高一數學必修第一冊第一章全部學案

新版高一數學必修第一冊第一章全部學案

第一章集合與常用邏輯用語

第1節(jié)集合的概念

學習目標

1.了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系.

2.掌握集合的三種表示方法，常用數集及其專用符號，集合的三個基本特征.

重點難點

1.集合的含義與表示方法，元素與集合的關系;

2.選擇恰當的方法表示一些簡單的集合

知識梳理

一、集合的基本概念

1.元素與集合的概念

(1)把統(tǒng)稱為,通常用表示.

(2)把叫做(簡稱為集)，通常用表示.

2.集合中元素三個特征：、、

3、集合相等_______________________________________________________

4.元素與集合的關系：

(1)如果a.是集合力的元素，就說a/

(2)如果a不是集合力的元素，就說a/

5.常用的數集及其符號表示：

非負整數集(自然數集)記作

正整數集記作

整數集記作

有理數集記作

實數集記作

二、集合的表示方法

1、列舉法：將集合的元素出來，.并置于花括號1}”內.元素之間要用

分隔，列舉時與無關.

2.描述法：將集合的所有元素表示出來，寫成{M。(初的形式

學習過程

探究一、集合的含義

1.考察下列問題：

（1）（1）1?20以內的所有偶數；

（2）立德中學今年入學的全體高一學生；

（3）所有正方形；

（4）到直線1的距離等于定長d的所有的點；

（5）方程3%+2=0的所有實數根；

（6）地球上的四大洋。

思考:上述每個問題都由若干個對象組成，每組對象的全體都能組成集合嗎？我們把研究的對象統(tǒng)稱

為元素，元素分別是什么？

探究二、集合中元素的性質

1.所有的“帥哥”能否構成一個集合？由此說明什么？

2.由1,3,0,5,|-3|這些數組成的一個集合中有5個元素，這種說法正確嗎?

3.高一（5）班的全體同學組成一個集合，調整座位后這個集合有沒有變化?

歸納總結：通過以上的學習你能給出集合中元素的特性嗎？

練習1：判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：

（1）大于3小于11的偶數；（2）我國的小河流.

探究三：元素和集合的關系

1??元素與集合的“屬于”關系

如果。是集合A中的元素，就說。屬于集合A,記作〃___A；如果。不是集合A中的元素，就

說a不屬于集合A,記作a___A.

2、常用數集及其記法：非負整數(自然數集)、正整數集、整數集、有理數

集、實數集.

練習2.用符號“G”或填空.

(1)2—N；(2)72Q；(3)0—{0}；(4)b{a,b,c}；(5)0N+.

例1已知集合/是由三個元素”一2,2a+5a,12組成的，且一3^4求〃

探究四、集合的表示方法

1.列舉法

思考：地球上的四大洋組成的集合如何表示？

問題：你能總結歸納出列舉法的概念嗎？

例2用列舉法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然數組成的集合；

(2)方程x2=x的所有實數根組成的集合.

2.描述法

思考：能否用列舉法表示不等式x—3<7的解集？該集合中的元素有什么性質？

思考：所有奇數的集合，偶數的集合怎樣表示？有理數集怎么表示呢？

問題：通過思考以上問題大家能總結歸納出描述法的概念嗎？

例3試分別用列舉法和描述法表示下列集合.

(1)方程x2-2=0的所有實數根組成的集合.

(2)由大于10小于20的所有整數組成的集合.

思考：自然語言、列舉法和描述法表示集合時，各自的特點和適用對象?

達標檢涮

1.下列對象不能構成集合的是()

①我國近代著名的數學家；②所有的歐盟成員國；③空氣中密度大的氣體.

A.①②B.②③C.①②③D.①③

2.下列三個關系式：①、「GR；②3Q；③Oez.其中正確的個數是()

A.1B.2C.3D.0

3.a,b,c,d為集合A的四個元素，那么以a,b,c,d為邊長構成的四邊形可能是()

A.矩形B.平行四邊形C.菱形D.梯形

4.設集合4=拉彥一3彳/4=0},若4CA,則集合A用列舉法表示為.

