《第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式》同步練習(xí)及答案解析

《第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式》同步練習(xí)

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

【題組一不等式性質(zhì)】

1.若a、b、c為實數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若a>6,則公;2>4/B.若則儲>。人>人2

11

-<-

C.a<h<QfQhD.若acbcO,則一

ah

2.下列結(jié)論正確的是（）

A.若a>b,則B.若a2vb2,則a<b

ba

C.若a>b,則。-d>b-cD.若a>b,則Q/AOC?

3.若a>Z?>O,cvdvO,則一定有()

ababab

A.—>—B.—<—C.—>-

cdccldc

4.已知&b,cGR,則下列命題正確的是()

°ab,a>b11a>h11

A.a>b=^ac2>bcB.—>—=>?>/?C.>=>->-D>=>—>—

ccah<0)abab>0]ab

5.對于實數(shù)判斷下列命題的真假.

(1)若a>b,則QC<.

(2)若ac1>be1，則a>。.

(3)若。<人<0,JU!]a2>ab>b2?

(4)若a<b<0,則|。|>|。|.

(5)若c>a>/?>0,貝ija>b,

c—ac-b

(6)若,則a>0,〃〈0.

ab

【題組二比較大小】

1.比較下列各組中兩個代數(shù)式的大小:

(1)3工2—x+1與212+1-1；

（2）當(dāng)。>0,。>0且球。時，a?b與a%".

2.已知a,6均為正實數(shù)，試?yán)米鞑罘ū容^/+尸與“從的大小.

3.己知x<l,比較丁-i與2f—2%的大小.

【題組三代數(shù)式的取值范圍】

1.已知x-2y=6,x-3y=4,則/一5孫+6y?的值為.

2.已知lWa-/?W2,2<a+b<4>則4。-2〃的取值范圍是（）

A.[3,12]B.[5,10]

C.[6,12]D.[3,10]

3.設(shè)且1是一元二次方程0?+法+c=0的一個實根，則￡的取值范圍為（）

a

A.[-2,0]B.--,0C.-2,-《D.—1,——

L2」L2j|_2J

【題組四不等式的證明】

1.證明不等式才+爐》2數(shù)（a,

1/1

2.已知xel,yel,證明：x+yH<—I-1-xy

xyxy

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)答案解析

【題組一不等式性質(zhì)】

1.若“、b、。為實數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.若a>6,則“<?->/?(?B.若a<b<。,則a->ab>Zr

11

-<-D.若a<8<0,則2>g

Q

ab

【答案】B

【解析】對于A選項，若c=0,則4C2=根2,故A不成立；

對于B選項，Qa<h<0>在不等式a<Z?同時乘以,得a?>而，

另一方面在不等式a<b兩邊同時乘以人，得必〉從，故B成立;

對于選項C,在。兩邊同時除以可得一<一，所以C不成立；

ba

對于選項D,令。=一2,b=-l,則有q=2=2,-=所以D不成立.

b-1a2ab

故選B.

2.下列結(jié)論正確的是（）

A.若a>。，則B.若/<〃，貝|］。<力

ba

C.若a>b,c>d則a-d>Z?-cD.若a>b,則ac?〉兒?

【答案】C

【解析】對于A,取a=l力=-1時，則A錯誤；

ba

對于B,取a=0,/?=-1時，a>b,則B錯誤；

對于C,因為a>。,—d>—c,所以由不等式的性質(zhì)可知a-d>Z?-c,則C正確;

對于D,取c=0時，a*=b/,則D錯誤;

故選：C

3.若a>Z?>0,c<"<0,則一定有（）

abab

A.—>—B.—<—

cdcd

【答案】D

【解析】本題主要考查不等關(guān)系.已知a>匕>0,c<d<0,所以一,>—J.〉。，所以

dc

abuab

—>—,故二<一.故選。

dcdc

4.已知a,b,cRR,則F列命題正確的是（）

a>b11a>b11

A.a>b=>ac>b（?B.—>—=>a>bC.?=>—>—D.>=>—>—

ccab<0\abab>0ah

【答案】C

【解析】當(dāng)c=0時，/不成立；

當(dāng)&0時，5不成立；

a>b]11h-a11

當(dāng),八時，——T=-->0,即一>7，所以C成立.

ab<0ababab

a>b]11b-a11

當(dāng)，八卜時，=f<0,即上<上，所以D不成立.

ab>0]ababab

故選：C

5.對于實數(shù)。力,c,判斷下列命題的真假.

