2024春七年級數(shù)學(xué)下冊專題09分式及分式的運算壓軸題六種模型全攻略含解析新版浙教版

Page1專題09分式及分式的運算壓軸題六種模型全攻略【類型一分式的定義】例題：（四川攀枝花·八年級期中）在代數(shù)式，，，，中，分式有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【解析】【分析】依據(jù)分式的定義，形如，B中含有字母且B≠0，推斷即可．【詳解】解：在代數(shù)式，，，，中，分式是，，共2個故選：A．【點睛】本題考查了分式的定義，嫻熟駕馭分式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（江蘇·靖江市靖城中學(xué)八年級期中）代數(shù)式，，，，，中分式有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分式的概念干脆求解．【詳解】解：是分式；不是分式；是分式；是分式；不是分式，∴是分式的有3個，故選：B【點睛】本題考查了分式的概念，理解駕馭分式的概念是解題的關(guān)鍵．分母中含有字母的式子，是分式，特別留意：π是無理數(shù)，不是字母．【變式訓(xùn)練2】（內(nèi)蒙古通遼·一模）代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是_________________．【答案】【解析】【分析】分式有意義的條件是分母不等于零．【詳解】解：代數(shù)式有意義，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是分式有意義的條件，嫻熟駕馭分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（山東臨沂·八年級期末）式子①，②，③，④，⑤中，分式有________個【答案】①③⑤【解析】【分析】依據(jù)分式的定義逐項推斷即可．【詳解】解：①的分母中含有字母，是分式；②的分母中不含有字母，是整式；③的分母中含有字母，是分式；④的分母中不含有字母，是整式；⑤的分母含有字母，是分式；綜上，①③⑤．故答案為：①③⑤【點睛】本題考查了分式的定義，解題的關(guān)鍵是推斷是不是分式，只要推斷分母中是否含有字母，須要留意π是一個數(shù)，所以分母中含有π的不是分式．【類型二分式的值及分式的值為零】例題：（海南省直轄縣級單位·一模）若分式的值為0，則x的值是（

）A． B． C．1 D．0【答案】C【解析】【分析】依據(jù)分式值為零的條件：分子等于零，且分母不等于零列式求解即可．【詳解】解：由題意，得，解得：x=1，故選：C．【點睛】本題考查分式值為零的條件，嫻熟駕馭分式值為零的條件：分子等于零，且分母不等于零是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（云南師范高校試驗中學(xué)七年級期中）設(shè)=，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由=，可得再代入分式進(jìn)行求值即可．【詳解】解：=，故選C【點睛】本題考查的是分式的求值，得到再代入分式進(jìn)行求值是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（內(nèi)蒙古·烏海市其次中學(xué)八年級期末）若分式的值等于0，則x的值為（

）A．﹣1 B．0 C．1 D．±1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)分式的值為0的條件即可得出答案．【詳解】解：依據(jù)題意，|x|?1＝0，x?1≠0，∴x＝?1，故選：A．【點睛】本題考查了分式的值為0的條件，駕馭分式的值為0的條件：分子等于0且分母不等于0是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（廣西河池·模擬預(yù)料）當(dāng)______時，分式有意義；當(dāng)______時，分式的值為零．【答案】

【解析】【分析】要使分式的值為，必需分式分子的值為，并且分母的值不為分母的值是時分式?jīng)]有意義．【詳解】解：由解得：．當(dāng)時，分式有意義；由分子解得：，而時，分母，當(dāng)時，分式的值為零．故答案為：，x．【點睛】此題主要考查了分式有意義的條件，分式值為零的條件，關(guān)鍵是駕馭分式有意義的條件是分母不等于零；分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零,特別留意“分母不為零”這個條件不能少．【類型三分式的基本性質(zhì)】例題：（福建泉州·八年級期中）假如把分式中的x和y都擴大3倍，那么分式的值（