5.用適當的方法表示下列集合：

f2x-3y=14

(1)方程組.,；。的解集；

〔3x+2y=8

(2)所有的正方形；

(3)拋物線y=N上的所有點組成的集合.

課堂小結

這節(jié)課你的收獲是什么？

參考答案：

二、探究二L不能.其中的元素不確定集合中的元素是確定的

2.不正確.集合中只有4個不同元素1,3,0,5.集合中的元素是互異的

練習1.(1)是由4,6,8,10四個元素組成的集合.

(2)由集合元素的確定性知其不能組成集合.

練習2.(1)￡(2)住(3)e(4)e(5)g

例1.解：—3￡A—2=—3或+5〃=—3

當Q-2=-3時，〃=-1,此時不滿足元素的互異性，故舍去。

當2/+=—3時，4=一1或。=—,經檢驗a=—滿足互異性。

22

3

所以a=—三。

2

例2.解：(1)設小于10的所有自然數組成的集合為A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

(2)設方程x2=x的所有實數根組成的集合為B,那么B={l,0}.

例3.解：(1)設方程X2-2=0的實數根為x,并且滿足條件X2-2=0,因此，用描述法表示為A={xe

R|x-2=0}.

方程(-2=0有兩個實數根為百-血，因此，用列舉法表示為八={、歷，-四}.

(2)設大于10小于20的整數為x,它滿足條件xGZ,且10<x<20,因此，用描述法表示為

B={xez|10<x<20}.

大于10小于20的整數有n,12,13,14,15,16,17,18,19,因此，用列舉法表示為

12,13,14,15,16,17,18,19).

思考：自然語言描述集合簡單易懂、生活化；列舉法的特點每個元素一一列舉出來，非常直觀明顯

的表示元素，當元素有限或者元素有規(guī)律性的時候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具

有明顯的共同特征，集合中的元素基本是無限的，這是比較常用的集合表示法.

達標檢測

1.【解析】研究一組對象能否構成集合的問題，首先要考查集合中元素的確定性.①中的“著名”

沒有明確的界限；②中的研究對象顯然符合確定性；③中“密度大”沒有明確的界限.故選D.

【答案】D

2?【解析】①正確；②因為錯誤；③06Z,正確.

【答案】B

3?【解析】由于集合中的元素具有“互異性”，故a,b,c,d四個元素互不相同，即組成四邊形

的四條邊互不相等.

【答案】D

4.【解析】.?.16—12+。=0,

'.a——4,

，力={x\x^—3尤-4=0}={—1,4}.

【答案】{T,4}

2x—3尸14x=4

5.【解】(1)解方程組―

3x+2y=8,y=-2,

故解集為{(4,-2)}.

(2)集合用描述法表示為{x是正方形},簡寫為{正方形}.

(3)集合用描述法表示為{(尤，y)|y=/.

【新教材】L1集合的概念學案

(人教A版)

學習目標

】、知識目標

1.了解集合的含義；理解元素與集合的“屬于”與“不屬于”關系；熟記常用數集專用符號.

2.深刻理解集合元素的確定性、互異性、無序性；能夠用其解決有關問題.

3.會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合。感受集合語言的意義和作用。

2、核心素養(yǎng)

L數學抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；

2.邏輯推理：集合的互異性的辨析與應用；

3.數學運算：集合相等時的參數計算，集合的描述法轉化為列舉法時的運算;

4.數據分析：元素在集合中對應的參數滿足的條件；

5.數學建模：用集合思想對實際生活中的對象進行判斷與歸類。

重點難點

重點：集合的基本概念，集合中元素的三個特性，元素與集合的關系，集合的表示方法.

難點：元素與集合的關系，選擇適當的方法表示具體問題中的集合.

學習過程

一、預習導入

閱讀課本2-5頁，填寫。

1.元素與集合的概念

(1)元素：一般地，把統(tǒng)稱為元素.元素常用小寫的拉丁字母a,b,c,...表示.

(2)集合:把一些元素組成的叫做集合(簡稱為).集合通常用大寫的拉丁字母A,

B,C,…表水.