（1）若a>b,則QC<Z?c.

（2）若QC?Abe?，則。>〃.

（3）若4<。<0，則

（4）若avbvO,則1。1>1勿.

（5）若貝ij0>b.

c-ac-b

（6）若a>b,—>—,則4>0,b<0.

ah

【答案】（1）假命題；（2）真命題；（3）真命題；（4）真命題；（5）真命題；（6）真命題.

【解析】（1）由于。的符號未知，因而不能判斷成與人。的大小，故該命題是假命題.

（2）-.-ac2>he2,/.c2>0,.\a>b,故該命題為真命題.

acb,\ci<b.

（3）:a1>ab?又<7_/.ab>b1：.a2>ab>b2-

a<0,[Z?<0,

故該命題為真命題.

（4）vbvO,「?<<O,bvO,.,?同=—°,網(wǎng)=—A,

又???〃（伍?,.一。）一".二問>網(wǎng)，故該命題為真命題.

（5）-：c>a>h>G,:.0<c-a<c-h,

二」一>」一，.?.，一〉一2一.故該命題為真命題.

c-ac-bc-ac-b

（6）由已知條件，得人一。<0,---->0,

ab

b—Q

---->0,ab<0.又a>b,:.a>0,b<0.

ab

故該命題為真命題.

【題組二比較大小】

1.比較下列各組中兩個代數(shù)式的大?。?/p>

(1)3x2-x+1與2^2+x-l；

（2）當(dāng)。＞0,匕＞0且出萬時，優(yōu)〃與〃為”.

22ahba

【答案】⑴3X-X+\>2X+X-\；(2)ab>ab.

【解析】(1)'/(Sx2-x+l)-(2x2+x-l)=x2-2x+2=(j;-l)2+1>0,

因此，3X2-X+1>2X2+X-1;

①當(dāng)a>〃>0時，即a—b>0,—>1時，->-=1，aabh>ahba；

b㈤［bj

/\a-bz\0

②當(dāng)。>a>0時，即a—b<0,0<@<l時，->-=1，,-.aabb>ahba-

b{b)⑴

綜上所述，當(dāng)a>0,b>03.a'b時，aabh>ahba.

2.已知a,6均為正實數(shù)，試?yán)米鞑罘ū容^/+獷與+的大小.

【答案】+/>+加

［解析］,**cc+b，-(crb+ab?)=(a"-ct~bj4-(。，一cib~j

=/(a—/7)+/(。-a)=(a一勿一片)=(a—b)2(a+b).

又2。均為正實數(shù)，

當(dāng)a=b時，a-b=0,a^=a2b4-ab2；

當(dāng)a】b時，(a-b)2>0,a+b>0,

則/+/>。2》+必2.

綜上所述，a3+b，>a2b+加.

3.己知x<l,比較d_i與2f_21的大小.

【答案】x3-1<2x2—2x

【解析】d-1-(212_2x)=J_2x~+2x_1

=(j?—%2)_(%2-2x+])

-x2(%—1)—(%—l)2

x<l,x-1<0,

【題組三代數(shù)式的取值范圍】

1.己知x-2y=6,x-3y=4,則f-5盯+6丁的值為.

