高考數(shù)學(xué)微專題集專題01同構(gòu)法初探(原卷版+解析)

專題01同構(gòu)法初探專題01同構(gòu)法初探一、同構(gòu)的前半生同構(gòu)式源于指對(duì)跨階的問(wèn)題，如與屬于跨階函數(shù)，可通過(guò)指對(duì)跨階函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)，即，通常選取這三個(gè)函數(shù)為母函數(shù)，進(jìn)行同構(gòu)式的構(gòu)造．下面借助一道例題來(lái)闡釋如何以上述母函數(shù)構(gòu)造同構(gòu)式：【例1】已知，不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．【解析】觀察不等式可知，原不等式中有類似于與的形式，屬于跨階函數(shù)，∴，同構(gòu)，等價(jià)于，∵，在上單調(diào)遞增，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】該題原不等式中既含有指數(shù)又含有對(duì)數(shù)，屬于指對(duì)數(shù)混合型不等式．一般解法是求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)單凋性求范圍，但本解法將不等式變形，將形如“”的對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如“”的指數(shù)函數(shù)，使得不等式兩邊都為結(jié)構(gòu)，構(gòu)造新函數(shù)再根據(jù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍．二、同構(gòu)的概念通過(guò)前面兩個(gè)例題的同構(gòu)過(guò)程，可得同構(gòu)過(guò)程，先通過(guò)觀察原不等式的結(jié)構(gòu)，再對(duì)不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，最后找到這個(gè)函數(shù)的模型，即找到不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一個(gè)函數(shù)，將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)．像這種找到函數(shù)模型的方法，我們就稱為同構(gòu)法．同構(gòu)思路可表示為：若能等價(jià)變形為，然后判斷的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性去掉外函數(shù)f，轉(zhuǎn)化為解不等式．簡(jiǎn)單地說(shuō)：同構(gòu)的兩個(gè)特征：一個(gè)是，一個(gè)式子中出現(xiàn)兩個(gè)變量；另一個(gè)是，適當(dāng)變形后，兩邊式子結(jié)構(gòu)相同．【例2】若，則（）A．B．C．D．【解析】原不等式等價(jià)變形為同構(gòu)函數(shù)，可知在定義域上單調(diào)遞增∴∴對(duì)于有正有負(fù)，所以C、D錯(cuò)誤；∵，故A正確，B錯(cuò)誤．【點(diǎn)評(píng)】該不等式兩邊都是含xy的指數(shù)，且兩邊底數(shù)不相同．符合同構(gòu)法的特征，將不等式變形，使得兩邊各含一個(gè)變量，變形后發(fā)現(xiàn)，不等式兩邊的結(jié)構(gòu)相同且都為“”的形式，因此找到這個(gè)函數(shù)的原型，同構(gòu)函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷出含x與y的大小關(guān)系．專題強(qiáng)化訓(xùn)練1．對(duì)下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．2．完成下列各問(wèn)（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（4）已知不等式對(duì)任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實(shí)數(shù)a與b的大小關(guān)系是_______；（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（8）已知不等式，對(duì)恒成立，則k的最大值為_______；（9）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；3．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.A． B． C． D．4．已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知不等式，對(duì)恒成立，則a的取值范圍是______．6．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則_______．7．已知方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：______．8．已知實(shí)數(shù)a，b(0，2)，且滿足，則a＋b的值為_______．9．已知實(shí)數(shù)，滿足，，則______.10．如果，那么的取值范圍是_______．11．比較．12．已知函數(shù),其中．求證：．13．證明：．14．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，關(guān)于x的不等式恒成立，證明的最小值為．15．若a是方程的根，證明：a也是方程的根．16．已知函數(shù)，，設(shè)，其中，若恒成立，求的取值范圍．專題01同構(gòu)法初探專題01同構(gòu)法初探一、同構(gòu)的前半生同構(gòu)式源于指對(duì)跨階的問(wèn)題，如與屬于跨階函數(shù)，可通過(guò)指對(duì)跨階函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)，即，通常選取這三個(gè)函數(shù)為母函數(shù)，進(jìn)行同構(gòu)式的構(gòu)造．下面借助一道例題來(lái)闡釋如何以上述母函數(shù)構(gòu)造同構(gòu)式：【例1】已知，不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．【解析】觀察不等式可知，原不等式中有類似于與的形式，屬于跨階函數(shù)，∴，同構(gòu)，等價(jià)于，∵，在上單調(diào)遞增，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】該題原不等式中既含有指數(shù)又含有對(duì)數(shù)，屬于指對(duì)數(shù)混合型不等式．一般解法是求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)單凋性求范圍，但本解法將不等式變形，將形如“”的對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如“”的指數(shù)函數(shù)，使得不等式兩邊都為結(jié)構(gòu)，構(gòu)造新函數(shù)再根據(jù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍．二、同構(gòu)的概念通過(guò)前面兩個(gè)例題的同構(gòu)過(guò)程，可得同構(gòu)過(guò)程，先通過(guò)觀察原不等式的結(jié)構(gòu)，再對(duì)不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，最后找到這個(gè)函數(shù)的模型，即找到不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一個(gè)函數(shù)，將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)．