高中數(shù)學(xué)必修五不等式學(xué)案

§3.1不等關(guān)系與不等式（1）

2學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著的不等關(guān)系；

2.會(huì)從實(shí)際問題中找出不等關(guān)系，并能列出不等式與不等式組.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：寫出一個(gè)以前所學(xué)的不等關(guān)系

復(fù)習(xí)2：用不等式表示，某地規(guī)定本地最低生活保障金x不低于400元

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究1：

文字語言數(shù)學(xué)符號文字語言數(shù)學(xué)符號

大于至多

小于至少

大于等于不少于

小于等于不多于

探究2：限速40WA的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40Wh,

寫成不等式就是_______________

某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量p應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量q應(yīng)不少

于2.3%,寫成不等式組就是

派典型例題

例1設(shè)點(diǎn)A與平面的距離為d,B為平面a上的任意一點(diǎn)，則其中不等關(guān)系有

例2某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1

元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本.若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示

銷售的總收入仍不低于20萬元呢？

例3某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600如“兩種.按照生產(chǎn)的要求，

600mm的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足所有上述不等關(guān)系的不等式呢？

X動(dòng)手試試

練1.用不等式表示下面的不等關(guān)系：

(1)a與b的和是非負(fù)數(shù)

(2)某公路立交橋?qū)νㄟ^車輛的高度〃“限高4〃?”

(3)如圖(見課本74頁)，在一個(gè)面積為350的矩形地基上建造一個(gè)倉庫,

四周是綠地，倉庫的長L大于寬卬的4倍

練2.有一個(gè)兩位數(shù)大于50而小于60,其個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)大2.試用不等式表示上述關(guān)

系，并求出這個(gè)兩位數(shù)（用。和b分別表示這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字）.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.會(huì)用不等式（組）表示實(shí)際問題的不等關(guān)系;

2.會(huì)用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題.

知識(shí)拓展

“等量關(guān)系”和“不等量關(guān)系”是“數(shù)學(xué)王國”的兩根最為重要的“支柱”，相比較其

它二些科學(xué)王國來說，“證明精神”可以說是“數(shù)學(xué)王國”的“血液和靈魂”.

心學(xué)習(xí)評價(jià)

X自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.下列不等式中不成立的是（）.

A.-1<2B.一1<2

C.-1<-1D.1.

2.用不等式表示,某廠最低月生活費(fèi)a不低于300元（）.

A.a<300B.a>300

C.a>300D.a<300

3.已知a+〃>0,b<0,那么〃也-。,-匕的大小關(guān)系是（）.

A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>b

C.a>-h>h>-aD.a>b>-a>-h

4.用不等式表示：a與b的積是非正數(shù)

5.用不等式表示:某學(xué)校規(guī)定學(xué)生離校時(shí)間f在16點(diǎn)到18點(diǎn)之間

心課后作業(yè)

1.某夏令營有48人，出發(fā)前要從A、8兩種型號的帳篷中選擇?種.A型號的帳篷比B型

號的少5頂.若只選A型號的，每頂帳篷住4人，則帳篷不夠：每頂帳篷住5人，則有一

頂帳篷沒有住滿.若只選B型號的，每頂帳篷住3人，則帳篷不夠；每頂帳篷住4人，則

有帳篷多余.設(shè)A型號的帳篷有x頂，用不等式將題目中的不等關(guān)系表示出來.

2.某正版光碟，若售價(jià)20元/本，可以發(fā)行10張，售價(jià)每體高2元，發(fā)行量就減少5000

張，如何定價(jià)可使銷售總收入不低于224萬元？

§3.1不等關(guān)系與不等式(2)

1.掌握不等式的基本性質(zhì)；

2.會(huì)用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式;

3.會(huì)將一些基本性質(zhì)結(jié)合起來應(yīng)用.

4學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

1.設(shè)點(diǎn)A與平面a之間的距離為d,B為平面a上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A與平面a的距離小于

或等于A、B兩點(diǎn)間的距離，請將上述不等關(guān)系寫成不等式.

2.在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過不等式的一些基本性質(zhì).請同學(xué)們回憶初中不等式的的基本性

質(zhì).

(1)a>b力〉c=ac

(2)a>b=>a+cb+c

(3)a>b,c>O=>acbe

(4)a>b,cacbe

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

問題1：如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.

