高二數學考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)1.2空間向量基本定理(原卷版+解析)

1.2空間向量基本定理備注：資料包含：1.基礎知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：空間向量基底的概念；用空間基底表示向量；空間向量基本定理的應用課堂知識小結考點鞏固提升知識歸納空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使.若三向量不共面，我們把叫做空間的一個，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使考點講解考點講解考點1：空間向量基底的概念例1．已知是空間一個基底，，，一定可以與向量，構成空間另一個基底的是（

）A． B． C． D．【方法技巧】1.根據空間向量共面的判定定理及空間向量基底的概念判斷2.根據空間向量的一組基底是：任意兩個不共線，且不為零向量，三個向量不共面，即可判斷出結論．【變式訓練】【變式1】．在空間四點O，A，B，C中，若是空間的一個基底，則下列命題不正確的是（

）A．O，A，B，C四點不共線B．O，A，B，C四點共面，但不共線C．O，A，B，C四點不共面D．O，A，B，C四點中任意三點不共線【變式2】（多選）．已知，，是空間的三個單位向量，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，兩兩共面，則，，共面C．對于空間的任意一個向量，總存在實數，，，使得D．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底【變式3】．已知空間四邊形各邊及對角線長都相等，分別為的中點，求與夾角余弦值．考點2：用空間基底表示向量例2．三棱柱中，為棱的中點，若，則（

）A．B．C．D．【方法技巧】1.空間向量的基底2.由空間向量的線性運算求解．【變式訓練】【變式1】．如圖所示，在平行六面體中是的中點，點是上的點，且，用表示向量的結果是______.【變式2】．已知四棱柱的底面是正方形，底面邊長和側棱長均為2，，則對角線的長為________．【變式3】．如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，．(1)證明：、、、四點共面．(2)若，求．考點3：空間向量基本定理的應用例3．已知向量可作為空間的一組基底，若，且在基底下滿足，則__．【方法技巧】1.利用基底概念。2.結合各種計算，求出所需結果【變式訓練】【變式1】．如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（

）A． B．C． D．【變式2】．已知O，A，B，C為空間四點，且向量，，不能構成空間的一個基底，則一定有（

）A．，，共線 B．O，A，B，C中至少有三點共線C．與共線 D．O，A，B，C四點共面【變式3】．（多選）如圖，在平行六面體中，，點分別是棱的中點，則下列說法中正確的有（

）A．B．向量共面C．D．若，則該平行六面體的高為知識小結知識小結空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使。鞏固提升鞏固提升一、單選題1．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M，設＝，＝，＝，則＝（）A．++ B．+C．++ D．+2．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形．若，且，則的長為（

）A． B． C． D．23．已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．4．設向量是空間一個基底，則一定可以與向量構成空間的另一個基底的向量是A． B． C． D．或5．已知是一個空間的基底，向量，，，，若則x，y，z分別為（

）．A．，， B．，1，C．，1， D．，1，6．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則為（

）A． B．C． D．7．已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，，，設，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．8．已知是所在平面外一點，是中點，且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．任何三個不共面的向量可構成空間的一個基底B．空間的基底有且僅有一個C．兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一個基底D．直線的方向向量有且僅有一個10．關于空間向量，以下說法正確的是（

）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面C．已知向量是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底D．若，則是鈍角三、填空題11．如圖，在四面體中，是的中點，設，，，請用??的線性組合表示___________.12．正方體中，點是上底面的中心，若，則___________.13．已知非零向量，，且不共面．若，則_______.14．已知是空間的一個單位正交基底，向量是空間的另一個基底，用基底表示向量___________.四、解答題15．如圖，在平行六面體中，M是的對角線的交點，N是棱BC的中點．設，，，若以，，為一組基，求在這組基下的坐標．16．如圖所示，已知是平行六面體．(1)化簡；(2)設是底面的中心，是側面對角線上的分點，設，試求，，的值．1.2空間向量基本定理備注：資料包含：1.基礎知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：空間向量基底的概念；用空間基底表示向量；空間向量基本定理的應用課堂知識小結考點鞏固提升知識歸納空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使.若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使.考點講解考點講解考點1：空間向量基底的概念例1．已知是空間一個基底，，，一定可以與向量，構成空間另一個基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意和空間向量的共面定理，結合向量（）+（）＝2，得與是共面向量，同理與是共面向量，所以與不能與、構成空間的一個基底；又與和不共面，所以與、構成空間的一個基底．故選：C．【方法技巧】1.根據空間向量共面的判定定理及空間向量基底的概念判斷2.根據空間向量的一組基底是：任意兩個不共線，且不為零向量，三個向量不共面，即可判斷出結論．【變式訓練】【變式1】．在空間四點O，A，B，C中，若是空間的一個基底，則下列命題不正確的是（