【答案】24

【解析】由題得》2一5砂+6y2=(x—2y)(x-3y)=6x4=24.故答案為：24

2.已知1W。一2<a+b<4,則4a—2力的取值范圍是()

A.[3,12]B.[5,10]

C.[6,12]D.[3,10]

【答案】B

x+y=4

【解析】令4a-2b=x(a-b)+y(a+b),即《"，解得：x=3,y=l,即4a-

[-x+y=-2

2b=3(a-b)+(a+b).

?.TWa-bW2,2Wa+bW4,；.3W3(a-b)W6,；.5W(a-b)+3(a+b)W10

故選：B.

3.設(shè)且1是一元二次方程依2+從c+c=O的一個實根，則上的取值范圍為()

a

A.[-2,0]B.--,0C.f-2,-^1D.-1,--

2L2j2

【答案】C

【解析】又因為1是一元二次方程水2+/+C=0的一個實根，

所以有。+力+。=0,且QZZ?2C,所以a>O,c<。，

所以￡<0,所以排除A、B兩項，

a

當(dāng)〃>0時，c=—(a+b),所以向v|d42|a|，此時一24(<一1,

當(dāng)力=0時，c=-a,止匕時￡=一1,

a

1ci

當(dāng)b<0時，c=-(a+Z?),所以5144cl<同，此時-1<一4一5，

c1

所以一e-2,--,故選C.

aL2_

【題組四不等式的證明】

1.證明不等式才+4>2a6(a,6G心.

【答案】證明見詳解.

【解析】???。2+〃一2次?=(4一/?)2之。，.Q2+/N2ab，當(dāng)且僅當(dāng)〃=b時，等號成立.

111

2.已知y2L證明：x+y_J-<--\---Fxy

xyxy

【證明】

1111‘八一

(一+—+孫)一。+yH)=——[(x+y+xy)—(彳y+盯+1)]

xyxyxy

11

=—[x9-y?-l+x+y—xy(x+y)]=—[(孫+1)(孫一1)一(xy-l)(x+y)]

xyxy

=-(Ay+1-x-y)(xy-1)=—(x-l)(y-l)(xy-1)

xyxy

因為xel,所以x—120,y—1^0,所以一(x—l)(y—l)(xy—1)^0

孫

111、111

故(一+一+孫)-(x+y+—)20,所以％+y+—4一+―+孫

xyxyxyxy

2.2基本不等式

【題組一公式直接運用】

4

1.已知x<3,求/(x)=——+x的最大值.

x—3

2.已知。>0,h>0yab=l,且〃2=〃+,,n=a+-,則加+力的最小值是()

ab

A.3B.4C.5D.6

4.若Q+/?WO,貝~的最小值為_____.

[a+b)

12

5.(1)已知%>0,求〃x)=1+3x的最小值；

4

(2)已知x<3,求〃x)=----+x的最大值.

%—3

(%+1)(2>'+1)

6.設(shè)x>0,y>0,x+2y=5,則~---/=---1的最小值為_

g

【題組二條件型】

1.若。>0,8>0,且a+b=l,則L+_1的最小值為()

ab

A.2B.3C.4D.5

21

2.正實數(shù)蒼了滿足：2x+y=l,則一+一的最小值為___.

xy

3.已知不等式。+血刃&+：)29對任意正實數(shù)筋y恒成立，則正實數(shù)而的最小值是()

xy

A.2B.4C.6D.8

11Q

4.已知。>0,b>0f且。〃=1,則一+—+——的最小值為—

2a2ba+b

5.設(shè)勿，〃為正數(shù)，且加+〃=2,則一--+"+3的最小值為________.

m+l〃+2

【題組三配湊型】

5X?_Ay_1_5

1.已知X》一，則f(X)=-~~山2有()

22x-4

A.最小值1B.最大值。

4

C.最小值2D.最大值1

2.已知X〉O，y>-l,且x+y=l,則X=+_2_最小值為__________.

xy+1

3.函數(shù)/（x）==4/3的值域為.

4.函數(shù)“x）=.；T~4（x>1）的最小值為.

