北師大版初中九年級數(shù)學(xué)上冊專項素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(三)一元二次方程的七種解法(練方法)課件

一元二次方程的七種解法(練方法)專項素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(三)類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接開平方法1.[2023山西太原小店三中期末,16(2),★☆☆]下面

是某同學(xué)解方程(x+3)2-4=0的過程.解:移項,得(x+3)2=4,……第一步兩邊開平方,得x+3=2,……第二步解得x=-1.……第三步該同學(xué)的解答從第

步開始出錯,請寫出正確的解答過程.考向過程性學(xué)習(xí)試題解析該同學(xué)的解答從第二步開始出錯,正確的解答過程如下:∵(x+3)2-4=0,∴(x

+3)2=4,∴x+3=±2,∴x+3=2或x+3=-2,∴x1=-1,x2=-5.2.解方程:(1)(★☆☆)4(1-x)2-9=0.(2)(2023河北邢臺廣宗期末,18,★★☆)(y+2)2=(3y-1)2.解析

(1)方程變形得(1-x)2=

,兩邊開平方得1-x=±

,解得x1=-

,x2=

.(2)兩邊開平方,得y+2=±(3y-1),∴y+2=3y-1或y+2=-(3y-1),解得y1=

,y2=-

.類型二用配方法求解一元二次方程3.(2024四川宜賓期末,7,★☆☆)將一元二次方程x2-x-1=0配成(x+p)2=q的形式,則

p的值是

()A.-1

B.1

C.

D.-

D解析

D

x2-x-1=0,移項,得x2-x=1,配方,得x2-x+

=1+

,∴

=

,即p=-

.故選D.4.(2023廣東惠州月考,22,★★☆)用配方法解一元二次方程:2x2+3x+1=0.小明同

學(xué)的解題過程如下:解:原方程可化為x2+

x+

=0,x2+

x+

-

+

=0,

=

,開平方,得x+

=±

,∴x1=-

,x2=-

.小明的解題過程是否正確?若正確,請回答“對”;若不正確,請寫出你的解題過

程.解析小明的解題過程不正確,正確的解題過程如下:原方程可化為x2+

x+

=0,移項,得x2+

x=-

,配方,得x2+

x+

=-

+

,即

=

,兩邊開方,得x+

=±

,∴x+

=

或x+

=-

,∴x1=-

,x2=-1.5.[教材變式P39隨堂練習(xí)]用配方法解方程:(1)(2024江西贛州信豐期末,15,★☆☆)x2-4x-5=0.(2)(2024上海浦東模范中學(xué)期末,22,★☆☆)2x2+4x-11=0.(3)(★★☆)-

x2+x+

=0.解析

(1)方程移項得x2-4x=5,配方得x2-4x+4=9,即(x-2)2=9,開方得x-2=3或x-2=-3,解得x1=5,x2=-1.(2)∵2x2+4x-11=0,∴x2+2x-

=0,∴x2+2x=

,∴x2+2x+1=

+1,∴(x+1)2=

,∴x+1=±

,∴x1=-1+

,x2=-1-

.(3)方程整理得x2-3x=

,配方得x2-3x+

=

,即

=

,兩邊開方得x-

=±

,解得x1=

,x2=

.類型三用公式法解一元二次方程6.(★★☆)用公式法解下列方程:(1)6x2-13x-5=0.(2)3x2+2x-1=0.(3)2x2=3

x-2.解析

(1)∵a=6,b=-13,c=-5,∴b2-4ac=169+120=289>0,∴方程有兩個不相等的實

數(shù)根,∴x=

=

=

,∴x1=

,x2=-

.(2)∵a=3,b=2,c=-1,∴b2-4ac=22-4×3×(-1)=16>0,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴x=

=

,∴x1=

,x2=-1.(3)原方程可變形為2x2-3

x+2=0,∵a=2,b=-3

,c=2,∴b2-4ac=(-3

)2-4×2×2=2>0,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴x=

=

,∴x1=

,x2=

.類型四能化成(x+a)(x+b)=0的一元二次方程用因式分解法求解7.(2024河北保定清苑月考,14,★★☆)用因式分解法解方程,下列解法正確的是

()A.∵(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1B.∵(2x-2)(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0C.∵(x-2)(x-3)=2×3,∴x-2=2或x-3=3D.∵x(x+2)=0,∴x+2=0B解析

B

A.由(x+3)(x-1)=1不能得到x+3=0或x-1=1,故該選項錯誤;B.∵(2x-2)(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0,故該選項正確;C.由(x-2)(x-3)=2×3不能得到x-2=2或x-3=3,故該選項錯誤;D.∵x(x+2)=0,∴x+2=0或x=0,故該選項錯誤.故選B.8.(★★☆)用因式分解法解下列方程:(1)x2-6x+9=0.

(2)(x+2)2=2x+4.(3)2(x-3)2=9-x2.