問題2：同學(xué)們能證明以上的不等式的基本性質(zhì)嗎？并利用以上基本性質(zhì)，證明不等式的下

列性質(zhì)：

⑴。>b,c>d=a+c>b+d;

(2)。>h>O,c>dac>bd;

(3)a>b>0,neN,n>i^>an>〃';標(biāo)>標(biāo).

X典型例題

例1比較大?。?/p>

(1)(V3+V2)2___6+2而；

(2)(V3-V2)2(^6-1)2;

Vs—2V6—A/5

(4)當(dāng)?！地?gt;0時(shí)，log!alog)/?.

22

變式：比較(a+3)(〃-5)與(〃+2)(。-4)的大小.

例2已知a>b>0,c<0,求證—>—.

ab

變式：已知。>b>0,c>J>0,求證:

例3已知12<a<60,15<5<36,求a-b及巴的取值范圍.

b

變式：已知-44”,求9〃-〃的取值范圍.

派動(dòng)手試試

練1.用不等號3”或“V”填空：

(1)a>b、c<d=a—cb-d；

(2)a>b>0,c<d<0=>acbd；

(3)a>/?>0=>y[a\[b；

(4)a>b>0=>-^r__—r.

CT—b2

練2.已知心>0,求證Jl+x<1+:.

2

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明了一些簡單的不等式，還研究了如何比

較兩個(gè)實(shí)數(shù)(代數(shù)式)的大小——作差法，其具體解題步驟可歸納為：

第一步：作差并化簡，其目標(biāo)應(yīng)是〃個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；

第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論；

第三步：得出結(jié)論.

X知識(shí)拓展

“作差法”、“作商法”比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小

(1)作差法的一般步驟：

作差——變形——判定論

(2)作商法的一般步驟:

作商——變形——與1比較大小——定論

心學(xué)習(xí)評價(jià)

X自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(時(shí)量：5分鐘滿分：10分)計(jì)分：

1.^r/(.v)=3x2-x+l,g(x)=2x2+x-l,則/(x)與g(x)的大小關(guān)系為().

A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)

C.f(x)<g(x)D.隨x值變化而變化

2.已知x<a<0,則一定成立的不等式是().

A.x2<a2<0B.x2>ax>a2

C.x2<ax<0D.x2>a~2>ax

3.已知一手a"琛,則里二2的范圍是().

2

A.(-1,0)B.

C.(-pO]D.[-y,0)

4.如果a>6,有下列不等式：①/>〃，?-<-,③3">3〃，④lga>lg6,其中成立的

ab

是.

5.設(shè)a<0,-1<^<0,則a,ab,a/三者的大小關(guān)系為

?課后作業(yè)

L比較后+/與%朋大小?

2.某市環(huán)保局為增加城市的綠地面積，提出兩個(gè)投資方案：方案A為一次性投資500萬元;

方案B為第一年投資5萬元，以后每年都比前一年增加10萬元.列出不等式表示“經(jīng)n年

之后，方案B的投入不少于方案A的投入”.

§3.2一元二次不等式及其解法（1）

?Q學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.正確理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；

2.理解一元二次不等式、一元二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系，能借助二次函數(shù)的圖象及

一元二次方程解一元二次不等式.

4學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

（預(yù)習(xí)教材尸76~078,找出疑惑之處）

復(fù)習(xí)1：解下列不等式：

（1）—X>—1;（2）---X>1;（3）--X+1>0.

222

復(fù)習(xí)2：寫出一個(gè)以前所學(xué)的一元二次不等式,一元二次函數(shù)

________________,一元二次方程____________________

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

探究一：某同學(xué)要上網(wǎng)，有兩家公司可供選擇，公司A每小時(shí)收費(fèi)1.5元（不足1小時(shí)按1

小時(shí)收費(fèi)）;公司B的收費(fèi)原則為:在第1小時(shí)內(nèi)（含恰好1小時(shí)，下同）收費(fèi)1.7元，第2小時(shí)

內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時(shí)減少0.1元（若一次上網(wǎng)時(shí)間超過17小時(shí)按17小時(shí)計(jì)算）.如何選

擇？

歸納：這是一個(gè)關(guān)于X的一元二次不等式，最終歸結(jié)為如何解一元二次不等式.

新知：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的不等式，稱為

探究二：如何解?元二次不等式？能否與一元二次方程與其圖象結(jié)合起來解決問題呢？

歸納：解不等式時(shí)應(yīng)先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正，再1艮據(jù)圖象寫出其解集.