【題組四換元法】

1.若實數(shù)乂y滿足外>（）,則=的最大值為（）

z&,ttJ期

A.2-72B.2+>/2C.4+20D.4-272

2.已知x、V為正實數(shù)，滿足4x+y+2_xy=7,則2x+y的最小值為:

3.若正實數(shù)X,y滿足V+2孫一1=0,則x+2y的最小值為.

【題組五求參數(shù)】

（1]、

1.設(shè)x,yeR+,（x+y）-+-恒成立，則實數(shù)。的最大值為（）

（%y）

A.2B.4C.8D.16

21n

2.已知。>0,b>0若不等式一十-2-----恒成立，則拉的最大值為（）

fah2a+b

A.9B.12C.16D.20

21°

3.若兩個正實數(shù)X,y滿足一+—=1,且x+2y>機2+2加恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

（）

A.（―—2）U[4,H-oo）B.（—oo,-4）U[2,+oo）C.（—2,4）D.（—4,2）

2

4.已知關(guān)于x的不等式2x+——27在xe（a,北。）上恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）

x-a

53

A.1B.—C.2D.一

22

19

5.設(shè)。、b、。都是正實數(shù)，且。、滿足一+-=1,貝IJ使恒成立的c的范圍

ab

是（）

A.(0,8]B.(0,10]

C.(0,12]D.(0,16]

【題組六實際應(yīng)用題】

1.(1)用籬笆圍一個面積為100加2的矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最

短？最短籬笆的長度是多少？

(2)用一段長為36加的籬笆圍成一個矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，菜園的面

積最大？最大面積是多少？

2.為響應(yīng)國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2019年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的

k

年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用t(t20)萬元滿足x=4---(k為常

2f+1

數(shù)).如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定

投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為

每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分).

(1)將該廠家2019年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；

(2)該廠家2019年的年促銷費用投入多少萬元時廠家利潤最大？

3.某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為6400立方米，深度為4米.池底每平方米

的造價為120元，池壁每平方米的造價為100元.設(shè)池底長方形的長為x米.

(I)求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；

(II)怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低造價是多少？

4.用籬笆圍一個面積為lOOn?的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最

短，最短的籬笆是多少？

5.經(jīng)觀測，某公路段在某時段內(nèi)的車流量丁(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千米/小時)

之間有函數(shù)關(guān)系：y=,秋《＞0).

V2+3V+1600V'

(1)在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度n為多少時車流量y最大？最大車流量為多少？(精確

到0.01)

(2)為保證在該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍

內(nèi)？

2.2基本不等式答案解析

【題組一公式直接運用】

4

1.已知尤<3,求/（力=-+x的最大值.

【答案】-1

【解析】vx<3,則3-x>0,由基本不等式可得

4j^-+（3-x）+3<-2^j^--（3-x）+3=-l,

人J

4

當(dāng)且僅當(dāng)——=3-x時，即當(dāng)x=l時，等號成立，

3-x

4

因此，當(dāng)x<3時，求〃力=-+x的最大值為一1.

X-J

2.已知。>0,b>0,ah=\,且m=。+!，n=a-^--,則根+〃的最小值是（）

ab

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由=I知，m=b+L=2b,n=a+—=2a,/.m-\-n=2（a+b）>4\lab=4,

ab

當(dāng)且僅當(dāng)。=/?=1時取等號.故〃2+鹿的最小值為4故選：B

4.若a+匕H0,則的最小值為

【答案】V2

【解析】由題意‘小…十七…2^^=修,當(dāng)且僅當(dāng)

a=b時等號成立,

所以“+從++康224=0’當(dāng)且僅當(dāng)絲答

(a+b)2(a+b)2

時取等號，所以當(dāng)0=2^時，屋而取得最小值后.

5.(1)已知x>0,求/(%)=—+3x的最小值;

4

(2)己知1<3,求〃尤)=----+x的最大值.

x-3

【答案】(1)12；(2)-1.

【解析】(1)vx>0,

17fr?

