2024年高中數(shù)學(xué)專題7-3重難點題型培優(yōu)精講復(fù)數(shù)的四則運算學(xué)生版新人教A版必修第二冊

專題7.3復(fù)數(shù)的四則運算1．復(fù)數(shù)的加法運算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是隨意兩個復(fù)數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運算律

對隨意,,∈C，有

①交換律：+=+；

②結(jié)合律：(+)+=+(+).(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面對量的坐標(biāo)運算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對應(yīng)的向量.2．復(fù)數(shù)的減法運算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

依據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個復(fù)數(shù)的差-對應(yīng)的向量是-，即向量.假如作=，那么點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是-(如圖所示).

這說明兩個向量與的差就是與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以依據(jù)向量的減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)的乘法運算(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是隨意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成-1，并且把實部與虛部分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)乘法的運算律對于隨意,,∈C，有

①交換律：=；

②結(jié)合律：()=()；

③支配律：(+)=+.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運算律照舊成立.即對于隨意復(fù)數(shù)z，,和正整數(shù)m,n，有=，=，=.4．復(fù)數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).5．|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義

設(shè)復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是(a,b)，(c,d)，則|???????|=，又復(fù)數(shù)-=(a-c)+(b-d)i，則|-|=.

故|???????|=|-|，即|-|表示復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點之間的距離.6．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當(dāng)>0時，方程有兩個不相等的實根，=；

當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實根==-；

當(dāng)<0時，方程有兩個虛根=，=，且兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).7．復(fù)數(shù)運算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見運算小結(jié)論①；②；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【題型1復(fù)數(shù)的加、減運算】【方法點撥】兩個復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個復(fù)數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減).復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，兩個復(fù)數(shù)相減，也可以看成是加上這個復(fù)數(shù)的相反數(shù).當(dāng)多個復(fù)數(shù)相加(減)時，可將這些復(fù)數(shù)的全部實部相加(減)，所有虛部相加(減).【例1】（2024秋·貴州畢節(jié)·高三階段練習(xí)）已知z1=1+i，z2=2A．4 B．5+3i C．4-【變式1-1】（2024秋·陜西延安·高三階段練習(xí)）若z-3+5i=8-A．5-3i B．11-【變式1-2】（2024春·廣西桂林·高一期末）1+i+-A．-1+3i B．1+i C．【變式1-3】（2024·山西大同·大同市模擬預(yù)料）若復(fù)數(shù)z滿足2z+z+3A．12+C．2+2i D．【題型2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】【方法點撥】(1)向量加、減運算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的依據(jù).(2)利用向量的加法“首尾相接”和減法“指向被減向量”的特點，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應(yīng)的復(fù)數(shù).【例2】（2024春·北京西城·高一階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為原點，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【變式2-1】（2024·高一課時練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，若A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為（

）A．5 B．5 C．25 D．10【變式2-2】（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖在復(fù)平面上，一個正方形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,-A．3+i B．3-i C．【變式2-3】（2024春·高一課時練習(xí)）如圖，設(shè)向量OP，PQ，OQ所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【題型3復(fù)數(shù)的乘除運算】【方法點撥】(1)復(fù)數(shù)的乘法可以依據(jù)多項式的乘法計算，只是在結(jié)果中要將換成-1，并將實部、虛部分別合并.(2)復(fù)數(shù)的除法法則在實際操作中不便利運用，一般將除法寫成分式形式，接受分母“實數(shù)化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母成為實數(shù)，再計算.【例3】（2024·遼寧·遼寧模擬預(yù)料）已知z1+i=7+5i，則A．6-i B．6+i C．【變式3-1】（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)料）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為(-1,1)，則z1+A．-1+i B．-1-【變式3-2】（2024春·陜西榆林·高二期中）已知復(fù)數(shù)z=-1+2i（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為z，則A．-2-i B．-2+i C．2-i【變式3-3】（2024秋·河北唐山·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z-i=4+3iA．3+3i B．3-3i【題型4虛數(shù)單位i的冪運算的周期性】【方法點撥】依據(jù)虛數(shù)單位i的冪運算的周期性，進(jìn)行求解即可.【例4】（2024·云南紅河·?？寄M預(yù)料）已知i為虛數(shù)單位，則i20231-A．-12+12i【變式4-1】（2024春·湖北十堰·高一階段練習(xí)）i2022=（A．-1 B．1 C．-i【變式4-2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)i是虛數(shù)單位，則i+i2A．i+1 B．i-1【變式4-3】1+i1-A．i B．-i C．22005【題型5解復(fù)數(shù)方程】【方法點撥】實系數(shù)一元二次方程的虛根是成對出現(xiàn)的，即若復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R，b≠0)是實系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復(fù)數(shù)a-bi是該方程的另一根，據(jù)此進(jìn)行求解即可.【例5】（2024·重慶江北·?？家荒＃┮阎獜?fù)數(shù)1+i是關(guān)于x的方程x2+mx+2=0A．-2 B．2 C．-【變式5-1】（2024秋·寧夏石嘴山·高三期中）已知復(fù)數(shù)1+i（i為虛數(shù)單位）為實系數(shù)方程x2+px+qA．4 B．2 C．0 D．-【變式5-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知ω是方程x2+x+1=0的虛數(shù)根，則A．0 B．±1 C．12【變式5-3】（2024秋·上海寶山·高二階段練習(xí)）若1+2i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2A．b=2，c=3 B．bC．b=-2，c=【題型6四則運算下的復(fù)數(shù)概念】【方法點撥】先依據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則進(jìn)行化簡復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，進(jìn)行求解即可.【例6】（2024·江蘇常州·?？寄M預(yù)料）已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，1+z1+i是實數(shù)，則z=