A>0A=0A<0

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c

(?>0)的圖象I上

一元二次方程

ax2+bx+c=0

(a>0)的根

ax2+bx+c>0

(a>0)的解集

ax1++c<0

3>0)的解集

派典型例題

例1求不等式-V+2x-3>0的解集.

變式：求下列不等式的解集.

(1)/+2x-3>0；(2)-X2+2X-3<Q.

例2求不等式4W-4x+l>0的解集.

小結(jié)：解一元二次不等式的步驟：（1）將原不等式化為一般式.（2）判斷△的符號.（3）求

方程的根.（4）根據(jù)圖象寫解集.

X動(dòng)手試試

練1.求不等式4/_以>15的解集.

練2.求不等式13-4/>0的解集.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

解一元二次不等式的步驟：（1）將原不等式化為一般式（。>0）.（2）判斷A的符號.（3）

求方程的根.（4）根據(jù)圖象寫解集.

派知識(shí)拓展

（1）ax2+hx+c>0^S一切xeR都成立的條件為1°

[△<0

（2）ax,+bx+ccO對一切xeR都成立的條件為[“<°

[△<0

心學(xué)習(xí)評價(jià)

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.已知方程ax?+法+。=0的兩根為須,々，且為<々，若。<0,則不等式ax'+bx+c<0的

解為（）.

A.RB.x,<x<x2

C.戈<丹或尤D.無解

2.關(guān)于x的不等式/+r+。>o的解集是全體實(shí)數(shù)的條件是（）.

A.c<—B.一C.c>—D.cN—

4444

3.在下列不等式中，解集是0的是（）.

A.2X2-3X+2>0B.X2+4X+4<0

C.4—4x—x,*<0D.—2+3x—2x->0

4.不等式工2一3工<0的解集是.

5.y=J_2Y+12X-18的定義域?yàn)?

:0課后作業(yè)

①求下列不等式的解集

(1)X2-3X-10>0：(2)x2-4x+5<0.

2.若關(guān)于x的一元二次方程/-(〃?+有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求機(jī)的取值范圍.

§3.2一元二次不等式及其解法（2）

1.鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系;

2.進(jìn)一步熟練解一元二次不等式的解法.

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：一元二次不等式的解法步驟是1.2.

3.4.

復(fù)習(xí)2：解不等式.

(1)3/-7X410；(2)-2X2+X-5<0.

二、新課導(dǎo)學(xué)

派典型例題

例1某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離sm和汽車的速度xkm/h有如下的關(guān)系:

在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m,那么這輛汽車剎車前的速度是多

少？（精確到0.01km/h）

例2一個(gè)汽車制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x

（輛）與創(chuàng)造的價(jià)值y（元）之間有如下的關(guān)系：

y=-2x2+220x

若這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個(gè)星期內(nèi)大約

應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車？

例3產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3000+20x-0.1x2,xe（0,240）.

若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，求生產(chǎn)者不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量.

X動(dòng)手試試

練1.在一次體育課匕某同學(xué)以初速度%=12〃?/s豎直上拋一排球，該排球能夠在拋出

點(diǎn)2m以上的位置最多停留多長時(shí)間？（注：若不計(jì)空氣阻力，則豎直上拋的物體距離拋出

點(diǎn)的高度A與時(shí)間x滿足關(guān)系gf2，其中g(shù)=9.Sm/s2）

練2.某文具店購進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若

售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞.為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上的銷售收入，

應(yīng)怎樣制定這批臺(tái)燈的銷售價(jià)格？

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

進(jìn)一步熟練掌握一元二次不等式的解法、一元二次不等式與一元二次方程以及一元二次

函數(shù)的關(guān)系.

X知識(shí)拓展

(1)連結(jié)三個(gè)“二次”的紐帶是：坐標(biāo)思想：函數(shù)值y是否大于零等價(jià)于為尸(x,y)是否在

x軸的上方.

(2)三個(gè)“二次”關(guān)系的實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想：加+取+。=0的解=丫=&+法+。圖象

上的點(diǎn)。,0)；

ax2+bx+c>0的解oy=/+法+c圖象上的點(diǎn)(x,y)在x軸的上方的x的取值范圍.

心學(xué)習(xí)評價(jià)

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(時(shí)量：5分鐘滿分：10分)計(jì)分：

1.函數(shù)y=的定義域是().