(4)(2x+1)2-4(2x+1)+4=0.解析

(1)原方程可變形為(x-3)2=0,∴x1=x2=3.(2)原方程可變形為(x+2)2-2(x+2)=0,∴(x+2)(x+2-2)=0,∴x(x+2)=0,∴x=0或x+2=0,∴x1=0,x2=-2.(3)∵2(x-3)2=9-x2,∴2(x-3)2-(3+x)(3-x)=0,∴(3-x)[2(3-x)-(3+x)]=0,∴(3-x)(3-3x)=0,∴3-x=0或3-3x=0,解得x1=3,x2=1.(4)∵(2x+1)2-4(2x+1)+4=0,∴[(2x+1)-2]2=0,∴(2x-1)2=0,∴x1=x2=

.類型五用換元法解一元二次方程9.(2024河南駐馬店汝南期中,17,★★☆)換元是一種非常有趣的解題方法,請你

閱讀材料,參照例子解答問題:已知(x+y-3)(x+y+4)=-10,求x+y的值.解:設(shè)x+y=t,則原方程可變形為(t-3)(t+4)=-10,即t2+t-2=0.∴(t+2)(t-1)=0,∴t1=-2,t2=1,∴x+y=-2或x+y=1.已知(x2+y2-1)(x2+y2-3)=8,求x2+y2的值.解析設(shè)x2+y2=t,則原方程可變形為(t-1)(t-3)=8,即t2-4t-5=0,∴(t+1)(t-5)=0,解得t1=-1,t2=5,又∵x2+y2≥0,∴x2+y2=5.10.[學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新意識](2024遼寧朝陽建平期末,16(2),★★☆)閱讀下列例題的解答過程:解方程:3(x-2)2+7(x-2)+4=0.解:設(shè)x-2=y,則原方程可化為3y2+7y+4=0.∵a=3,b=7,c=4,∴b2-4ac=72-4×3×4=1.∴y=

=

.∴y1=-1,y2=-

.當(dāng)y=-1時,x-2=-1,∴x=1;當(dāng)y=-

時,x-2=-

,∴x=

.∴原方程的解為x1=1,x2=

.請仿照上面的例題解一元二次方程:2(x-3)2-5(x-3)-7=0.解析設(shè)x-3=y,則原方程可化為2y2-5y-7=0.∵a=2,b=-5,c=-7,∴b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)=81.∴y=

=

.∴y1=-1,y2=

,當(dāng)y=-1時,x-3=-1,∴x=2;當(dāng)y=

時,x-3=

,∴x=

.∴原方程的解為x1=2,x2=

.11.(★★☆)閱讀材料:為解方程(x2-2)2-11(x2-2)+18=0,我們可以將x2-2視為一個整體,然后可設(shè)x2-2=y,則

(x2-2)2=y2,于是原方程可轉(zhuǎn)化為y2-11y+18=0,解此方程,得y=2或y=9.當(dāng)y=2時,x2-2=2,∴x2=4,∴x=±2;當(dāng)y=9時,x2-2=9,∴x2=11,∴x=±

.∴原方程的解為x1=2,x2=-2,x3=-

,x4=

.以上方法就是換元法解方程,從而達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.解決問題:(1)運用上述換元法解方程x4-3x2-4=0.延伸拓展:(2)已知實數(shù)m,n滿足(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n-4,求4m+12n-3的值.解析

(1)設(shè)x2=y,則原方程可轉(zhuǎn)化為y2-3y-4=0,解得y=4或y=-1,當(dāng)y=4時,x2=4,∴x=±2;當(dāng)y=-1時,x2=-1,此方程無解.∴原方程的解為x1=2,x2=-2.(2)∵(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n-4,∴(m+3n)(m+3n-2)=2(m+3n)-4,設(shè)m+3n=t,則t(t-2)=2t-4,整理得t2-4t+4=0,即(t-2)2=0,解得t1=t2=2,∴m+3n=2,∴4m+12n-3=4(m+3n)-3=4×2-3=5.類型六十字相乘法12.[學(xué)科素養(yǎng)運算能力](★★☆)閱讀下列材料:(1)將x2+2x-35分解因式,我們可以按下面的方法解答:解:①豎分二次項與常數(shù)項:x2=x·x,-35=(-5)×(+7).②交叉相乘,驗中項:

?7x+(-5x)=2x.③橫向?qū)懗鰞梢蚴?x2+2x-35=(x+7)(x-5).我們將這種利用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.考向閱讀理解試題(2)根據(jù)乘法原理:若ab=0,則a=0或b=0.試用上述方法和原理解下列方程:①x2-10x+21=0.②x2-5x-6=0.③3x2-2x-1=0.④2x2+x-6=0.解析①∵x2-10x+21=0,∴(x-7)(x-3)=0,∴x-7=0或x-3=0,∴x1=7,x2=3.②∵x2-5x-6=0,∴(x-6)(x+1)=0,∴x-6=0或x+1=0,∴x1=6,x2=-1.③∵3x2-2x-1=0,∴(x-1)(3x+1)=0,∴x