）A．?dāng)U大6倍 B．?dāng)U大3倍 C．不變 D．縮小3倍【答案】B【解析】【分析】把x，y都擴大3倍后分別變?yōu)?x，3y，然后再代入分式中進(jìn)行化簡計算，即可推斷．【詳解】解：把x，y都擴大3倍后分別變?yōu)?x，3y，那么分式的值=，所以，假如把分式中的x，y都擴大3倍，那么分式的值擴大3倍．故選：B．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能熟記分式的基本性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（四川眉山·八年級期中）假如把分式中的x和y都擴大3倍，則分式的值（）A．?dāng)U大4倍 B．?dāng)U大3倍 C．不變 D．縮小2倍【答案】C【解析】【分析】依據(jù)分式的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：將分式中的x和y都擴大3倍，得==所以分式的值不變故選：C．【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，將x和y換成3x和3y正確化簡是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（山東東營·八年級期末）將分式中，x，y的值同時擴大為原來的２倍，則分式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大為原來的2倍C．?dāng)U大為原來的4倍 D．縮小為原來的【答案】B【解析】【分析】依題意分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：∵＝＝∴分式的值比原來擴大2倍，故選：B．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變更的倍數(shù)，解此類題首先把字母變更后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．【變式訓(xùn)練3】（河南周口·八年級期末）下列變形中，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)分式的性質(zhì)，對選項逐個推斷即可．【詳解】解：A、，選項正確，符合題意；B、，選項錯誤，不符合題意；C、，選項錯誤，不符合題意；D、當(dāng)時，等號右邊的式子沒有意義，選項錯誤，不符合題意；故選：A【點睛】此題考查了分式的性質(zhì)，涉及了平方差公式，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭分式的有關(guān)性質(zhì)．【類型四分式的混合運算】例題：（湖北·老河口市教學(xué)探討室一模）化簡：．【答案】1【解析】【分析】依據(jù)分式的混合運算法則即可求解．【詳解】解：原式＝

＝

＝

＝1．【點睛】此題主要考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟知其運算法則．【變式訓(xùn)練1】（湖北十堰·一模）化簡：．【答案】【解析】【分析】先將括號里的式子通分，再利用完全平方公式進(jìn)行化簡，然后將除法化為乘法進(jìn)行約分即可求解．【詳解】原式＝＝．【點睛】本題考查分式的混合運算，還涉及到完全平方公式，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭分式混合運算法則．【變式訓(xùn)練2】（江蘇揚州·八年級期中）（1）計算：（2）【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）先化為同分母分式，再相減，最終進(jìn)行約分即可；（2）把能分解的分子與分母進(jìn)行分解，并且括號內(nèi)進(jìn)行通分再相減，最終進(jìn)行約分即可；【詳解】解：（1）原式===1（2）原式===【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的駕馭．【變式訓(xùn)練3】（重慶市珊瑚初級中學(xué)校八年級期中）化簡(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】有括號先去括號，把除法變?yōu)槌朔ò逊质交啠瑫r將分子分母因式分解，依據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可．(1)解：原式＝(2)解：原式＝【點睛】本題考查了分式的混合運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【類型五分式運算中——先化簡，再求值】例題：（貴州·遵義市第十二中學(xué)一模）先化簡，并從－5，－1，0，5中選擇寵愛的數(shù)代入求值．【答案】，選擇，值為4【解析】【分析】先計算括號內(nèi)的分式減法，再計算分式的除法，然后依據(jù)分式有意義的條件確定的值，代入計算即可得．【詳解】解：原式，，，將代入得：原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，嫻熟駕馭分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（河南三門峽·一模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】將括號內(nèi)的部分通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分化簡，最終將x的值代入求解即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時，原式．【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，嫻熟進(jìn)行通分和約分是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（新疆·烏市一中二模）先化簡，再求值，其中．【答案】，2．【解析】【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把的值代入計算即可求出值．【詳解】解：=當(dāng)a=2時，原式=．【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是駕馭分式混合運算依次和運算法則．【變式訓(xùn)練3】（山東煙臺·八年級期末）（1）已知，且，求的值．（2）先化簡，再從，0，1中選擇合適的值代入求值．【答案】（1），1；（2），-1【解析】【分析】（1）將式子化簡為，已知條件化簡然后代入求解即可；（2）將分式化簡，然后由分式有意義的條件代入求值即可．【詳解】（1）解：原式，∵，∴原式；（2）原式，∵，∴取，原式．【點睛】題目主要考查分式的化簡求值，嫻熟駕馭運算法則是解題的關(guān)鍵．【類型六分式中的規(guī)律探究問題】例題：（全國·八年級期中）視察下列各式：2，3，4．(1)類比上述式子，再寫出一個同類型的式子；(2)你能用字母n（n是正整數(shù)）表示其中的規(guī)律嗎？并給出證明．【答案】(1)；(2)規(guī)律n（n＞1），證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)前幾個等式的變更規(guī)律解答即可；（2）依據(jù)前幾個等式的變更規(guī)律，用n表述規(guī)律即可，再依據(jù)分式的化簡和二次根式的性質(zhì)證明即可．(1)解：依據(jù)前幾個等式的變更規(guī)律，則有；(2)解：∵2=2，3=3，4=4．∴規(guī)律為：n（n＞1），證明：=n（n＞1）．【點睛】本題考查與實數(shù)運算相關(guān)的規(guī)律題、分式的加減、二次根式的性質(zhì)，能正確發(fā)覺變更規(guī)律是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（安徽·合肥市五十中學(xué)新校二模）視察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；…；依據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，見解析【解析】【分析】(1)視察所給等式中的各個分?jǐn)?shù)的分子與分母的數(shù)字與序號的關(guān)系可得結(jié)論；(2)同(1)一樣的方法進(jìn)行總結(jié)可得；利用分式的加減法則分別計算等式的左邊和右邊可得．(1)由題意得：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；…；依據(jù)以上規(guī)律，第6個等式為：；(2)猜想：，；證明：∵左邊＝＝=＝＝＝右邊，∴等式成立．【點睛】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過視察，分析、歸納發(fā)覺其中的規(guī)律，發(fā)覺等式中的數(shù)字與序號的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（安徽·合肥市第三十中學(xué)二模）視察以下等式：第1個等式：；

