2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練(人教A版選擇性必修第二冊(cè))5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值(精練)(原卷版+解析)

5.3.2函數(shù)的極值與最大（小）值（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．(2023·寧夏·吳忠中學(xué)高二期中（文））如圖是的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在內(nèi)是增函數(shù)B．在內(nèi)是減函數(shù)C．在時(shí)取得極小值D．當(dāng)時(shí)取得極大值2．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值分別是（

）A． B．C． D．3．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在處取得極值，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．(2023·湖北·武漢情智學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的極小值為 B．的極大值為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減5．(2023·安徽·碭山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的大致圖像如圖所示，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①；②；③；則正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．36．(2023·河南·開(kāi)封清華中學(xué)高三階段練習(xí)（理））對(duì)任意，函數(shù)不存在極值點(diǎn)的充要條件是（

）A． B． C．或 D．或7．(2023·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，則取值范圍為（

）A． B． C．D．8．(2023·重慶·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．(2023·福建·福州黎明中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為函數(shù)的零點(diǎn) B．為函數(shù)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．是函數(shù)的最小值10．(2023·遼寧丹東·高二期末）已知函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C． D．三、填空題11．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．12．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值，且極值為0，則______．四、解答題13．(2023·黑龍江·鐵人中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在處取得極大值1.(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程.14．(2023·貴州·高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若直線是曲線的切線，求a的值.B能力提升15．(2023·福建·福州黎明中學(xué)高三階段練習(xí)）已知．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)函數(shù)的最大值為，求實(shí)數(shù)a的值.C綜合素養(yǎng)16．(2023·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求處的切線方程；(2)求證：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；(3)若存在實(shí)數(shù)a使對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.17．(2023·天津市武清區(qū)楊村第三中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的單調(diào)性和極小值（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；(2)若對(duì)任意的恒成立，求k的取值范圍.5.3.2函數(shù)的極值與最大（小）值（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．(2023·寧夏·吳忠中學(xué)高二期中（文））如圖是的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在內(nèi)是增函數(shù)B．在內(nèi)是減函數(shù)C．在時(shí)取得極小值D．當(dāng)時(shí)取得極大值答案：B【詳解】時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增在處左增右減，故在時(shí)取得極大值在處左減右增，故在時(shí)取得極小值綜上可知：B正確故選：B2．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值分別是（

）A． B．C． D．答案：C【詳解】，令得：或，令得：，故在處取得極大值，在處取得極小值，且，，，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值分別是3，-17.故選：C3．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在處取得極值，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：A【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，，所以，解得，檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，所以.故選：A.4．(2023·湖北·武漢情智學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的極小值為 B．的極大值為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減答案：B【詳解】因?yàn)?，所以，令，得或；令，得；所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，極大值為；在處有極小值，極小值為.故選：B.5．(2023·安徽·碭山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的大致圖像如圖所示，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①；②；③；則正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【詳解】因?yàn)?，故③錯(cuò)誤；，記函數(shù)的極值點(diǎn)分別為，，則，故，故①錯(cuò)誤；而，則，故②正確；故選：B.6．(2023·河南·開(kāi)封清華中學(xué)高三階段練習(xí)（理））對(duì)任意，函數(shù)不存在極值點(diǎn)的充要條件是（

）A． B． C．或 D．或答案：A【詳解】由已知，若，則是一次函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，若，無(wú)極值點(diǎn)，則，，綜上，．故選：A．7．(2023·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，則取值范圍為（

）A． B． C．D．答案：B【詳解】，為單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，即，代入解得，解得取值范圍為，故選：B．8．(2023·重慶·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】解：求導(dǎo)有，因?yàn)楹瘮?shù)有唯一的極值點(diǎn)，所以，有唯一正實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，所以在上無(wú)解，所以，在上無(wú)解，記，則有，所以，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，在上遞增．此時(shí)時(shí)，有最小值，所以，，即，所以，即的取值范圍是故選：A二、多選題9．(2023·福建·福州黎明中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為函數(shù)的零點(diǎn) B．為函數(shù)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．是函數(shù)的最小值答案：BC【詳解】由已知，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，在時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；在時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；在時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；在時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；所以和為函數(shù)的極小值點(diǎn)，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以，選項(xiàng)A，并不能確定為函數(shù)的零點(diǎn)；選項(xiàng)B，正確；選項(xiàng)C，正確；選項(xiàng)D，是函數(shù)的極小值，并不一定是最小值，故不正確.故選：BC.10．(2023·遼寧丹東·高二期末）已知函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C． D．答案：ABD【詳解】由，得，由是函數(shù)的極值點(diǎn)，得，解得，故函數(shù)，，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為極小值點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；又，，，，所以函數(shù)分別在，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，共三個(gè)零點(diǎn)，B選項(xiàng)正確；又在上單調(diào)遞減，且，所以，又，故，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；同理，且，，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.三、填空題11．(2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．答案：【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，所以在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)．且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以，即，解得．故答案為：．12．(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值，且極值為0，則______．答案：【詳解】由題意，函數(shù)，可得，函數(shù)在處取得極值，且極值為0，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故在處取得極值，符合題意．綜上所述，，所以．故答案為：.四、解答題13．(2023·黑龍江·鐵人中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在處取得極大值1.(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程.答案：(1)；(2)．（1）因?yàn)?，由題意得，即，所以；，，，，，所以函數(shù)在處取得極大值，符合題意.又，，所以函數(shù)圖象在處的切線方程為，即.（2）設(shè)切點(diǎn)為，，，所以，即切線方程為，又點(diǎn)在切線上，所以，，即，即，解得：，所以切線方程為：．14．(2023·貴州·高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若直線是曲線的切線，求a的值.答案：(1)的增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)（1）因?yàn)?，所?因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，即.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所?設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，所以，即，①，②由①②得.設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，即，所以B能力提升15．(2023·福建·福州黎明中學(xué)高三階段練習(xí)）已知．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)函數(shù)的最大值為，求實(shí)數(shù)a的值.答案：(1)答案見(jiàn)解析；(2).（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由得，故，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，解得，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，若，即，有，所以由在上單調(diào)遞增，得在上單調(diào)遞增，故由上述分析可知，又不滿足題意；若，即，易得，不滿足題意；若，則，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得，滿足題意；綜上：，故實(shí)數(shù)a的值為.C綜合素養(yǎng)16．(2023·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求處的切線方程；(2)求證：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；(3)若存在實(shí)數(shù)a使對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.答案：(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【解析】（1），而，故，所以在處的切線方程為.（2），令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故即在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，故在僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).（3）令，由題設(shè)可得：函數(shù)的最大值不大于0，，根據(jù)（2）的結(jié)論可知有唯一極值點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，此時(shí)，所以，故，由可得.又由的存在性可得，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，綜上所述.17．(2023·天津市武清區(qū)楊村第三中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的單調(diào)性和極小值（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；(2)若對(duì)任意的恒成立，求k的取值范