像這種找到函數(shù)模型的方法，我們就稱為同構(gòu)法．同構(gòu)思路可表示為：若能等價(jià)變形為，然后判斷的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性去掉外函數(shù)f，轉(zhuǎn)化為解不等式．簡(jiǎn)單地說(shuō)：同構(gòu)的兩個(gè)特征：一個(gè)是，一個(gè)式子中出現(xiàn)兩個(gè)變量；另一個(gè)是，適當(dāng)變形后，兩邊式子結(jié)構(gòu)相同．【例2】若，則（）A．B．C．D．【解析】原不等式等價(jià)變形為同構(gòu)函數(shù)，可知在定義域上單調(diào)遞增∴∴對(duì)于有正有負(fù)，所以C、D錯(cuò)誤；∵，故A正確，B錯(cuò)誤．【點(diǎn)評(píng)】該不等式兩邊都是含xy的指數(shù)，且兩邊底數(shù)不相同．符合同構(gòu)法的特征，將不等式變形，使得兩邊各含一個(gè)變量，變形后發(fā)現(xiàn)，不等式兩邊的結(jié)構(gòu)相同且都為“”的形式，因此找到這個(gè)函數(shù)的原型，同構(gòu)函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷出含x與y的大小關(guān)系．專題強(qiáng)化訓(xùn)練1．對(duì)下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．2．完成下列各問(wèn)（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（4）已知不等式對(duì)任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實(shí)數(shù)a與b的大小關(guān)系是_______；（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（8）已知不等式，對(duì)恒成立，則k的最大值為_______；（9）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；3．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.A． B． C． D．4．已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知不等式，對(duì)恒成立，則a的取值范圍是______．6．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則_______．7．已知方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：______．8．已知實(shí)數(shù)a，b(0，2)，且滿足，則a＋b的值為_______．9．已知實(shí)數(shù)，滿足，，則______.10．如果，那么的取值范圍是_______．11．比較．12．已知函數(shù),其中．求證：．13．證明：．14．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，關(guān)于x的不等式恒成立，證明的最小值為．15．若a是方程的根，證明：a也是方程的根．16．已知函數(shù)，，設(shè)，其中，若恒成立，求的取值范圍．參考答案：1．(1)，.(2)，.(3)，.(4)，.(5)，.(6)，.(7)，.(8)，.分析：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根據(jù)給定的不等式或等式，利用等式不等式性質(zhì)、指對(duì)數(shù)式互化變形成不等號(hào)或等號(hào)兩邊結(jié)構(gòu)相同的形式，再構(gòu)建函數(shù)作答.(1)顯然，則，.(2)顯然，則，.(3)顯然，則，.(4)顯然，則，.(5)，.(6)，，.(7)，.(8)，.2．

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.分析：（1）根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離進(jìn)行求解.（2）（3）（4）（5）（9）利用，構(gòu)造不等式形式，以及利用放縮法，采用參數(shù)分離的方式進(jìn)行求解.（5）（6）（7）（8）分離參數(shù)后利用進(jìn)行進(jìn)行求解.【詳解】解析：（1），．又，，令，得或，令，得，所以在，遞減，在遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，（2），當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以．（3），當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，由（1）中可得，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以．（4），由于，所以．（5）．由于，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以．（6），由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，則，所以．（7），由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，則，所以．（8），由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以，則，所以．（9），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．由有解，，，易知在上遞增，在遞減，所以故答案為:；；；；；；；；【點(diǎn)睛】考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性以及最值，以及運(yùn)用，這些常用不等式，適當(dāng)放縮.考查運(yùn)算能力和靈活構(gòu)造處理函數(shù)以及不等式等做題能力.3．C分析：將不等式變形后，構(gòu)造函數(shù)g(x)，結(jié)合選項(xiàng)對(duì)m討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值的分布情況，對(duì)選項(xiàng)排除驗(yàn)證即可．【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為>0在上恒成立，記g(x)＝，由基本初等函數(shù)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，y=x+1與y=x-1分別為y=與y=的切線，即,(x=0時(shí)等號(hào)成立)，（x=1時(shí)等號(hào)成立），可得(x=0時(shí)等號(hào)成立)，∴m時(shí)，在上恒成立，又在上恒成立，∴在上恒成立，∴m時(shí)符合題意，排除A、B；當(dāng)m>0時(shí)，驗(yàn)證C選項(xiàng)是否符合，只需代入m=3，此時(shí)g(x)＝，則，此時(shí)0，令)在上單調(diào)遞增，且，∴在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，而0，∴在上恒成立，∴g(x)在上單調(diào)遞增,又g(0)=0，∴g(x)在上恒成立，即m=3符合題意，排除D,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查了分類討論思想，注意小題小做的技巧，是一道綜合題．