Yx?+x—12

A.{xlxv-4或工>3}B.{xl-4<x<3}

C.{xlx<-4?￡x>3)D.{xl-4<x<3}

2.不等式g產(chǎn)3-94-317的解集是().

A.[2,4]B.(-oo,2]U[4,+oo)

C.RD.(-oo,-21U[4,+oo)

3.集合4={xlx2-5x+440},

B={xlx2-5x+620},則4n8=().

A.{W14xW2或34x44}

B.{xll4x42Ji34x44)

C.{1,2,3,4)

D.{xl-44x4-l或24x43}

4.不等式*-5)。-2)<0的解集為.

5.已知兩個(gè)圓的半徑分別為1和5,圓心距滿足/-10<7+24<0,則兩圓的位置關(guān)系

為.

心課后作業(yè)

1.求下列不等式的解集：

(1)-X2-3X+10>0;(2)x(9-x)>0.

2.據(jù)氣象部門預(yù)報(bào),在距離某碼頭。南偏東45。方向600km處的熱帶風(fēng)暴中心A在以20km/h

的速度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受影響.從現(xiàn)在起多長時(shí)間后，

該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響，影響時(shí)間為多長？

§3.2一元二次不等式及其解法(3)

1.掌握一元二次不等式的解法；

2.能借助二次函數(shù)的圖象及一元二次方程解決相應(yīng)的不等式問題.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：實(shí)數(shù)比較大小的方法

復(fù)習(xí)2：不等式d+以+00("0)的解集.

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)：含參數(shù)的一元二次不等式的解法

問題：解關(guān)于x的不等式：

x2—(2機(jī)+\)x+m2+m<0

分析：在上述不等式中含有參數(shù)，因此需要先判斷參數(shù)對的解的影響.

先將不等式化為方程X，~(2m+l)x+m2+in=0

此方程是否有解，若有，分別為，其大小關(guān)系為

試試：能否根據(jù)圖象寫出其解集為

派典型例題

例1設(shè)關(guān)于x的不等式ax2+bx+l>0的解集為{xl-1<%<-},求a6.

小結(jié)：二次不等式給出解集，既可以確定對應(yīng)的二次函數(shù)圖象開口方向（即。的符號），又

可以確定對應(yīng)的二次方程的兩個(gè)根，由此可根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系建立系數(shù)字母關(guān)系式，或通過

代入法求解不等式.

變式：已知二次不等式ox，+bx+c<0的解集為■或x>L},求關(guān)于x的不等式

32

ex2-bx+a>0的解集.

例2A={xl?-4x+3<0},B=Ulx2-2A-+d-8<0},且A項(xiàng)8,求a的取值范圍.

小結(jié):

（1）解一元二次不等式含有字母系數(shù)時(shí)，要討論根的大小從而確定解集.

（2）集合間的關(guān)系可以借助數(shù)軸來分析，從而確定端點(diǎn)處值的大小關(guān)系.

例3若關(guān)于加的不等式機(jī)犬-（2加+1）工+機(jī)-120的解集為空集，求加的取值范圍.

變式1:解集為非空.

變式2：解集為一切實(shí)數(shù).

小結(jié)：機(jī)的不同實(shí)數(shù)取值對不等式的次數(shù)有影響，當(dāng)不等式為一元二次不等式時(shí)，的取

值還會(huì)影響二次函數(shù)圖象的開口方向，以及和x軸的位置關(guān)系.因此求解中，必須對實(shí)數(shù)m

的取值分類討論.

派動(dòng)手試試

練1.設(shè)/-2x+a-840對于一切xe(l,3)都成立，求4的范圍.

練2.若方程x?-2x+a-8=0有兩個(gè)實(shí)根玉,起，且為23,x2<1,求a的范圍.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

對含有字母系數(shù)的一元二次不等式，在求解過程中應(yīng)對字母的取值范圍進(jìn)行討論，其討

論的原則性一般分為四類：

X按二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類：

X若二次項(xiàng)系數(shù)不為零，再按其符號分類；

派按判別式△的符號分類；

X按兩根的大小分類.

X知識(shí)拓展

解高次不等式時(shí)，用根軸法：就是先把不等式化為一端為零，再對另端分解因式，并

求出它的零點(diǎn)，把這些零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上，再用一條光滑的曲線，從X軸的右端上方起，依次

穿過這些零點(diǎn)，則大于零的不等式的解對應(yīng)著曲線在x軸上方的實(shí)數(shù)x的取值集合；小于零

的不等式的解對應(yīng)著曲線在X軸下方的實(shí)數(shù)X的取值集合.