(3)集合相等：只要構成兩個集合的是一樣的，就稱這兩個集合是相等的.

(4)元素的特性：、、.

2.元素與集合的關系

關系語言描述記法讀法

屬于。是集合A中的元素a_Aa屬于集合A

不屬于a不是集合A中的元素a_Aa不屬于集合A

3.常用的數集及其記法

常用的數正整整數有理

自然數集實數集

集數集集數集

記法—————

4.列舉法

把集合的元素,并用花括號"｛『'括起來表示集合的方法叫做列舉法.

5.描述法

（1）定義：用集合所含元素的表示集合的方法.

（2）具體方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的及,再畫一條豎

線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的.

小試牛刀

1.判斷（正確的打氣”，錯誤的打“X”）

（1）你班所有的姓氏能組成集合.（）

（2）新課標數學人教A版必修1課本上的所有難題.（）

（3）一個集合中可以找到兩個相同的元素.（）

（4）由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為｛1,1,2,3｝.（）

（5）集合｛（1,2）｝中的元素是1和2.（）

（6）集合A=｛x|x—1=0｝與集合3=｛1｝表示同一個集合.（）

2.下列元素與集合的關系判斷正確的是（）

A.OeNB.兀GQ

C巾GQD.—1CZ

3.已知集合A中含有兩個元素1,N,且xdA,則x的值是（）

A.0B.1

C.-1D.0或1

ix+y=l,

4.方程組的解集是（）

[x—y=-3

A.(-1,2)B.(1,-2)

C.{(-1,2)}D.{(1,-2)}

5.不等式x-3<2且N*的解集用列舉法可表示為()

A.{0,123,4}B.{1,2,3,4)

C.{0,123,4,5}D.{1,2,345}

6.不等式4x—5<7的解集為.

自主探究

例1考查下列每組對象，能構成一個集合的是()

①某校高一年級成績優(yōu)秀的學生；

②直角坐標系中橫、縱坐標相等的點；

③不小于3的自然數；

?2018年第23屆冬季奧運會金牌獲得者.

A.③④B.②③④C.②③D.②④

例2(1)下列關系中，正確的有()

?|eR；②也￡Q；③3|”④S|dQ.

A.1個B.2個C.3個D.4個

(2)集合A中的元素x滿足f—eN,xGN,則集合A中的元素為.

例3已知集合A含有兩個元素a和若1GA,則實數a的值為.

變式1.［變條件］本例若將條件“16”改為“2dA”，其他條件不變，求實數a的值.

變式2.［變條件］本例若去掉條件“1GA”，其他條件不變，則實數a的取值范圍是什么？

變式3.［變條件］已知集合A含有兩個元素1和層，若ZGA"，求實數a的值.

例4用列舉法表示下列集合.

(1)不大于10的非負偶數組成的集合；

(2)方程R=x的所有實數解組成的集合；

(3)直線y=2尤+1與y軸的交點所組成的集合.

例5用描述法表示下列集合：

(1)被3除余1的正整數的集合；

(2)坐標平面內第一象限的點的集合；

(3)大于4的所有偶數.

例6(1)若集合A={XGRQ2+2X+1=0,a￡R}中只有一個元素，則a=

()

A.1B.2C.0D.0或1

(2)設;x2—ar-|=0j,則集合1卜2一號一“=0j■中所有元素之積為.

例7用描述法表示拋物線>=爐+1上的點構成的集合.

變式1.［變條件，變設問］本題中點的集合若改為“{尤|丫=r+1}”，則集合中的元素是什么？

變式2.［變條件，變設問］本題中點的集合若改為“{y|y=x2+l}”，則集合中的元素是什么？

當堂檢涮

1.下列說法正確的是()

A.某班中年齡較小的同學能夠形成一個集合

B.由1,2,3和也，1,也組成的集合不相等

C.不超過20的非負數組成一個集合

D.方程(x—l)Q+1)2=0的所有解構成的集合中有3個元素

2.已知集合A由的數構成，則有()