(x)=—+3x>2J—?3x=12,

XVX

12

當(dāng)且僅當(dāng)一=3xnx=2時取等號；

x

所以“X)的最小值為12；

(2)?.?X<3=3—%>(),

"x)=-^-+x-3+3=-|-^-+3-x|+3<-2j-^--(3-x)+3=-l

x-3(3—x)\3-x,)

當(dāng)且僅當(dāng)J—=3—》=》=1時取等號，所以/(x)的最大值為—L

3-x

(x+l)(2y+l)

5,設(shè)x>0,y>0,x+2y=5,則-----7=——的最小值為

【答案】473

(x+l)(2y+1)_2孫+x+2y+l

【解析】而而

,/x>0,y>0,x+2y=5,孫>0,.」

2孫+6〉2-243y[xy

4G

而歷

當(dāng)且僅當(dāng)孫=3,即X=3,y=l時成立，故所求的最小值為4G.

【題組二條件型】

1.若。>0,匕>0,且“+人=1,則L+工的最小值為()

ah

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因為Q+Z?=1,所以一+：=（—+7~］（。+。）=—+7+2.

abyabJab

hn

因為〃>0,〃>0,所以—>0,->0.

ab

所以2+322」2￡=2,當(dāng)且僅當(dāng)2=即4=力=」時等號成立.

ab\abah2

所以,+工=2+色+2》2+2=4,即,+_L的最小值為4.

ababab

21

2.正實數(shù)陽了滿足：2x+y=l,則一+一的最小值為.

%y

【答案】9

【解析】-+-=f-+-\2x+y）=5+^+—>5+2fe.—>5+274=9,當(dāng)且

xy\xy

僅當(dāng)x=y=」時取等號.故答案為：9.

3

3.己知不等式（x+my）&+929對任意正實數(shù)萬，尸恒成立，則正實數(shù)m的最小值是（

xy

）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】不等式（％+my）（；+i）>9對任意的正實數(shù)人y恒成立，

xy

則:+?+1+皿29對任意的正實數(shù)x,y恒成立，

yx

又2+詈之+1+mN9，解得/五N2或/曲《一4（不合題意，舍去），

m>4,即正實數(shù)力的最小值是4.故選：B.

11Q

4.已知。>0,b>0,且次?=1,則一+丁+—的最小值為_________.

2a2ba+b

【答案】4

【解析】a>0,b>0,。。>0,cih=1,---1----1----------1----1-----

2a2ba+b2a2ba+b

=￡+^+8>/?+^x8=4（當(dāng)且僅當(dāng)a+匕=4時取等號，

2a+hv2a+h

結(jié)合a/?=l,解得a=2-百/=2+6，或a=2+石,6=2-百B寸，等號成立.

故答案為：4

5.設(shè)勿，刀為正數(shù)，且加+〃=2,則一--+“+的最小值為__________.

m+l〃+2

【答案】|9

【解析】令。=m+1,匕=〃+2,則。+方=5,且lva<3,2<Z?<4,

-1"+311?

又-----+-----=—+—+1,

m+1n+2ah

111z11\1r/b\14

f〃

而-+---+-■X-2+-+---

匕

〃

5〃1555

aka7ka7

當(dāng)且僅當(dāng)。=人=3時等號成立，

2

故——1+'幾一十3的最小值為9

m+1〃+25

9

故答案為：—.

【題組三配湊型】

5丫？一4YaS

1.已知X、一，則f(x)--_竺士?有()

22x-4

A.最小值1B.最大值2

4

C.最小值之D.最大值1

4

【答案】A

X2-4X+51、,（*一2）~+1_1

【解析】f(x)—X-------------——>—x2>/1=1?當(dāng)且

2x-42x-222

僅當(dāng)工一2=」一即％=3時等號成立

x—2

x2+3y2

2.已知工>0,y>-1,且％+y=l,則2--+——最小值為

xy+1

【答案】2+百

【解析】=fx+->|+fy-l+—\

xy+1IxjIy+\）

31

結(jié)合x+y=l可知原式=一+-----,

xy+\

口31(311x+(y+l)1F,3(y+l)X

xy+1(xy+1J22xy+1

=2+6

2yxy+l

當(dāng)且僅當(dāng)尤=3-君,)，=一2+百時等號成立.