心學(xué)習(xí)評價(jià)

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(時(shí)量：5分鐘滿分：10分)計(jì)分：

1.若方程ox?+bx+c=0(〃<0)的兩根為2,3,那么or?+公+。>o的解集為()

A.{x\x>3^x<-2}B.{x\x>2^x<-3}

C.{xl-2<x<3}D.{xl-3<x<2}

2.不等式口？+法+2>0的解集是,貝等于().

A.-14B.14C.-10D.10

3.關(guān)于x的不等式/-(a-Dx-lvO的解集為0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().

33

A.(--,1]B.(-1,1)C.(-1,1]D.(--,1)

4.不等式/—5x<24的解集是.

5.若不等式。/+以-2>0的解集為則a力的值分別是___________.

4

心課后作業(yè)

1.機(jī)是什么實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于X的一元二次方程

mx2-(1-m)x+m=0沒有實(shí)數(shù)根.

2.解關(guān)于x的不等式—+(2—。)工一2。<0(〃WR).

§3.3.1二元一次不等式（組）與

平面區(qū)域（1）

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解二元一次不等式的幾何意義和什么是邊界，會(huì)用二元一次不等式組表示平面區(qū)域;

2.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出二元?次不等式組的過程，提高數(shù)學(xué)建模的能力.

夷分學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：一元二次不等式的定義二元一次不等式定義

_________________________二元一次不等式組的定義

復(fù)習(xí)2：解下列不等式：

,、，、3x2+x-2>0

（1）-2J+1>0；（2）<.

4X2-15X+9>0

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究1：一元一次不等式（組）的解集可以表示為數(shù)軸上的區(qū)間，例如，尸+3>°的解集

（x-4<0

為.那么，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形呢？

探究2：你能研究:二元一次不等式尤-），<6的解集所表示的圖形嗎？（怎樣分析和定邊界？）

從特殊到一般：

先研究具體的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的圖形.

如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，x-y=6表示一條直線.

平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線分成三類：

第一類：在直線x-y=6上的點(diǎn)；

第二類：在直線ry=6左上方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn);

第三類：在直線x-y=6右下方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)尸（X,%）是直線x-y=6上的點(diǎn)，選取點(diǎn)A（x,%），使它的坐標(biāo)滿足不等式x-y<6,

請同學(xué)們完成以下的表格,

橫坐標(biāo)X-3-2-10123

點(diǎn)P的縱

坐標(biāo)M

點(diǎn)A的縱

坐標(biāo)丫2

并思考:

當(dāng)點(diǎn)4與點(diǎn)P有相同的橫坐標(biāo)時(shí)，它們的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？

根據(jù)此說說，直線x-y=6左上方的坐標(biāo)與不等式x-y<6有什么關(guān)系？

直線x-y=6右下方點(diǎn)的坐標(biāo)呢？

在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次不等式x-y<6的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線x-y=6的

；反過來，直線x-y=6左上方的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式x-y<6.

因此，在平面直角坐標(biāo)系中，不.等式x-y<6表示直線x-y=6左上

方的平面區(qū)域；如圖：

類似的：二元一次不等式x-y>6表示直線x-y=6右下方的區(qū)域；如圖:

直線叫做這兩個(gè)區(qū)域的邊界?

結(jié)論：

1.二元一次不等式Ax+By+c>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+c=0某一側(cè)所有

點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）

2.不等式中僅>或<不包括;但含“4”“2”包括；同側(cè)同號，異側(cè)異號.

X典型例題

例1畫出不等式x+4y<4表示的平面區(qū)域.

分析：先畫（用—線表示），再取判斷區(qū)域，即可畫出.

歸納：畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法.特殊地,

當(dāng)CHO時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn).

變式：畫出不等式-x+2），-440表示的平面區(qū)域.

例2用平面區(qū)域表示不等式組‘的解集

歸納：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式

所表示的平面區(qū)域的公共部分.

變式1：畫出不等式（》+2了+1）（》-丫+4）<0表示的平面區(qū)域.

變式2：由直線x+y+2=0,x+2y+l=0和2x+y+l=0圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）

用不等式可表示為.