A.3GAB.1eA

C.0￡AD.-IgA

3.已知集合A含有三個元素2,4,6,且當aCA,有6—則。為()

A.2B.2或4

C.4D.0

4.已知a,。是非零實數，代數式孑繆的值組成的集合是則下列判斷正確的是()

A.OEMB.-lew

C.3cMD.leM

5.集合A={y|y=N+l},集合8={(x,y)|y=N+1}(A,8中xGR,yGR).選項中元素與集合

的關系都正確的是()

A.2GA,且2GB

B.(1,2)￡A,且(1,2)G2

C.2eA,且(3,10)63

D.(3,10)￡A,且2?8

6.定義P*Q={ab|aep,b^Q],若尸={0,1,2},Q={1,2,3},則產。中元素的個數是()

A.6個B.7個

C.8個D.9個

7.下列說法中：

①集合N與集合N+是同一個集合；

②集合N中的元素都是集合Z中的元素；

③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；

④集合Q中的元素都是集合R中的元素.

其中正確的有(填序號).

8.已知A={(x,y)[x+y=6,x^N,y￡N},用列舉法表示A為.

9.已知集合4={尤|辦2—3x—4=0,xGR},若A中至多有一個元素，求實數a的取值范圍.

答案

小試牛刀

1.答案：(1W(2)x(3)x(4)X(5)X(6)q

2-5,AACB6.{x|4x-5<7}

自主探究

例1B

例2⑴C⑵0,1,2

例3a=-l.

變式1.a=2,或°=,，或a=—p.

變式2.際0且a^l.

變式3.a=0.

例4(1){0,2,4,6,8,10}.(2){0,1,-1}.(3){(0,1)).

例5⑴{小=3”+1,〃CN}.(2){(x,y)|x>0,y>0}.(3){小=2”,“ez且近3}.

9

例6(1)D(2)

例7{(x,y)|y=N+l}.

變式1

解：集合{x|y=N+l}的代表元素是x,且xWR,所以{尤}=尤2+1}中的元素是全體實數.

變式2

解：集合{y|y=/+l}的代表元素是》滿足條件>=必+1的〉的取值范圍是這1,所以{y|y=N+

i}={yly>i}-所以集合中的元素是大于等于1的全體實數.

當堂檢測

1-6.CCBBCA7.②④

8.{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}

9.解：當。=0時，A=j-

當好0時，關于X的方程辦2—3x—4=0應有兩個相等的實數根或無實數根，

9

所以/=9+16把0,即於一記.

故所求的a的取值范圍是正一V或a=0.

第一章集合與常用邏輯用語

第2節(jié)集合間的基本關系

學習目標

i.了解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；

2.理解子集、真子集的概念；

3.能使用圖表達集合間的關系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用，體會數形結合的思想。

重點難點

教學重點：集合間的包含與相等關系，子集與其子集的概念;

教學難點：屬于關系與包含關系的區(qū)別.

知識梳理

一、集合間的基本關系基本概念

1.如果集合A中元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集。符號表示

為。

2.如果集合但存在元素,則稱集合A是集合B的真子集。符號表示

為。

3.該曲圖：用平面上的內部代表集合，這種圖稱為論””圖.

4.集合的相等：若且BUA,則A=8。

5.空集：元素的集合，叫做空集.符號表示為：.

規(guī)定：空集是任何集合的o

二.子集的性質

1.任何一個集合是它本身的,即AUA；

2.對于集合A,B,C,如果AC8,且2=C,那么

學習過程

探究一子集

1.觀察以下幾組集合，并指出它們元素間的關系：

①A={1,2,3},B={1,2,345};

②A為立德中學高一（2）班全體女生組成的集合，B為這個班全體學生組成的集合；

③A={x|x>2},B={x|x>1}o

2.子集定義：

一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有

包含關系，稱集合A為集合B的

記作：413（或8衛(wèi)人）

讀作：（或“"）

符號語言：任意有則。

3.韋恩圖（Venn圖）：

用一條封閉曲線（圓、橢圓、長方形等）的內部來代表集合叫集合的韋恩圖表示.

AB

牛刀小試1：

圖中A是否為集合B的子集?