第2個等式：；第3個等式：；

第4個等式：；依據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________________________；(2)寫出你猜想的第個等式：________________________（用含的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)；證明見詳解【解析】【分析】（1）每個等式兩邊分別是一個分?jǐn)?shù)與一個數(shù)字的差與商，分別分析分?jǐn)?shù)與數(shù)字的規(guī)律，分?jǐn)?shù)的分母第一個是1，以后序號每增加1分母增加3，第一個等式的分子為2的平方，其次個等式為5的平方，則分子等于分母加1的平方，數(shù)字等于分?jǐn)?shù)的分子中的底數(shù)，依據(jù)此規(guī)律寫出第5個等式即可；（2）依據(jù)（1）中的規(guī)律，寫出第n個等式即可，依據(jù)完全平方公式以及多項式乘多項式法則將等號左右兩邊的代數(shù)式化簡即可證明結(jié)論．(1)解：依據(jù)題意可知，第5個式子為：，即：，故答案為：．(2)解：猜想第n個式子為：，證明：，，∵，∴成立．【點睛】本題考查找尋數(shù)之間的規(guī)律，完全平方公式，多項式乘以多項式，能夠發(fā)覺規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（安徽·九年級專題練習(xí)）視察以下等式：第1個等式；第2個等式；第3個等式；第4個等式；……依據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：______．(2)寫出你猜想的第n個等式______（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)；證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)以上所總結(jié)的規(guī)律即可寫出第5個等式；（2）同理，律即可猜想出第n個等式．證明方法：計算出左邊的結(jié)果看是否等于右邊．(1)解：由題意得：第5個等式為：；故答案為：；(2)猜想：證明：右邊左邊，故猜想成立．故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律變更，分式的化簡，找到等式中分?jǐn)?shù)的變更規(guī)律是解題關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】一、選擇題1．（陜西延安·八年級期末）下列各式中，是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分式的定義依次推斷即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、屬于整式，不是分式；B、屬于分式；C、屬于整式，不是分式；D、屬于整式，不是分式；故選B．【點睛】本題主要考查了分式的概念，分式的分母必需含有字母，而分子可以含有字母，也可以不含字母，理解定義是解題關(guān)鍵．2．（江蘇揚州·八年級期中）把分式中的x和y都擴大3倍，則分式的值(