X動(dòng)手試試

練1.不等式x-2y+6>0表示的區(qū)域在直線x-2y+6=0的

練2.畫出不等式組六一3>+62°表示的平面區(qū)域

[x-y+2<0

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

由于對在直線4x+B），+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)（x,y）,把它的坐標(biāo)（x,y）代入

Ax+By+C,所得到實(shí)數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取?特殊點(diǎn)（%,%）,

從Ax0+8%+C的正負(fù)即可判斷Ax+8），+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C

#0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）

X知識(shí)拓展

含絕對值不等式表示的平面區(qū)域的作法：

（1）去絕對值符號，從而把含絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為普通的二元一次不等式.

（2）一般采用分象限討論去絕對值符號.

（3）采用對稱性可避免絕對值的討論.

（4）在方程f（xy）=0或不等式f（xy）>0中，若將xy換成（-x）（-y）,方程或不等式不變，

則這個(gè)方程或不等式所表示的圖形就關(guān)于y（x）軸對稱.

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.不等式x-2y+6>0表示的區(qū)域在直線x-2y+6=0的（）.

A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方

2.不等式3x+2y-640表示的區(qū)域是（）.

<A><11>(C)(O)

3.不等式組I；：'?。。表示的平面區(qū)域是，).

(A?iU)心11?

4.已知點(diǎn)(-3,-1)和(4,-6)在直線-3x+2y+a=0的兩側(cè)，則的取值范圍是

fx>1

5.畫出"表示的平面區(qū)域?yàn)椋?/p>

[y<l

x<3

1.用平面區(qū)域表示不等式組-2y>%的解集.

3x+2y>6

x-y+6>0

2.求不等式組卜+)，20表示平面區(qū)域的面積.

x<3

§3.3.1二元一次不等式（組）與

平面區(qū)域（2）

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域；

2.能根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件.

學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：畫出不等式2x+y-6V0表示的平面區(qū)域.

2x+3y<12

復(fù)習(xí)2：畫出不等式組，2x+3y>-6所示平面區(qū)域.

x>0

二、新課導(dǎo)學(xué)

派典型例題

例1要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小

鋼板的塊數(shù)如下表所示：

7^類型

A規(guī)格8規(guī)格C規(guī)格

鋼板類總、

第一種鋼板211

第二種鋼板123

今需要三種規(guī)格的成品分別為12塊、15塊、27塊，用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述要求.

例2一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲肥料的主要原料是磷酸鹽4t,硝酸

鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料的主要原料是磷酸鹽It,硝酸鹽15t.現(xiàn)庫存磷酸鹽10t,硝酸

鹽66t,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的

平面區(qū)域.

派動(dòng)手試試

練L不等式組所表示的平面區(qū)域是什么圖形？

練2.某人準(zhǔn)備投資1200萬興辦一所完全中學(xué)，對教育市場進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的

數(shù)據(jù)表格（以班級為單位）：

班級學(xué)配備教硬件建教師年

學(xué)段

生人數(shù)師數(shù)設(shè)（萬元）薪（萬元）

初中45226/班2/人

高中40354/班2/人

分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

根據(jù)實(shí)際問題的條件列出約束不等式組與目標(biāo)函數(shù).反復(fù)的讀題，讀懂已知條件和問

題，邊讀邊摘要，讀懂之后可以列出一個(gè)表格表達(dá)題意.然后根據(jù)題中的已知條件，找出約

束條件和目標(biāo)函數(shù)，完成實(shí)際問題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化.

X知識(shí)拓展

求不等式的整數(shù)解即求區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)是教學(xué)中的難點(diǎn)，它為線性規(guī)劃中求最優(yōu)整數(shù)解作

鋪墊.常有兩種處理方法，一種是通過打出網(wǎng)絡(luò)求整點(diǎn)；另一種是先確定區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)

的范圍，確定X的所有整數(shù)值，再代回原不等式組，得出y的一元一次不等式組，再確定y

的所有整數(shù)值，即先固定x,再用尤制約y.

痣小學(xué)習(xí)評價(jià)

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測(時(shí)量：5分鐘滿分：10分)計(jì)分：

1.不在3x+2y<6表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是().

A.(0,0)B.(1,1)

C.(0,2)D.(2,0)

2.不等式組f->‘+52°表示的平面區(qū)域是一個(gè)().

A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形

y<x

3.不等式組r+y41表示的區(qū)域?yàn)椤?，點(diǎn)4(0,-2),點(diǎn)6(0,0),則().

