高中數(shù)學選擇性必修一課件：2 3 2 兩點間的距離公式(人教版)

2.3.2兩點間的距離公式第二章

§2.3直線的交點坐標與距離公式1.掌握兩點間的距離公式并會應用.2.會用坐標法證明簡單的平面幾何問題.學習目標在一條筆直的公路同側(cè)有兩個大型小區(qū)，現(xiàn)在計劃在公路上某處建一個公交站點C，以方便居住在兩個小區(qū)住戶的出行.如何選址能使站點到兩個小區(qū)的距離之和最??？導語隨堂演練課時對點練一、兩點之間的距離公式二、坐標法的應用內(nèi)容索引一、兩點之間的距離公式問題1

在數(shù)軸上已知兩點A，B，如何求A，B兩點間的距離？提示|AB|＝|xA－xB|.問題2

已知平面內(nèi)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎樣求這兩點間的距離？提示(1)當P1P2與x軸平行時，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)當P1P2與y軸平行時，|P1P2|＝|y2－y1|；(3)當P1P2與坐標軸不平行時，如圖，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，1.點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式

.知識梳理注意點：(1)此公式與兩點的先后順序無關(guān).注意點：(1)此公式與兩點的先后順序無關(guān).例1

已知△ABC的三個頂點A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，試判斷△ABC的形狀.∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形.反思感悟計算兩點間距離的方法(1)對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝(2)對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解.跟蹤訓練1

若點M到x軸和到點N(－4,2)的距離都等于10，則點M的坐標為________________.解析由點M到x軸的距離等于10可知，其縱坐標為±10.設(shè)點M的坐標為(xM，±10).(2,10)或(－10,10)解得xM＝－10或xM＝2，所以點M的坐標為(2,10)或(－10,10).跟蹤訓練1

若點M到x軸和到點N(－4,2)的距離都等于10，則點M的坐標為________________.解析由點M到x軸的距離等于10可知，其縱坐標為±10.設(shè)點M的坐標為(xM，±10).(2,10)或(－10,10)解得xM＝－10或xM＝2，所以點M的坐標為(2,10)或(－10,10).二、坐標法的應用例2

求證：三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半.證明如圖，以A為原點，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，其中D，E分別為邊AC和BC的中點.設(shè)A(0,0)，B(c，0)，C(m，n)，則|AB|＝|c|.即三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半.反思感悟(1)用解析法解題時，雖然平面圖形的幾何性質(zhì)不依賴于平面直角坐標系的建立，但不同的平面直角坐標系會使我們的計算有繁簡之分，因此在建立平面直角坐標系時必須“避繁就簡”.(2)利用坐標法解決平面幾何問題的常見步驟①建立坐標系，用坐標表示有關(guān)的量.②進行有關(guān)代數(shù)運算.③把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.跟蹤訓練2

已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD.求證：|AC|＝|BD|.證明如圖所示，建立平面直角坐標系，設(shè)A(0,0)，B(a，0)，C(b，c)，則點D的坐標是(a－b，c).故|AC|＝|BD|.1.知識清單：兩點間的距離公式.2.方法歸納：待定系數(shù)法、坐標法.3.常見誤區(qū)：已知距離求參數(shù)問題易漏解.課堂小結(jié)隨堂演練1.已知點(x，y)到原點的距離等于1，則實數(shù)x，y滿足的條件是√12342.已知M(2,1)，N(－1,5)，則|MN|等于√12343.直線y＝x上的兩點P，Q的橫坐標分別是1,5，則|PQ|等于√1234解析∵P(1,1)，Q(5,5)，4.已知△ABC的頂點坐標為A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，則BC邊上的中線長為______.1234解析BC的中點坐標為(0,1)，課時對點練√基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516解析由兩點間距離公式得2.已知△ABC的頂點A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，則△ABC的周長是√123456789101112131415163.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D為BC邊的中點，則線段AD的長是√123456789101112131415164.兩直線3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點A，B，則|AB|的值為√123456789101112131415165.(多選)對于

下列說法正確的是A.可看作點(x，0)與點(1,2)的距離B.可看作點(x，0)與點(－1，－2)的距離C.可看作點(x，0)與點(－1,2)的距離D.可看作點(x，－1)與點(－1,1)的距離√12345678910111213141516√√可看作點(x，0)與點(－1，－2)的距離，可看作點(x，0)與點(－1,2)的距離，可看作點(x，－1)與點(－1,1)的距離，故選項A不正確.6.已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，當|AB|取最小值時，實數(shù)a的值是√解析∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，123456789101112131415167.已知點A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，則a的值為________.1或－5解析由兩點間距離公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.123456789101112131415168.在x軸上找一點Q，使點Q與A(5,12)間的距離為13，則Q點的坐標為____________.(10,0)或(0,0)解析設(shè)Q(x0,0)，則有123456789101112131415169.已知直線ax＋2y－1＝0和x軸、y軸分別交于A，B兩點，且線段AB的中點到原點的距離為1234567891011121314151610.已知直線l1：2x＋y－6＝0和點A(1，－1)，過A點作直線l與已知直線l1相交于B點，且使|AB|＝5，求直線l的方程.12345678910111213141516解當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－1)，12345678910111213141516即3x＋4y＋1＝0.當過A點的直線的斜率不存在時，方程為x＝1.此時，與l1的交點為(1,4)，也滿足題意.綜上所述，直線l的方程為3x＋4y＋1＝0或x＝1.1234567891011121314151611.以點A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)為頂點的三角形是A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.以上都不是√12345678910111213141516綜合運用∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC為直角三角形.故選C.12.(多選)直線x＋y－1＝0上與點P(－2,3)的距離等于

的點的坐標是A.(－4,5) B.(－3,4) C.(－1,2) D.(0,1)√解析設(shè)所求點的坐標為(x0，y0)，有12345678910111213141516√13.設(shè)點A在x軸上，點B在y軸上，AB的中點是P(2，－1)，則|AB|＝_____.12345678910111213141516解析設(shè)A(a，0)，B(0，b)，解析以C為原點，AC，BC所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系(圖略)，設(shè)A(4a，0)，B(0,4b)，則D(2a，2b)，P(a，b)，所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，1234567891011121314151610√拓廣探究1234567891011121314151616.如圖所示，已知BD是△ABC的邊AC上的中線，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担C明：|AB|2＋|BC|2－

|AC|2＝2|BD|2.證明如圖所示，以AC所在的直線為x軸，點D為坐標原點，建立平面直角坐標系.設(shè)B(b，c)，C(a，0)，依題意得A(－a，0).12345678910111213141516＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，備用工具&資料√拓廣探究1234567891011121314151613.設(shè)點A在x軸上，點B在y軸上，AB的中點是P(2，－1)，則|AB|＝_____.12345678910111213141516解析設(shè)A(a，0)，B(0，