2a2

即七匕+上二最小值為2+G.

xy+1

3.函數(shù)〃x)=x：4；+3的值域為

【答案】(F,16-6g]u[16+6g,問

【解析】設(shè)x-6=r,x=r+6,g(r)='+1&+=，+國十房，

tt

當(dāng)f>0時，g(z)>6>/7+16,

當(dāng)且僅當(dāng)r=3夕,x=3j7+6時等號成立；

同理當(dāng)，<0時，g?)4—6?+16,

當(dāng)且僅當(dāng)f=—3j7,x=—3j7+6時等號成立；

所以函數(shù)的值域為(F,16—6?]U[16+6J7,+ooj.

故答案為：卜oo,16-6g]u[16+6\/7,+oo).

4.函數(shù)/(x)=x-x+4(x>1)的最小值為.

X1

【答案】5

【解析】f(x)=x2x+4=(1)2+(1)+4+j+]

\)x-1x-\\7x-1

Qx>l,/.x-1>0,

4/44

??.（x—l）+——>2（x-1）----=4（當(dāng)且僅當(dāng)］一1=——，即x=3時取等號）,

x—1yx1x-1

：.Jf（\x]zmi.n=4+1=5.

故答案為：5.

【題組四換元法】

1.若實數(shù)x，y滿足封＞。，則~-罌—與~的最大值為（）

需也承扁由期

A.2-V2B.2+72C.4+2夜D.4-2拒

【答案】D

m-x+yx=2m-n

【解析】由實數(shù)x，y滿足外＞o,,設(shè)｛.，解得｛，

n=x+2yy=n-m

則上+且=網(wǎng)外+也也="（△+也）＜4-2心.也=4-2忘，當(dāng)且

x+yx+2ymnmn\mn

僅當(dāng)巴=2"，及〃=血加時等號成立，所以二#不三-的最大值為4一2夜,故選

mn般也般富*物

D.

2.已知X、＞為正實數(shù)，滿足4x+y+2^y=7,則2x+y的最小值為.

【答案】3

【解析】由4x+y+2;^=7可得出y=上”=之生=_一2,

2x+l2x4-12x+l

x＞0

7

由于％、y為正實數(shù)，則17-4%，可得0＜工＜一,

y=-----＞04

I2x+l

9Q一3川（22）.高-3=3'

2x+y=2尤H-------2=（2尤+1）4-----

2x+l'72x+l

9

當(dāng)且僅當(dāng)2x+l=----時，即當(dāng)％=1時，等號成立,

2x4-1

因此，2'+y的最小值為3.

故答案為：3.

3.若正實數(shù)X,y滿足丁+2孫一1=0,則x+2y的最小值為

【答案】百

,1-V2

【解析】由丁+2D一1=0可得x=T-

2》

尤+2y=『2y=(f+2y=(+|”20|Z=g

當(dāng)且僅當(dāng)),=立時，等號成立.

3

則x+2y的最小值為道

故答案為：>/3

【題組五求參數(shù)】

1.設(shè)x,yeR+,(x+y)('+L恒成立，則實數(shù)。的最大值為()

(xy)

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】由于(%+丁)［，+，］=2+2+222+24"工=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時等號

(x”>%\y

(11、

成立，而x,yeR',(x+y)-+—Na恒成立，故a?4,也即4的最大值為4.

\xy)

故選B.