牛刀小試2

判斷集合A是否為集合B的子集，若是則在（）打4,若不是則在（）打x：

@A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6)

@A={1,3,5},B={1,3,6,91

③人士。},B={x|x2+2=0}

?A={a,b,c,d},B=[d,b,c,a}

思考2：與實數中的結論“若a名，且6次,則a=b"。相類比，在集合中，你能得出什么結論？

探究二集合相等

1.觀察下列兩個集合，并指出它們元素間的關系

（1）A={xIx是兩條邊相等的三角形},B={xIx是等腰三角形};

2.定義：如果集合A的都是集合B的元素，同時集合B都是集合A的元素，我們

就說集合A等于集合B,記作。

ACB

A=B=<

BCA

牛刀小試3：

A={x|(x+l)(x+2)=0},B={-L-2}o集合A與8什么關系？

探究三真子集

1.觀察以下幾組集合，并指出它們元素間的關系:

（1）A=｛1,3,5｝,B=｛1,2,345,6｝；

（2）A=｛四邊形｝,B=｛多邊形｝。

2.定義：如果集合AUB,但存在元素,且_______,稱集合A是集合B的真子集.

記作：（或）

讀作：“A真含于B"（或B真包含A）。

探究四空集

1.我們把的集合叫做空集，記為。，并規(guī)定：空集是任何集合的子集。

空集是任何非空集合的真子集。即。底B,（BW。）

例如:方程N+1=O沒有實數根，所以方程x2+l=0的實數根組成的集合為。。

問題：你還能舉幾個空集的例子嗎？

2.深化概念：

（1）包含關系｛。｝三A與屬于關系OGA有什么區(qū)別？

（2）集合ASB與集合ARB有什么區(qū)別？

（3）.0,｛0｝與①三者之間有什么關系？

3.結論:

由上述集合之間的基本關系，可以得到下列結論:

（1）任何一個集合是它本身的子集，即

(2)對于集合A、B、C,若AQB,BGC,則(類比aWb,AWc則aWc)。

例1.寫出集合{入6}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

例2.判斷下列各題中集合A是否為集合B的子集，并說明理由。

(1)A={1,2,3},B={x|x是8的約數};

(2)A={x|x是長方形},B={x|x是兩條對角線相等的平行四邊形}。

達標檢涮

1.集合A={—1,0,1},A的子集中含有元素。的子集共有()

A.2個B.4個

C.6個D.8個

2.已知集合〃=?一3<x<2,xGZ},則下列集合是集合M的子集的為()

A.P={-3,0,1)

B.Q={-1,0,1,2}

C.R={y[—1,y?Z}

D.S={x|k|W,xGN}

3.①0G{0},②?！陒0},③{0,1}三{(0,1)},④{(a,3}={(6,a)].上面關系中正確的個數為()

A.1B.2

C.3D.4

4.設集合A={x[l<x<2},B={x[x<a],若則a的取值范圍是()

A.{a|aW2}B.{a|aWl}

C.{?|a^l}D.{a|a22}

5.已知集合4={(》，y)|x+y=2,x,ydN},試寫出A的所有子集.

答案

學習過程：

探究一

1.集合A的元素都屬于集合B。

2任何一個元素子集集合A含于集合B集合B包含集合AxeA'xeB,^cB

牛刀小試1集合A不是集合B的子集

牛刀小試2①4②x③x④4

探究二集合相等

1.(1)中集合A中的元素和集合B中的元素相同.

2.任何一個元素任何一個元素A=B

牛刀小試3A=Bo

探究三真子集

1.集合A中元素都是集合B的元素，但集合B有的元素不屬于集合Ao

2.xEBx-AEBBSA

探究四空集

1.不含任何元素

2.(1)前者為集合之間關系，后者為元素與集合之間的關系.

(2)“C6nA=B或A與B.

