湖南省邵陽市武岡市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page212024年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試試卷本試卷分為問卷和答卷.考試時量120分鐘，滿分150分.請將答案寫在答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧?，，則.故選：B.2.已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依據(jù)已知列式解出，即可依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算得出答案.【詳解】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，且，故，.故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選：A.3.若向量，則“”是“向量的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)向量的夾角為鈍角求出m的范圍，即可推斷“”和“向量的夾角為鈍角”之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】向量，由向量的夾角為鈍角，即有，解得且，即“”不能推出“且”即“向量的夾角為鈍角”；“向量的夾角為鈍角”即“且”能推出“”；故“”是“且”的必要不充分條件，即“”是“向量的夾角為鈍角”的必要不充分條件．故選：B．4.設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，且，則（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的定義，即可求出公差的值.【詳解】解：等差數(shù)列中，，所以；又，所以；所以，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的定義應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.5.已知某種垃圾的分解率為，與時間（月）滿意函數(shù)關(guān)系式（其中，為非零常數(shù)），若經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解率為10%，經(jīng)過24個月，這種垃圾的分解率為20%，那么這種垃圾完全分解，至少須要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：）A.48個月 B.52個月 C.64個月 D.120個月【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，然后再代入數(shù)值計算即可.【詳解】由題意可得，解得，所以，這種垃圾完全分解，即當(dāng)時，有，即，解得.故選：B6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中.在已知的條件下，則下列選項(xiàng)中可以確定其值的量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)圖象可知，是函數(shù)兩個零點(diǎn)，即可得，利用已知條件即可確定的值.【詳解】依據(jù)圖象可知，函數(shù)的圖象是由向右平移個單位得到的；由圖可知，利用整體代換可得，所以，若為已知，則可求得.故選：B7.已知向量滿意，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形,依據(jù)幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.8.已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】不等式不恒成立，確定此時，恒成立，著重考慮的情形，不等式變形為，再變形為，因此引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明它在上是增函數(shù)，不等式又變形為，，又引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得其最大值即得的范圍．【詳解】由題意，若明顯不是恒大于零，故.（由4個選項(xiàng)也是明顯可得），則在上恒成立；當(dāng)時，等價于，令在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，?再設(shè)，令，時，，時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，所以.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是問題的化簡與轉(zhuǎn)化，首先確定，其次確定恒成立，在時，把不等式變形，通過新函數(shù)的單調(diào)性逐步轉(zhuǎn)化，最終分別參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為 B.的最大值為2C.在上單調(diào)遞減 D.是的一條對稱軸【答案】AD【解析】【分析】依題意可得，再依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)推斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的最小正周期為，故A正確．當(dāng)時取最大值，且最大值為，故B錯誤．當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯誤．因?yàn)?，所以是的一條對稱軸，故D正確.故選：AD10.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿意，，，下列結(jié)論正確的有（）A. B.C.是數(shù)列中的最大項(xiàng) D.是數(shù)列中的最大項(xiàng)【答案】ABD【解析】【分析】由已知分析出，，，即可推斷各個選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，且，，，若，則為增數(shù)列，且，則不成立，故假設(shè)不成立，所以，，，對于A，，故A正確．對于B，，故B正確．對于C，依據(jù)上面分析，等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都為正值，所以無最大值，所以數(shù)列無最大項(xiàng)，故C錯誤．對于D，等比數(shù)列中從到的每一項(xiàng)都大于1，從起先后面每一項(xiàng)都小于1且大于0，所以是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故D正確．故選：ABD．11.已知過拋物線T：焦點(diǎn)F的直線l交拋物線T于A，B兩點(diǎn)，交拋物線T的準(zhǔn)線與點(diǎn)M，，，則下列說法正確的有（）A.直線l的傾斜角為150° B.C.點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為8 D.拋物線T的方程為【答案】BD【解析】【分析】如圖，由題意和拋物線的定義可得、，即可推斷AB；聯(lián)立直線l方程和拋物線方程，依據(jù)韋達(dá)定理和拋物線的定義可得，解出p即可推斷CD.【詳解】過點(diǎn)A、B分別作AC、BD垂直于準(zhǔn)線，垂足分別為C、D，則，因?yàn)椋?，，由得，在中，，所以銳角，所以該直線l的傾斜角為.由拋物線的對稱性知，當(dāng)點(diǎn)A位于第四象限，同理可得該直線l的傾斜角為.綜上，直線l的傾斜角為30°或150°，故A錯誤，B正確．設(shè)直線l的方程為，，，由，消去y得，所以，所以，解得，所以點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離為4，拋物線T的方程為，故C錯誤，D正確．故選：BD．12.