21n

2.已知。>0,b>0若不等式—+2『二恒成立，則〃的最大值為()

tab2a+b

A.9B.12C.16D.20

【答案】A

【解析】因為a>0,b>0,所以2a+h>0,-+->—^—=>(2a+b)(-+-)>n,

ab2a+bab

(2a+/>)(-+-)=5+—+—>5+2,/—?—=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?EI寸，取等號)，要想

abba\ba

不等式2+?217恒成立，只需〃W9,即〃的最大值為9,故本題選A.

ab2a+b

21,,

3.若兩個正實數(shù)X，y滿足一+—=1,且x+2y>m2+2加恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

xy

()

A.(-<?,-2)U[4,+oo)B.(-oo,-4)U[2,+<?)c.(-2,4)D.(-4,2)

【答案】D

【解析】由基本不等式得x+2y=(x+2y)(2+，]="+2+4N2,叵士+4=8,

(x”xV\xy

4yx

當(dāng)且僅當(dāng)==一，由于x>0,y>0,即當(dāng)x=2y時，等號成立，

1y

所以，x+2y的最小值為8,由題意可得〃+2〃2V8，即加2+2m—8V0，

解得T<m<2,因此，實數(shù)用的取值范圍是(-4,2),故選D.

2

4.已知關(guān)于x的不等式2x+——27在％￡(a,Ko)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為()

x-a

53

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】D

2

[解析】設(shè)f(x)=2x+----，,：x>a,.\x-a>Q,

x-a

2_

2x+----27在xw(a,+8)上恒成立，需/(x)min>7,

x-a

22

f(x)=2x+----=2(x-a)+-----+2a22x2+2〃=4+2〃，

x-ax-a

當(dāng)且僅當(dāng)x-a=」一=l,即x=a+l時等號成立，

x-a

3

/.4+2a27,a2a.

故選：D.

19

5.設(shè)〃、b、c都是正實數(shù)，且〃、力滿足一+7=1,則使a+恒成立的。的范圍

ab

是()

A.(0,8]B.(0,10]

C.(0,12]D.(0,16]

【答案】D

19

【解析】力為正實數(shù)，一+:=1，

19

a+b-(a+b)—+—=10+-+—>10+2.

abab

bOzy

當(dāng)且僅當(dāng)2="，即。=4/=12時等號成立，

ab

：.(a+b)min=16,要使恒成立，

Vc為正實數(shù)，

A0<c<16.

故選：D.

【題組六實際應(yīng)用題】

1.(1)用籬笆圍一個面積為IO。，"的矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最

短？最短籬笆的長度是多少？

(2)用一段長為36加的籬笆圍成一個矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，菜園的面

積最大？最大面積是多少？

【答案】(1)當(dāng)這個矩形菜園是邊長為10〃?的正方形時，最短籬笆的長度為40加；(2)當(dāng)

這個矩形菜園是邊長為9加的正方形時，最大面積是81根2.

【解析】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為X”、ym,籬笆的長度為2(x+y)m.

⑴由已知得孫=100,由苫上之歷，可得x+y22而=20,所以2(x+y)10,

當(dāng)且僅當(dāng)％=^=10時，上式等號成立.

因此，當(dāng)這個矩形菜園是邊長為1()根的正方形時，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為4()加；

(2)由已知得2(x+y)=36,則x+y=18,矩形菜園的面積為xy/n?.

由士工=更=9,可得勻481,

22

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時，上式等號成立.

因此，當(dāng)這個矩形菜園是邊長為9加的正方形時，菜園的面積最大，最大面積是81〃，.

2.為響應(yīng)國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2019年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的

k

年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）X萬件與年促銷費用t（t2O）萬元滿足x=4----------（k為常

2r+l

數(shù)）.如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定

投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為

每件產(chǎn)品平均成本的L5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）.

（1）將該廠家2019年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù);

（2）該廠家2019年的年促銷費用投入多少萬元時廠家利潤最大？

1Q

【答案】（1）y=27----------（f20）；（2）2019年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家

2f+l''

利潤最大

k

【解析】（1）由題意有l(wèi)=4—j,得％=3

3

故x=4—

2/+1

?y=27-5「=27.5—[-y