(3){0}與①：{0}是含有一個元素。的集合，①是不含任何元素的集合。如①殳{0}不能寫成①={0},

①e{0}

3.(1)(2)4GC

例L解:集合{a,6}的子集：,{a},,(a,b},,

集合{a,6}真子集:0,{a},。

例2.解：(1)因為3不是8的約數，所以集合A不是集合B的子集。

(2)因為若x是長方形，則L定兩條對角線相等的平行四邊形，

所以集合力是集合B的子集。

三、達標檢測

1.【解析】根據題意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0,-1},{-1,0,1}

四個，故選B.

【答案】B

2.【解析】集合M={-2,—1,0,1},集合R={-3,-2),集合S={0,l},不難發(fā)現集合P中的元

素一34M,集合。中的元素2&M,集合R中的元素一3陣而集合S={0,1}中的任意一個元素都在

集合M中，所以SNM.故選D.

【答案】D

3.【解析】①正確，0是集合{0}的元素；②正確，。是任何非空集合的真子集；③錯誤，集合{0,1}

含兩個元素0,1,而{(0,1)}含一個元素點(0,1),所以這兩個集合沒關系；④錯誤，集合{5，6)}含一

個元素點(。，6),集合{(b,。)}含一個元素點(b,a),這兩個元素不同，所以集合不相等.故選B.

【答案】B

4.【解析】由A={x[l<x<2},B=[x\x<a],A^B,則{函￡2}.

【答案】D

5.【解】因為A={(x,y)\x+y=2,x,y^N},

所以A={(0,2),(1,1),(2,0)).

所以A的子集有：。，{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},

{(0,2),(1,1),(2,0)).

【新教材】1.2集合的基本關系

學案(人教A版)

學習目標

1.了解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.

2.理解子集.真子集的概念.

3.能使用ve”〃圖表達集合間的關系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。

重點難點

重點：集合間的包含與相等關系，子集與其子集的概念.

難點：難點是屬于關系與包含關系的區(qū)別.

學習過程

二、預習導入

閱讀課本7-8頁，填寫。

1.集合與集合的關系

(1)一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中元素都是集合B中的元素，我們就

說這兩個集合有關系，稱集合A為B的.

記作：AB(或BA)

讀作：A包含于B(或B包含A).

圖示:

(2)如果兩個集合所含的元素完全相同(AB且BA),那么我們稱這兩個集合相等.

記作：AB

讀作：A等于B.

圖本:

2.真子集

若集合A。B,存在元素x_______B且x_______A,則稱集合A是集合B的真子集。

記作：A_____B(或BA)

讀作：A真包含于B(或B真包含A)

3.空集

的集合稱為空集，記作：0.

規(guī)定：空集是任何集合的子集。

4.常用結論

(1)AA(類比aWa)

(2)空集是的子集，是的真子集。

(3)若則AC(類比則aWc)

(4)一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數為個，其真子集數為個，特別

地，空集的子集個數為,真子集個數為。

小試牛刀

1.判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)空集中只有元素0,而無其余元素.()

(2)任何一個集合都有子集.()

(3)若力=8則)

(4)空集是任何集合的真子集.()

2.用適當的符號填空

(1)a{a,b,c}(2)0{x\x2=0}

(3)0{xGR\x2+1=0}(4){0,1}N

(5){0}{x\x2=x}(6){2,1}{x}x2-3%+2=0}

3.設adR,若集合{2,9}={1—a,9},則

自主探究

例1(1)寫出集合{0,1,2)的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;

(2)填寫下表,并回答問題：

口集合的子集子集的個數

0

{a}

{a,b}

[a,b,c]

由此猜想:含n個元素的集合{a,a，…,a)的所有子集的個數是多少?真子集的個數及非空真子

12n

集的個數呢?

2

例2下列能正確表示集合M={-l,0,l/DN={x［x+x=0}的關系的維恩圖是()

例3已知集合八=收|-56<2},8=收|22-36心-2}.

(1)若a=T,試判斷集合A,B之間是否存在子集關系;

⑵若AQB,求實數a的取值范圍.

變式1.［變條件］【例3】⑵中,是否存在實數a,使得AUB?若存在，求出實數a的取值范圍;若不

存在,試說明理由.

變式2.［變條件］若集合A={x|x〈-5或*〉2},8=收|22-3々^-2},且人？8,求實數2的取值范圍.