4．C分析：先利用同構(gòu)變形得到，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合其單調(diào)性和求解的是a的最小值，考慮兩種情況，進(jìn)行求解，最終求得實(shí)數(shù)a的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，?gòu)造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)a最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，兩邊取對(duì)數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．故選：C【點(diǎn)睛】同構(gòu)法針對(duì)與不等式或者等式中同時(shí)出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，要將兩邊變形得到結(jié)構(gòu)相同，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.5．分析：由題意可得，，即，構(gòu)造函數(shù)，由其在上為增函數(shù)，，則，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)恒成立，所以，，所以，所以，所以，令，則因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，所以，所以，所以a的取值范圍是故答案為：6．2分析：根據(jù)零點(diǎn)定義可得，整理可得，根據(jù)此時(shí)可得成立，代入化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，整理可得，可得當(dāng)，即成立，又，代入可得.故答案為：.7．分析：令，則由零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)討論導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】令，，因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的零點(diǎn)，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故即.當(dāng)，因?yàn)榍?，故在上有一個(gè)零點(diǎn)，而且，，而，故在為減函數(shù)，故，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，又時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，其中，而，故，而，因?yàn)?，，所以，故，而，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，而，因?yàn)椋试谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，結(jié)合可得當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：含參數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，注意利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)要結(jié)合零點(diǎn)存在定理來(lái)判斷函數(shù)值的符號(hào).8．2分析：由，且a，b(0，2)，化簡(jiǎn)為：，設(shè)，則在上遞增，由，得a＋b的值.【詳解】由，化簡(jiǎn)為：，即，設(shè)，則在上遞增，因?yàn)閍，b(0，2)，所以2-b(0，2)，且，所以，即.故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了等式的化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求值的問(wèn)題，屬于中檔題.9．分析：由已知條件考慮將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，令，得到，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出關(guān)系，即可求解.【詳解】實(shí)數(shù)，滿足，，，，則，，所以在單調(diào)遞增，而，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用，換元法是解題的關(guān)鍵，構(gòu)造函數(shù)是難點(diǎn)，屬于中檔題.10．分析：將不等式化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求解【詳解】，即，令，在上單調(diào)遞減，則可化為，解得．故答案為：11．分析：比較的兩個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)為，同時(shí)取自然對(duì)數(shù)即比較，等價(jià)于比較，構(gòu)造函數(shù)求解．【詳解】解：令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，得，所以．12．證明見解析分析：構(gòu)造函數(shù)，換元后得到，，利用導(dǎo)函數(shù)求得單調(diào)性和極值，最值，證明出不等式.【詳解】證明：，令，，則，因?yàn)椋粤畹茫?，令得：，在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值，也是最小值，易知，故．13．證明見解析分析：根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式及不等式（取等號(hào)）進(jìn)行放縮即可證明.【詳解】設(shè)，則.令，即，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，取得極小值，也為最小值.，即（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），由，得，由（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），得所以（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以，即證．【點(diǎn)睛】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵就是利用對(duì)數(shù)恒等式及不等式式（取等號(hào)）進(jìn)行放縮即可.14．證明見解析分析：根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式及函數(shù)的單調(diào)性得在上恒成立，利用分離參數(shù)法得在恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解.【詳解】令，，，所以在上單調(diào)遞增；，即令，，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取的最大值為，即，即證，實(shí)數(shù)的最小值為．【點(diǎn)睛】解決此類問(wèn)題運(yùn)用同構(gòu)原理，根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式及單調(diào)性，再結(jié)合解決函數(shù)橫成立的問(wèn)題的方法即可.15．證明見解析分析：利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，使等式兩邊達(dá)