正態(tài)分布高二下學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性第一冊

第六章概率5正態(tài)分布

高斯是一個偉大的數(shù)學家，人稱數(shù)學王子.他的一生中的重要貢獻不勝枚舉．德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布的曲線，這就傳達了一個信息：在高斯的科學貢獻中，正態(tài)分布對人類文明影響是非常大的．那么,什么是正態(tài)分布？正態(tài)分布的曲線有什么特征？我們這節(jié)課就一起來探究一下.情境引入新知學習

前面我們討論了離散型隨機變量，它們的取值是可以一一列舉的.但在實際問題中，還有許多隨機變量可以取某一區(qū)間中的所有值.例如：1.某一自動裝置無故障運轉(zhuǎn)的時間X是一個隨機變量，它可以取區(qū)間內(nèi)的所有值.2.某種產(chǎn)品的壽命（使用時間X是一個隨機變量，它可以取區(qū)間或內(nèi)的所有值）.怎樣描述這樣的隨機變量的分布情況呢？新知學習

我們來看一個產(chǎn)品壽命的例子.設X表示某產(chǎn)品的壽命（單位：h).人們對該產(chǎn)品有如下的了解：壽命小于500h的概率為0.71,壽命在500h~800h的概率為0.22,壽命在800h~1000h的概率為0.07,由此我們可以畫出下圖.0.07O5008001000x/h0.710.22新知學習

但上圖是比較粗糙的，例如，它沒有告訴我們產(chǎn)品壽命在200h~400h的概率到底是多少．如果需要了解得更多，圖中的區(qū)間應分得更細，如下圖：O4008001000x/h200600新知學習為了完全了解產(chǎn)品壽命的分布情況，需要將區(qū)間無限細分，最終得到一條光滑曲線，如圖：這條曲線稱為隨機變量X的分布密度曲線，這條曲線對應的函數(shù)稱為X的分布密度函數(shù)，記為f(x).o新知學習高爾頓板實驗視頻右圖所示的就是一塊高爾頓板示意圖.在一塊木板上釘上若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落過程中與層層小木塊碰撞，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).我們發(fā)現(xiàn)如果有大量小球落下，小球的分布總是成一個中間高兩邊低的鐘型曲線.如下圖：抽象概括

人們把具有分布密度函數(shù)的隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量，最常見的一類連續(xù)型隨機變量是由誤差引起的.一般地，誤差在0附近的概率大，遠離0的概率小，誤差大于0的概率與小于0的概率相同，即誤差的分布具有對稱性．因此，這一類連續(xù)型隨機變量X的分布密度曲線一般是形狀像“鐘”的光滑曲線.xyO正態(tài)分布密度函數(shù)和正態(tài)曲線xyO正態(tài)曲線正態(tài)曲線:正態(tài)密度函數(shù)圖像為正態(tài)密度曲線.定義2抽象概括

正態(tài)密度函數(shù)：定義1

正態(tài)分布是最常見、最重要的連續(xù)型隨機變量的分布，是刻畫誤差分布的重要模型，因此也稱為誤差模型.如果一個隨機變量X服從正態(tài)分布，那么對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X在區(qū)間(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)來表示.它的幾何意義就是隨機變量X的分布密度曲線在區(qū)間(a,b]對應的曲邊梯形面積的值如圖：抽象概括如果隨機變量X服從正態(tài)分布，那么這個正態(tài)分布完全由參數(shù)μ,σ(σ>0)確定，記為X~N(μ,).其中EX=μ,DX=.xyOab性質(zhì)探究

例1根據(jù)正態(tài)曲線的函數(shù)解析式，找出其均值μ和標準差σ.解:將所給的函數(shù)解析式與正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式對照可得：（1）μ=0,σ=1;（2）μ=1,σ=2.性質(zhì)探究

我們將例1中的兩個正態(tài)分布密度曲線的圖像畫出如下：012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=我們通過這兩個正態(tài)分布密度曲線的圖像來探究它們有什么共同的特征以及區(qū)別.性質(zhì)探究正態(tài)曲線的性質(zhì)012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=(4)當x<μ時，曲線上升；當x>μ時，曲線下降；當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線并且曲線與x軸之間的面積為1.簡稱：具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征共同性質(zhì)：(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交．(2)曲線是單峰的，關于直線x=μ對稱．(3)曲線的最高點位于x=μ處．性質(zhì)探究正態(tài)曲線的性質(zhì)012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=

因為正態(tài)分布完全由μ和σ確定，所以正態(tài)曲線還具有下列特點：(1)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移(2)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；

σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中.不同特征：下面我們通過動態(tài)圖來深入分析這兩點

3

1

2σ=1μ=-1μ=0

μ=1若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)；xy(1).當參數(shù)

取定值時

=0.5

=1=2μ=0

若固定,

大時,曲線“矮而胖”；小時,曲線“瘦而高”,故稱為形狀參數(shù).所以σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；

σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.xy(2).當參數(shù)取定值時性質(zhì)探究

盡管正態(tài)變量的取值范圍是(?∞,+∞),但在一次試驗中,變量的取值幾乎總落在區(qū)間[μ?3σ,μ+3σ]內(nèi),而在此區(qū)間外取值的概率大約0.0027,通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生,認為是小概率事件.在實際應用中,通常認為服從于正態(tài)分布N(μ,)的隨機變量只取[μ?3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計學中稱為3σ原則.典例解析

例2

某設備在正常運行時，產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，其參數(shù)分別為μ=500g,σ=1g.為了檢查設備運行是否正常，質(zhì)量檢查員需要隨機地抽取產(chǎn)品，測量其質(zhì)量.當檢查員隨機地抽取一個產(chǎn)品，測得其質(zhì)量為504g時，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設備，他的決定是否有道理？典例解析

解：檢查員的決定是有道理的，理由如下：當該設備正常運行時，產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，其參數(shù)分別為μ=500g,σ=1g,所以根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知產(chǎn)品質(zhì)量在區(qū)間（μ-3σ,μ+3σ],即（497,503]之間的概率約為99.7%,而產(chǎn)品的質(zhì)量超出這個范圍的概率只有0.3%,這是一個幾乎不可能發(fā)生的事件．但是，檢查員隨機抽取的產(chǎn)品為504g,這說明設備的運行可能不正常，因此檢查員的決定是有道理的．

這個例子反映了質(zhì)量控制的基本思想，它在實際生活中具有廣泛的應用D課堂訓練2．設兩個正態(tài)分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有(

)A．μ1＜μ2，σ1＜σ2

B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2

D．μ1＞μ2，σ1＞σ2A課堂訓練課堂訓練

3.在某次數(shù)學考試中,考生的成績X服從正態(tài)分布X～N(90,100).(1).求考試成績X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少?(2).若此次考試共有2000名考生,試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人?解:(1)依題意,X～N(90,100),即考試成績在(80,100)間的概率為0.6827.考試成績在(80,100)間的考生大約有4．某班有50名學生，一次考試的數(shù)學成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為________．10課堂訓練課堂小結1.正態(tài)曲線及正態(tài)密度函數(shù)2.正態(tài)分布課堂小結3、正態(tài)曲線的性質(zhì)σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱.（3）曲線在x=μ處達到峰值(最高點)(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越矮胖，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越瘦高，表示總體的分布越集中.（4）當x<μ時,曲線上升;當x>μ時,曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線,曲線與x軸之間的面積為1.(5)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移課堂小結4.正態(tài)分布的

原則課后作業(yè)1、已知一次考試共有60名同學參加，考生的成績X~N(100,52)，據(jù)此估計，大約應有