）A．O，A，B，C四點不共線B．O，A，B，C四點共面，但不共線C．O，A，B，C四點不共面D．O，A，B，C四點中任意三點不共線【答案】B【解析】【分析】根據基底的含義，非零向量不在同一平面內，即O，A，B，C四點不共面，即可判斷【詳解】因為為基底，所以非零向量不在同一平面內，即O，A，B，C四點不共面，所以A、C、D選項說法正確，B錯誤．故選：B【變式2】（多選）．已知，，是空間的三個單位向量，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，兩兩共面，則，，共面C．對于空間的任意一個向量，總存在實數，，，使得D．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底【答案】AD【解析】【詳解】根據空間向量共面的判定定理及空間向量基底的概念逐項判斷即可.【解答】解：，，是空間的三個單位向量，由，，則，故A正確；，，兩兩共面，但是，，不一定共面，，，可能兩兩垂直，故B錯誤；由空間向量基本定理，可知只有當，，不共面，才能作為基底，才能得到，故C錯誤；若是空間的一組基底，則，，不共面，可知也不共面，所以也是空間的一組基底，故D正確．故選：AD.【變式3】．已知空間四邊形各邊及對角線長都相等，分別為的中點，求與夾角余弦值．【答案】【解析】【分析】設，且各長度均為，根據空間向量的基本定理，得到，，根據數量積的公式和夾角公式，可得答案.【詳解】設，且各長度均為，則，因為，，且，，所以，所以.與所成角的余弦值為.考點2：用空間基底表示向量例2．三棱柱中，為棱的中點，若，則（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：．故選：B【方法技巧】1.空間向量的基底2.由空間向量的線性運算求解．【變式訓練】【變式1】．如圖所示，在平行六面體中是的中點，點是上的點，且，用表示向量的結果是______.【答案】【解析】【分析】由空間向量的線性運算求解．【詳解】是的中點，．故答案為：．【變式2】．已知四棱柱的底面是正方形，底面邊長和側棱長均為2，，則對角線的長為________．【答案】【解析】【分析】由向量的方法計算，將表示成，平方即可.【詳解】由題可知四棱柱為平行六面體，，所以，所以.故答案為：.【變式3】．如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，．(1)證明：、、、四點共面．(2)若，求．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）在上取一點，使得，連接、，根據平行六面體的性質、，即可得到，即可得證；（2）結合圖形，根據空間向量線性運算法則計算可得.（1）證明：在上取一點，使得，連接、，在平行六面體中，，，，且，且，所以四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，所以，且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，、、、四點共面．（2）解：因為，即，，，．考點3：空間向量基本定理的應用例3．已知向量可作為空間的一組基底，若，且在基底下滿足，則__．【答案】2【解析】【分析】根據題意利用向量相等列出方程組求出的值．【詳解】因為，且，所以，解得故答案為：2．【方法技巧】1.利用基底概念.2.結合各種計算，求出所需結果【變式訓練】【變式1】．如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用向量加法減法的幾何意義并依據空間向量基本定理去求向量【詳解】連接AG并延長交BC于N，連接ON，由G是的重心，可得，則則故選：D【變式2】．已知O，A，B，C為空間四點，且向量，，不能構成空間的一個基底，則一定有（

）A．，，共線 B．O，A，B，C中至少有三點共線C．與共線 D．O，A，B，C四點共面【答案】D【解析】【分析】根據空間向量基本定理即可判斷【詳解】由于向量，，不能構成空間的一個基底知，，共面，所以O，A，B，C四點共面故選：D【變式3】．（多選）如圖，在平行六面體中，，點分別是棱的中點，則下列說法中正確的有（

）A．B．向量共面C．D．若，則該平行六面體的高為【答案】ACD【解析】【分析】選定空間的一個基底，表示出相關向量，計算數量積判斷A；利用共面向量定理判斷B；求出正四面體的高判斷D作答.【詳解】在平行六面體中，令，不妨令，依題意，，，因點M，N分別是棱的中點，則，，則有，A正確；，若向量共面，則存在唯一實數對使得，即，而不共面，則有，顯然不成立，B不正確；由,則，故C正確.連接，依題意，，即四面體是正四面體，因此，平行六面體的高等于點到平面的距離，即正四面體的高h，由知，由選項A知，，則平面，是平面的一個法向量，，，則，所以平行六面體的高為，D正確.故選：ACD知識小結知識小結空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使.若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M，設＝，＝，＝，則＝（）A．++ B．+C．++ D．+【答案】B【解析】【分析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出．【詳解】如圖所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故選：B．2．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形．若，且，則的長為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】利用基底向量可求的長.【詳解】，故，故，故選：A3．已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用空間向量基本定理進行計算.【詳解】.故選：A4．設向量是空間一個基底，則一定可以與向量構成空間的另一個基底的向量是A． B． C． D．或【答案】C【解析】【分析】根據空間向量的一組基底是：任意兩個不共線，且不為零向量，三個向量不共面，從而判斷出結論．【詳解】解：由題意和空間向量的共面定理，結合，得與、是共面向量，同理與、是共面向量，所以與不能與、構成空間的一個基底；又與和不共面，所以與、構成空間的一個基底．故選：．5．已知是一個空間的基底，向量，，，，若則x，y，z分別為（

）．A．，， B．，1，C．，1， D．，1，【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的基本定理即可求解.【詳解】，，解得,故選：A6．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B7．已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，，，設，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由圖形可得，根據比例關系可得，，再根據向量減法，代入整理并代換為基底向量．【詳解】即故選：D．8．已知是所在平面外一點，是中點，且，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】利用向量減法的三角形法則進行計算即可.【詳解】因為M是PC中點，，又，，∴.故選：A.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．任何三個不共面的向量可構成空間的一個基底B．空間的基底有且僅有一個C．兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一個基底D．直線的方向向量有且僅有一個【答案】AC【解析】【分析】根據基底、直線的方向向量等知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A，任何三個不共面的向量都可構成空間的一個基底，所以A正確，B錯誤；對于C，兩兩垂直的三個非零向量不共面，可構成空間的一個基底，C正確；對于D，直線的方向向量有無數個，所以D錯誤.故選：AC10．關于空間向量，以下說法正確的是（

）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面C．已知向量是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底D．若，則是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】對于A，根據共線向量的概念理解判斷；對于B：根據且P，A，B，C四點共面，分析判斷；對于C：基底向量的定義是空間的一個基底不共面，分析判斷；對于D：根據數量積的定義可得，結合向量夾角的范圍分析判斷．【詳解】對于A，根據共線向量的概念，可知空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，所以A正確；對于B，若對空間中任意一點O，有因為，根據空間向量的基本定理，可得P，A，B，