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，畫出圖象先求出上的交點個數(shù)，再利用周期計算上的交點個數(shù)，即推斷D選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，因為，所以，又因為，所以，所以是奇函數(shù)，A正確；由，得，所以以4為周期，因為，所以，故B錯誤；因為當時，，所以，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以．因為為奇函數(shù)，所以當時，，因為的圖象關于直線對稱，所以當時，，因為的周期為4，所以當時，，故C正確；方程的解的個數(shù)，即的圖象與的圖象交點個數(shù)．因為的周期為4，且當時，與有3個交點，所以當時，與有個交點，故D正確．故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列滿意，則__________.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，代入條件式，可求得，再依據(jù)，可得解.【詳解】在等差數(shù)列中，，又，，解得，又，而，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)列式，消去得的解析式.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，所以，即，又為奇函數(shù)，所以，即，所以，解得.故答案為：15.在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)條件及余弦定理，可求得，由勾股定理可得，則三棱錐的外接球球心為中點，即外接圓的直徑為，進而求出外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.【詳解】由，，，依據(jù)余弦定理可得，則，，中E為斜邊AB中點，所以到各點的距離相等，則三棱錐外接球的直徑為，故三棱錐外接球的表面積為．故答案為：16.在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】寫出的表達式，利用余弦定理和基本不等式即可求出最大值.【詳解】由題意，,所以消去得，由,得，當且僅當時等號成立，∴，∴原式故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列為等比數(shù)列，在數(shù)列中，，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出等比數(shù)列的公比，然后利用等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項公式；（2）結(jié)合等差數(shù)列求和公式及等比數(shù)列求和公式，利用分組求和法求解即可.【小問1詳解】由已知，所以等比數(shù)列的公比為，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）得：.18.已知，，且.（1）求角的大??；（2）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有極大值，無微小值，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)關系求得，結(jié)合角的范圍及求解即可；（2）先依據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)得，再運用三角函數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】因為，所以，所以，又，所以，故或，解得或，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，當時，，因為在區(qū)間上有極大（最大）值，無微?。ㄗ钚。┲?，所以，解得，所以的取值范圍為.19.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性；【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】(1)代入，求出即可求得切線方程；(2)函數(shù)求導，對分類探討，進而求得單調(diào)性.【小問1詳解】當時，，，所以，曲線在處的切線方程為.【小問2詳解】，①當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，令，則(舍)或，，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；，當時，函數(shù)單調(diào)遞增.③當時，令，則或(舍)，，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；，當時，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當時，當時，函數(shù)單調(diào)遞減當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增20.已知數(shù)列的前項和為.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與的關系化簡得為等差數(shù)列后求解，（2）由裂項相消法求解．【小問1詳解】，可得，可得，即數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，可得，由，可得；【小問2詳解】，即有.21.如圖，有一景區(qū)的平面圖是一個半圓形，其中O為圓心，直徑AB的長為，C，D兩點在半圓弧上，且，設．（1）當時，