當堂檢涮

1.已知集合人={2,-1},集合B={m2—m,-1},且人=8,則實數m等于()

A.2B.-1

C.2或—1D.4

2.已知集合人=收|—1—x〈0},則下列各式正確的是()

A.OCAB.{0}eA

C.0￡AD.{0}cA

3.已知集合AG{0,1,2},且集合A中至少含有一個偶數，則這樣的集合A的個數為()

A.6B.5

C.4D.3

4.已知集合A={x|x=3k,kGZ},B={x|x=6k,keZ},則A與B之間的關系是()

A.AcBB.A=B

C.A^BD.ABB

5.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,aeR),若集合A有且僅有兩個子集，則a的值是()

A.1B.-1

C.0,1D.-1,0,1

6.設x,y￡R,A={(x,y)|y=x},B={(x,y)1=1},則A,B的關系是.

7.已知集合人=收不<3},集合B={x|x〈m},且AGB,則實數m滿足的條件是.

8.已知A={x￡R|x〈一2或x>3},B={x￡R|aWxW2a—l},若BUA,求實數a的取值范圍.

答案

小試牛刀

1.答案：(1)x(2)V(3)V(4)X

2.(1)e(2)=(3)=(4)c(5)點(6)=

3.-1

自主探究

例1【答案】見解析

【解析】分析：(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一個元素、含有兩個元素、含有

三個元素這四種情況分別寫出子集.(2)由特殊到一般,歸納得出.

解：⑴不含任何元素的子集為。；含有一個元素的子集為{0},“},{2};

含有兩個元素的子集為{0,1},[0,2},{1,2}:含有三個元素的子集為{0,1,2}.

故集合{0,1,2}的所有子集為。，{0},{1},{2},{0,1},{0.2},{1,2},{0,1,2).

其中除去集合（0,1,2）,剩下的都是{0,1,2）的真子集.

⑵

集合集合的子集子集的個數

001

㈤0,{a}2

{a,b}0,{a},,{a,b}4

{o,b,c}0,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}8

由此猜想:含n個元素的集合{a,a,…,a）的所有子集的個數是2：真子集的個數是2°-1,非空真子集

12n

的個數是2-2.

例2【答案】B

2

【解析】-."N={x|x+x=0}={x|x=0或x=-l}={0,-1},故選B.

例3【答案】見解析

【解析】分析：（1）令a=-l,寫出集合B,分析兩個集合中元素之間的關系,判斷其子集關系；（2）根據集

合B是否為空集進行分類討論;然后把兩集合在數軸上標出，根據子集關系確定端點值之間的大小關

系,進而列出參數a所滿足的條件.

解：⑴若a=-l,則B={x|-5<x<-3}.

如圖在數軸上標出集合A,B.

5x

由圖可知,B呈A.

⑵由已知A2B.

①當B=0時,2a-3^a-2,解得a》L顯然成立.

②當B#。時，2a-3<a-2,解得a<l.

由已知A2B,如圖在數軸上表示出兩個集合，

由圖可得犀2^\5,解得TWaW4.

5%

又因為a<l,所以實數a的取值范圍為TWa<l

變式1.【答案】見解析

【解析】因為A={x|-5<x<2},所以若ACB,則B一定不是空集.

此時有產;堂F即『自"I.顯然實數a不存在.

la-2>2,la>4,

變式2.【答案】見解析

【解析】①當B=0時,2a-32a-2,解得a》l.顯然成立.

②當B#。時，2a-3<a-2,解得a<l.

由已知ANB,如圖在數軸上表示出兩個集合，

----------AA

―1A-i—y—A-

—3a—2—55%

由圖可知2a-322或a-2^—5,解得a^|或aW-3.

又因為a〈l,所以aW-3.

綜上,實數a的取值范圍為a^l或aW-3.

當堂檢測

1-5.CDADD

6.BGA

7.m23

8.【答案】見解析

【解析】:BUA,「.B的可能情況有BW。和B=。兩種

①當B=。時，由a>2a—1,得

②當BW。時，

a>3,[2a—1<—2,

VBCA,或成立，解得a>3；

—1[aW2a—1

綜上可知，實數a的取值范圍是{a|a〈l或a>3}.