”3

A.［任。，8星。B.P^D,P2eDC.PteD,P2^DD.PteD,P2eD

4.由直線x+y+2=0,x+2y+l=0和2x+y+l=0的平圍成的三角形區(qū)域(不包括邊界)用

不等式可表示為.

‘4x+3y+8>0

5.不等式組x<0表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是.

y<0

1.一個(gè)小型家具廠計(jì)劃生產(chǎn)兩種類型的桌子A和B,每類桌子都要經(jīng)過打磨、著色、上漆三

道工序.桌子4需要lOmin打磨，6min著色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min著

色，9min上漆.如果一個(gè)工人每天打磨和上漆分別至多工作450min,著色每天至多480min,

請你列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并在直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.

2.某服裝制造商現(xiàn)有l(wèi)On?的棉布料，10n?的羊毛料，6n?的絲綢料.做一條褲子需要棉

布料1n?,2m2的羊毛料，In?的絲綢料，一條裙子需要棉布料1n?,In?的羊毛料，1

n?的絲綢料.一條褲子的純收益是20元，一條裙子的純收益是40元.為了使收益達(dá)到最大,

需要同時(shí)生產(chǎn)這兩種服裝，請你列出生產(chǎn)這兩種服裝件數(shù)所需要滿足的關(guān)系式，并畫出圖形.

§3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題（1）

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

①鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域；

②能根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件.

其就學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

閱讀課本P87至P8S的探究

找出目標(biāo)函數(shù)，線性目標(biāo)函數(shù)，線性規(guī)劃，可行解，可行域的定義.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

在生活、生產(chǎn)中，經(jīng)常會(huì)遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排的等問題，如：

某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)

lh,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件

和12個(gè)8配件，按每天8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？

（1）用不等式組表示問題中的限制條件：

設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，由已知條件可得二元一次不等式組：

（2）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域:

注意：在平面區(qū)域內(nèi)的必須是整數(shù)點(diǎn).

（3）提出新問題:

進(jìn)一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利

潤最大？

（4）嘗試解答:

（5）獲得結(jié)果:

新知：線性規(guī)劃的有關(guān)概念：

①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都

是關(guān)于x、y的?次不等式，故又稱線性約束條件.

②線性目標(biāo)函數(shù)：

關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫

線性目標(biāo)函數(shù).

③線性規(guī)劃問題：

一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃

問題.

④可行解、可行域和最優(yōu)解：

滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解.

由所有可行解組成的集合叫做可行域.

使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解.

X典型例題

例1在探究中若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬元，問如何安排生

產(chǎn)才能獲得最大利潤？

派動(dòng)手試試

y<x

練1.求z=2x+y的最大值，其中x、y滿足約束條件,x+y￡1

y>-1

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：

（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；

（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；

（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解

派知識(shí)拓展

尋找整點(diǎn)最優(yōu)解的方法：

1.平移找解法：先打網(wǎng)格，描整點(diǎn)，平移直線，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點(diǎn)便是最優(yōu)整點(diǎn)

解，這種方法應(yīng)用于充分利用非整點(diǎn)最優(yōu)解的信息，結(jié)合精確的作圖才行，當(dāng)可行域是有限

區(qū)域且整點(diǎn)個(gè)數(shù)又較少時(shí)，可逐個(gè)將整點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求值，經(jīng)比較求最優(yōu)解.

2.調(diào)整優(yōu)值法：先求非整點(diǎn)最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程的知識(shí)調(diào)整最優(yōu)值，最后篩

先出整點(diǎn)最優(yōu)解.

3.由于作圖有誤差，有時(shí)僅由圖形不一定就能準(zhǔn)確而迅速地找到最優(yōu)解，此時(shí)可將數(shù)個(gè)可

能解逐一檢驗(yàn)即可見分曉.

心學(xué)習(xí)評價(jià)

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y,將其看成直線方程時(shí)，z的意義是（）.

A.該直線的橫截距

B.該直線的縱截距

C.該直線的縱截距的一半的相反數(shù)

D.該直線的縱截距的兩倍的相反數(shù)

x-y+5>0

2.已知x、y滿足約束條件,工+y20,則

x<3

Z=2x+4），的最小值為（）.

A.6B.-6C.10D.-10

3.在如圖所示的可行域內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)2=》+紗取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，貝心的一個(gè)

可能值是().