)A．不變 B．?dāng)U大為原來的3倍 C．縮小為原來的 D．?dāng)U大為原來的9倍【答案】B【解析】【分析】將x，y擴大3倍，即將x，y用3x，3y代替，就可以解出此題．【詳解】解：將x，y擴大3倍，即將x，y用3x，3y代替∴擴大為原來的3倍故選B．【點睛】此題考查的是對分式的性質(zhì)的理解和運用，擴大或縮小n倍，就將原來的數(shù)乘以n或除以n后代入計算是解題關(guān)鍵．3．（浙江·九年級專題練習(xí)）要使分式有意義，x的取值應(yīng)當(dāng)滿足（）A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2【答案】D【解析】【分析】依據(jù)分式有意義，分母不等于0列式計算即可得解．【詳解】由題意得：，解得：且，故選：D．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．4．（湖南長沙·八年級期末）若分式的值為零，則x等于（

）A．-2 B．2 C．-2或2 D．2或3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)分式為0時，分子等于0且分母不等于0即可得出．【詳解】依題意得，且，由解得或－2，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，或－2，故選：C．【點睛】本題考查了分式的值為0的條件，若分式的值為0，則同時具備分子等于0且分母不等于0．二、填空題5．（江蘇南京·九年級期末）若，則的值為___．【答案】【解析】【分析】設(shè)b=5k，a=3k，代入求值即可；【詳解】解：設(shè)b=5k，a=3k，則==，故答案為：；【點睛】本題考查了分式的求值，駕馭分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（全國·九年級專題練習(xí)）當(dāng)分式時，x的值為____【答案】【解析】【分析】依據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列出方程，解方程即可．【詳解】解：由題意得，，，解得，x＝±3，x≠3，∴x＝?3，則x＝?3時，分式的值為零．故答案為：?3．【點睛】本題考查的是分式的值為零的條件，駕馭分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解題的關(guān)鍵．7．（河北秦皇島·八年級期中）已知，則分式的值為_____．【答案】##【解析】【分析】先把條件式化為再整體代入代數(shù)式求值即可.【詳解】解：，去分母得：故答案為：【點睛】本題考查的是已知條件式求解分式的值，把條件式變形，再整體代入求值是解本題的關(guān)鍵.8．（江蘇·無錫市僑誼試驗中學(xué)八年級期中）約分：①__________，

②__________，③___________，④若，則的值是________.【答案】

；

；

；

．【解析】【分析】（1）分子分母都約去公因式5ab即可；（2）分別將分子和分母分解因式，再約分；（3）分別將分子和分母分解因式，再約分；（4）將前面的等式進(jìn)行變形后再代入后面的代數(shù)式進(jìn)行求值即可．【詳解】解：①；②；③；④若，則,∴．故答案為：①；②；③；④．【點睛】本題考查了約分及分式的求值：約去分式的分子與分母的公因式，不變更分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．三、解答題9．（廣東佛山·二模）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中【答案】，【解析】【分析】先算括號內(nèi)的加法，再把除化為乘，分子分母分解因式約分，化簡后將x=-4代入即可得到答案．【詳解】原式當(dāng)時，原式【點睛】本題考查分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是駕馭分式混合運算的依次及相關(guān)運算的法則．10．（河南·方城縣基礎(chǔ)教化教學(xué)探討室一模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】依據(jù)分式的運算依次進(jìn)行：先算括號再算除法，最終約分即可化簡；再求出x的值，并把x的值代入化簡后的式子中即可求得值．【詳解】解：∵∴原式=【點睛】本題是分式的化簡求值，考查了分式的混合運算，算術(shù)平方根的計算、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，求代數(shù)式的值等學(xué)問，分式的化簡及求得x的值是關(guān)鍵，分式運算留意運算依次不能出錯．11．（山東棗莊·一模）先化簡：（－a－1）÷，然后從－1，0，1，2，3中選一個合適的數(shù)作為a的值代入求值．【答案】2（a－3）；當(dāng)a＝0時，原式＝－6【解析】【分析】小括號內(nèi)進(jìn)行通分，對多項式進(jìn)行因式分解，除法轉(zhuǎn)化為乘法，化簡約分即可得到化簡的結(jié)果，依據(jù)分式有意義的條件得到a的取值，代入求值即可．【詳解】解：原式＝[－]÷＝（－）·＝·＝·＝2（a－3）．∵a≠3且a≠－1，∴a＝0（或a＝1），當(dāng)a＝0時，原式＝2×（0－3）＝－6．[或當(dāng)a＝1時，原式＝2×（1－3）＝－4．答案不唯一]【點睛】本題考查了分式的化簡求值，把整式看成分母是1的分?jǐn)?shù)，