如圖，在直四棱柱中，分別為側(cè)棱上一點(diǎn)，，則（）A.B.可能為C.的最大值為D.當(dāng)時，【答案】ACD【解析】【分析】由題設(shè)結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而有，再由線面垂直的判定、性質(zhì)推斷A；構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用線線角的向量求法求、的余弦值或范圍推斷B、C；向量法直線位置關(guān)系推斷D.【詳解】由題設(shè)，四邊形為等腰梯形，且，由，所以，又，結(jié)合題圖知：，即，所以，則，即，由題設(shè)面，面，則，，面，故面，面，所以，A對；由兩兩垂直，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，若，則，所以，則，所以不行能為，B錯；由，則，故，令，則，所以，C對；時，明顯，即，D對.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用已知及線面垂直的性質(zhì)、判定確定兩兩垂直，應(yīng)用向量法推斷其它各項(xiàng)為關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)求值.【詳解】，其二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)為，，令，即，所以，故答案為：.14.某班派遣五位同學(xué)到甲，乙，丙三個街道進(jìn)行打掃活動，每個街道至少有一位同學(xué)去，至多有兩位同學(xué)去，且兩位同學(xué)去同一個街道，則不同的派遣方法有_________種.【答案】18【解析】【分析】先支配，再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進(jìn)行全排列，求出答案.【詳解】由題意得，學(xué)生的支配人數(shù)分別為2，2，1，由于兩位同學(xué)去同一個街道，故先從3個街道中選擇1個支配，有種，再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進(jìn)行全排列，有故不同的派遣方法有種.故答案為：1815.已知體積為96的四棱錐的底面是邊長為的正方形，底面ABCD的中心為，四棱錐的外接球球心O原委面ABCD的距離為2，則點(diǎn)P的軌跡的長度為_________.【答案】【解析】【分析】由已知可得原委面的距離為6，進(jìn)而可求外接球的半徑，即可知與不行能在面的兩側(cè)，則在垂直于且與球心距離為4的平面與的外接球的交線上，即可求的軌跡長度.【詳解】由題意可知：點(diǎn)P原委面ABCD的高，又因?yàn)樗睦忮F的外接球的球心O原委面ABCD的距離為2，設(shè)外接球半徑為R，因?yàn)榈酌鍭BCD的中心為，所以平面ABCD，則，可得，所以點(diǎn)O與點(diǎn)P不行能在平面ABCD的兩側(cè)，如圖所示，所以點(diǎn)P在垂直于且與球心O的距離為4的平面于的外接球的交線上，在以為半徑的圓上，因?yàn)椋?，故點(diǎn)P的軌跡長度為．故答案為：.16.已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義，通過構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意，有兩個極值點(diǎn)等價于，有兩個不同實(shí)根，且，令，得，設(shè)，，令，得；令，得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，所以，則，，作出與的大致圖象如下：，所以時，．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：依據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿意（1）令，求證：數(shù)列等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義推斷，即可證明；（2）依據(jù)題意，結(jié)合分組求和法，再由等差數(shù)列求和以及等比數(shù)列求和公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】∵，∴數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可知：，∴，從而故.18.如下圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，且，.（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以為底面，為高，可求得三棱錐的體積；（2）利用坐標(biāo)法求線面夾角正弦值，進(jìn)而可得余弦值.【小問1詳解】三棱柱為直三棱柱，平面平面，且平面平面，即平面為矩形，，，且點(diǎn)為中點(diǎn)，，且為直角三角形，，平面，又點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，，即，所以；【小問2詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，即，所以，即直線與平面所成角的余弦值為.19.某公司有A，B，C型三輛新能源電動汽車參與陽光保險，每輛車須要向陽光保險繳納800元的保險金，若在一年內(nèi)出現(xiàn)事故每輛車可賠8000元的賠償金（假設(shè)每輛車每年最多賠償一次）.設(shè)型三輛車一年內(nèi)發(fā)生事故的概率分別為，，，且每輛車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立.（1）求該公司獲賠的概率；（2）設(shè)獲賠金額為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由每輛車發(fā)生事故相互獨(dú)立，可通過對立事務(wù)的概率計算即可;（2）由題意可得獲賠金額可能為0，8000，16000，24000元，分別計算出概率，列出分布列，求出期望即可.【小問1詳解】設(shè)該公司獲賠的概率為，則.【小問2詳解】由題意可知：，8000，16000，24000.則;;;.X080001600024000P.20.在中，a、b、c分別為角所對的三邊，若（1）求角C；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先應(yīng)用坐標(biāo)的數(shù)量積公式計算，再應(yīng)用正弦定理余弦定理計算即可；（2）先應(yīng)用平面對量基本定理，再求導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)性得出最大值.【小問1詳解】由已知得由正弦定理得：由余弦定理得：∵，∴【小問2詳解】∵∴，∴而∴在上遞增，遞隇，故的最大值為.21.如圖，橢圓，點(diǎn)在橢圓C上，為其上下頂點(diǎn)，且，過點(diǎn)P作兩直線與分別交橢圓C于兩點(diǎn)，若直線與的斜率互為相反數(shù).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)在橢圓上以及求解出的值，則橢圓方程可求；（2）依據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出的方程，然后分別求解出的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式以及基本不等式求解出的最大值.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】由題意可知斜率存在，設(shè)直線為，則直線為，聯(lián)立，整理得，由，解得，又由可得，則，同理可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，且滿意，因此，的最大值為．22.已知函數(shù).（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范