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微專題嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)之一,??疾槎魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)相關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題,與函數(shù)的圖象性交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn),通常先“換元解套”,設(shè)中間函數(shù)為t,通過(guò)換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù),借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.類型一判斷嵌套函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)=lnx-1x,x>0,A.2 B.3C.4 D.5D解析:令t=f(x)+1=ln①當(dāng)t>0時(shí),f(t)=lnt-1t,則函數(shù)f(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由于f(1)=-1<0,f(2)=ln2-12>0,由零點(diǎn)存在定理可知,存在t1∈(1,2),使得f(t②當(dāng)t≤0時(shí),f(t)=t2+2t,由f(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0.作出函數(shù)t=f(x)+1,直線t=t1,t=-2,t=0的圖象如圖所示.由圖象可知,直線t=t1與函數(shù)t=f(x)+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn);直線t=0與函數(shù)t=f(x)+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn);直線t=-2與函數(shù)t=f(x)+1的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述,函數(shù)y=f[f(x)+1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.解決嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般步驟(1)換元解套,轉(zhuǎn)化為t=g(x)與y=f(t)的零點(diǎn).(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).類型二由嵌套函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題【例2】已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x≥0,x2-2x,x<0,若關(guān)于x的不等式[A.2 B.3C.5 D.8D解析:由題設(shè),分段函數(shù)的圖象如下:①若b=0,則[f(x)]2+af(x)-b2<0即為[f(x)]2+af(x)<0.當(dāng)a>0時(shí),-a<f(x)<0,又因?yàn)殛P(guān)于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1個(gè)整數(shù)解,所以其整數(shù)解必為3,且f(4)≤-a<f(3).又f(3)=-3,f(4)=-8,所以3<a≤8.a≤0不必考慮.②若b≠0,因?yàn)閇f(x)]2+af(x)-b2<0有解,所以Δ=a2+4b2>0,解得-a-a2+4b22<f(x)<-a+a由于當(dāng)f(x)=0時(shí),不等式的解集中含有2個(gè)整數(shù)解{0,2},故舍去.綜上,a的最大值為8.故選D.已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍時(shí),常利用數(shù)形
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