A.-3B.3C.-1D.1

4.有5輛6噸汽車和4輛5噸汽車，要運(yùn)送最多的貨物，完成這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)的線性目標(biāo)函

數(shù)為.

5.已知點(diǎn)(3,1)和(-4,6)在直線3x-2)，+a=0的兩側(cè)，則。的取值范圍

是.

心課后作業(yè)

1.在AA3C中，A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),寫出A4BC區(qū)域所表示的二元一

次不等式組.

5x+3y<15

2.求z=3x+5)，的最大值和最小值，其中％、y滿足約束條件<y+l

x-5y<3

§332簡單的線性規(guī)劃問題(2)

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并加以解決；

2.體會(huì)線性規(guī)劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題.

2學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

x-4y4-3

復(fù)習(xí)1：已知變量x,y滿足約束條件，3x+5y<25，設(shè)z=2x+y,取點(diǎn)（3,2）可求得z=8,

x>\

取點(diǎn)（5,2）可求得孺穌=12,取點(diǎn)（1,1）可求得2.=3

取點(diǎn)（0,0）可求得z=0，取點(diǎn)（3,2）叫做

點(diǎn)（0,0）叫做，點(diǎn)（5,2）和點(diǎn)（1,1）

復(fù)習(xí)2:閱讀課本P88至P%

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用：

線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用，一是在人力、物力、資金等資源」

定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，

能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù).

下面我們就來看看線性規(guī)劃在實(shí)際中的一些應(yīng)用：

X典型例題

例1營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的

蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，

花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21

元.為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物

B多少kg?

例2要將兩種大小不同的鋼板截成A、氏C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的

小鋼板的塊數(shù)如F表所示：

7^類型

A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格

鋼板類最、、

第一種鋼板211

第二種鋼板123

今需要三種規(guī)格的成品分別為12塊、15塊、27塊，各截這兩種鋼板多少張可得所需A、B、

C、三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？

變式：第種鋼板為1m,第二種為2〃尸，各截這兩種鋼板多少張，可得所需三種規(guī)格的

成品且所用鋼板面積最??？

例3一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲肥料的主要原料是磷酸鹽4t,硝酸

鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料的主要原料是磷酸鹽It,硝酸鹽15t.現(xiàn)庫存磷酸鹽10t,硝酸

鹽663在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.若生1車皮甲種肥料能產(chǎn)生的利潤為10000元；

生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為5000元.那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，

能夠產(chǎn)生最大的利潤？

派動(dòng)手試試

練1.某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元、2(X)0元.甲、乙產(chǎn)品

都需要在4、8兩種設(shè)備上加工，在每臺(tái)A、8設(shè)備上加工1件甲設(shè)備所需工時(shí)分別為lh、

2h,加工1件乙和設(shè)備所需工時(shí)分別為2h、lh,A、8兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為

400h500h.如何安排生產(chǎn)可使收入最大？

練2.某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周（按40個(gè)工時(shí)

計(jì)算）生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共120臺(tái)，且冰箱至少生20臺(tái).已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺(tái)

所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：

家電名稱空調(diào)器彩電冰箱

1]_

工時(shí)234

產(chǎn)值/千元432

問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？（以千元

為單位）

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

簡單線性規(guī)劃問題就是求線性H標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以

什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：

（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；

（2）由二元一次不等式表示平面區(qū)域做出可行域：

（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.

X知識(shí)拓展

含絕對值不等式所表示的平面區(qū)域的作法：

（1）去絕對值，轉(zhuǎn)化為不等式組；

（2）采用分零點(diǎn)討論或分象限討論去絕對值；

（3）利用對稱性可避免討論.

心學(xué)習(xí)評價(jià)

派自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.完成一項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人

工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工），人，請工人的約束條件是（）.

A.50^+40y=2000B.50x+40y<2000

C.50x+40y>2000D.40x+50j<2000

0<x<4

2.已知x,y滿足約束條件，

x>0,y>0

A.19B.18C.17D.16

'2x+3y>24

3.變量x,y滿足約束條件y+則使得z=3x+2y的值的最小的(x,y)是().

2x+9y>36

x>0,y>0

A.(4,5)B.(3,6)C.(9,2)D.(6,4)

x-2y+4>0

4.(2007陜西)已知實(shí)數(shù)滿足約束條件2x+y-220則目標(biāo)函數(shù)z=^+2y的最大值為