第一章集合與常用邏輯用語

第3節(jié)集合的基本運算

學習目標

1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求簡單集合的交、并運算;

2.理解補集的含義，會求給定子集的補集；

3.能使用圖表示集合的關系及運算。

重點難點

1.教學重點：交集、并集、補集的運算；

2.教學難點：交集、并集、補集的運算性質及應用，符號之間的區(qū)別與聯系。

知識梳理

一、集合運算的基本概念

1.并集的概念

一般地，由所有屬于集合A屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集(Unionset).

記作：(讀作：“A并B”)，即：AUB=o

2.交集的概念

一般地，由屬于集合A屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集(intersection

set).記作：(讀作：“A交B”),即：AAB=。

3、補集的概念

(1)全集定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的,那么就稱這個集合為全集.

記法：全集通常記作d

⑵.補集

對于一個集合4由全集〃中__________一的所有元素組成的集合稱為集合A

文字語言

相對于全集〃的補集,記作_______o

符號語言M=__________

學習過程

探究一并集的含義

1.思考:考察下列各個集合，你能說出集合C與集合A、B之間的關系嗎？

(1)A={1,3,5,7},B={2,4,6,7},

C={1,2,3,4,5,6,7).

(2)A={x|x是有理數},B={x|x是無理數},

C={x|x是實數}.

2、歸納新知

(1)并集的含義

一般地，由所有屬于集合A―屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集(Union

set).

記作：(讀作：“A并B”)，即：AUB=o

說明：兩個集合求并集，結果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復元

素只看成一個元素).

Venn圖表示：V\JJ

AUB

(2)“或”的理解：三層含義：

1.元素屬于4但不屬于及即:但xeB}

2.元素屬于3但不屬于A。即:{RxeB,但xcA}

3.元素既屬于A又屬于瓦即：(xwA且xe3}=AnB

由1,2,3的所有元素組成的集詫A與5的并集。

(3)思考：下列關系式成立嗎？

⑴AUA=A⑵AU°=A

(4)思考：若AGB,，則AUB與B有什么關系？

3、典型例題

例1.設人={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求AUB.

例2.設集合A={x|T〈x<2},B={x|l<x<3},求AUB.

【注意】由不等式給出的集合，研究包含關系或進行運算，常用數軸。

探究二交集的含義

1、思考：考察下面的問題，集合C與集合A、B之間有什么關系嗎？

(1)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8}.

(2)A={x|x是立德中學今年在校的女同學},

B={x|x是立德中學今年在校的高一年級同學},

C={x|x是立德中學今年在校的高一年級女同學}.

2.交集的概念：一般地，由屬于集合A屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交

集(intersectionset).

記作：(讀作：“A交B”)，即：AAB=。

說明：兩個集合求交集，結果還是一個集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合.

3、思考：能否認為3與6沒有公共元素時，/與6就沒有交集?

4、典型例題

例3立德中學開運動會，設八={x|x是立德中學高一年級參加百米賽跑的同學},B={x|x是立

德中學高一年級參加跳高比賽的同學},

求AQB。

例4.設平面內直線乙上點的集合為L一直線4上點的集合為L2,試用集合的運算表示直線

Zp的位置關系.

5、思考：下列關系式成立嗎？

(1)AQA=A(2)An0=0。

探究三：補集的概念

1.在研究問題時，我們經常需要研究對象的范圍，在不同范圍研究同一問題，可能有不同的結果

問題：在下面范圍內解方程2)(/-3)=°

⑴有理數范圍

(2)實數范圍

2、全集與補集的定義

(1)全集的定義：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的,那么就稱這

個集合為全集，通常記作4

(2)對于一個集合A,由全集U中的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U

的補集，簡稱為集合A的補集.

記作：,即：CUA=o

說明：補集的概念必須要有全集的限制.

3、例題

例5.設U={x|x是小于9的正整數},A={1,2,3},