2024新教材高中數(shù)學第五章三角函數(shù)5.1任意角和蝗制5.1.1任意角練習新人教A版必修第一冊

第五章三角函數(shù)5.1隨意角和弧度制5．1.1隨意角學問點一與隨意角有關的概念辨析1．把一條射線圍著端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是()A．120°B．－120°C．240°D．－240°答案D解析由定義，知順時針方向旋轉(zhuǎn)240°即－240°.2．已知中學生一節(jié)課的上課時間一般是45分鐘，那么，經(jīng)過一節(jié)課，分針旋轉(zhuǎn)形成的角是()A．120°B．－120°C．270°D．－270°答案D解析分針旋轉(zhuǎn)形成的角是負角，故所求分針旋轉(zhuǎn)形成的角是(－360°)×eq\f(45,60)＝－270°.3．射線OA繞端點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°到達OB位置，由OB位置繞端點O旋轉(zhuǎn)到達OC位置，得∠AOC＝－150°，則射線OB旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為()A．逆時針，270°B．順時針，270°C．逆時針，30°D．順時針，30°答案B解析由題意可知，∠AOB＝120°，設∠BOC＝θ，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，故須要射線OB繞端點O順時針旋轉(zhuǎn)270°.學問點二終邊相同的角與象限角4．與1303°終邊相同的角是()A．763°B．493°C．－137°D．－47°答案C解析因為1303°＝4×360°－137°，所以與1303°終邊相同的角是－137°.5．若α＝－60°，則α是()A．第一象限的角B．其次象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角答案D解析因為α＝－60°＝－1×360°＋300°，故α是第四象限的角．6．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的終邊都在()A．x軸正半軸上B．y軸正半軸上C．x軸或y軸上D．x軸正半軸或y軸正半軸上答案C解析集合M表示終邊在坐標軸上的角，故選C.7．(多選)下列各對角中，終邊相同的是()A．270°和k·360°－270°(k∈Z)B．72°和792°C．－140°和220°D．1200°和2440°答案BC解析若兩角的終邊相同，則兩角需相差k·360°(k∈Z)，閱歷證，792°＝2×360°＋72°，220°＝360°＋(－140°)，故選BC.8．已知角α的終邊過點P((－2)－1，log2sin30°)，則角α是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角答案C解析∵(－2)－1＝－eq\f(1,2)，log2sin30°＝log2eq\f(1,2)＝－1，∴點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))，∴點P在第三象限，∴角α是第三象限角．9．－2024°是第________象限角．答案二解析－2024°＝－6×360°＋140°，140°是其次象限角，所以－2024°為其次象限角．10．下列說法中，正確的是________(填序號)．①終邊落在第一象限的角為銳角；②銳角是第一象限的角；③小于90°的角肯定為銳角；④角α與－α的終邊關于x軸對稱．答案②④解析終邊落在第一象限的角不肯定是銳角，如400°的角是第一象限的角，但不是銳角，故①說法錯誤；小于90°的角不肯定為銳角，比如負角，故③說法錯誤，②④明顯正確．11．寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合．解解法一：終邊在y＝eq\r(3)x(x>0)上的角的集合S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；終邊在y＝eq\r(3)x(x<0)上的角的集合S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合S＝S1∪S2＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋k·180°，k∈Z}．解法二：在0°～180°范圍內(nèi)，當終邊在y＝eq\r(3)x(x>0)上時，對應角為60°；旋轉(zhuǎn)180°后，終邊落在y＝eq\r(3)x(x<0)上；再旋轉(zhuǎn)180°，終邊回到y(tǒng)＝eq\r(3)x(x>0)上，故終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合S＝{α|α＝60°＋k·180°，k∈Z}．12．已知α是第三象限的角，則eq\f(α,3)是第幾象限的角？解解法一：∵α是第三象限的角，∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°(k∈Z)，∴k·120°＋60°<eq\f(α,3)<k·120°＋90°(k∈Z)．∴當k＝3m(m∈Z)時，eq\f(α,3)為第一象限的角；當k＝3m＋1(m∈Z)時，eq\f(α,3)為第三象限的角；當k＝3m＋2(m∈Z)時，eq\f(α,3)為第四象限的角．故eq\f(α,3)為第一或第三或第四象限的角．解法二：把各象限分為3等份，再從x軸的正方向的上方起按逆時針依次依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，一、二、三、四，…，如圖，則標號為三的區(qū)域為eq\f(α,3)的終邊所在的區(qū)域．由圖可知，eq\f(α,3)是第一或第三或第四象限的角．13．在與角10030°終邊相同的角中，求滿意下列條件的角．(1)最大的負角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解(1)與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10030°<0°，得－10390°<k·360°<－10030°，解得k＝－28，故所求的最大負角為β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10030°<360°，得－10030°<k·360°<－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°.(3)由360°<k·360°＋10030°<720°，得－9670°<k·360°<－9310°，解得k＝－26，故所求的角為β＝670°.學問點三區(qū)域角的表示14.如圖，終邊落在陰影部分的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}答案C解析陰影部分的角從－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整數(shù)倍，即k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.15．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的終邊在圓中的位置(陰影部分)是()答案C解析當k＝2n，n∈Z時，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；當k＝2n＋1，n∈Z時，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故選C.16.如圖，終邊落在OA的位置上的角的集合是________；終邊落在OB的位置上，且在－360°～360°內(nèi)的角的集合是________；終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是________．答案{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}{315°，－45°}{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}解析終邊落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}．終邊落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}，取k＝0，－1得α＝315°，－45°.故終邊落在OB的位置上，且在－360°～360°內(nèi)的角的集合是{315°，－45°}．終邊落在陰影部分的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．17.已知，如圖所示．(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．解(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由圖可知，陰影部分角的集合是由全部介于[－30°，135°]之間的全部與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．18.如圖所示的圖形中，陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？解在0°～360°范圍內(nèi)，陰影部分(包括邊界)表示的范圍是150°≤α≤225°，則滿意條件的角α為{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．易錯點一以偏概全致錯若α是第一象限的角，則－eq\f(α,2)是()A．第一象限的角 B．第四象限的角C．其次或第三象限的角 D．其次或第四象限的角易錯分析利用α的特別情形解答本題時，易考慮不全面．如令α＝60°，則－eq\f(α,2)＝－30°，為第四象限的角，錯選B.答案D正解解法一：由題意知，k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，則k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°，所以－k·180°－45°<－eq\f(α,2)<－k·180°，k∈Z.當k為偶數(shù)時，－eq\f(α,2)為第四象限的角；當k為奇數(shù)時，－eq\f(α,2)為其次象限的角．解法二：由幾何法易知eq\f(α,2)為第一象限的角或第三象限的角，依據(jù)－eq\f(α,2)與eq\f(α,2)的終邊關于x軸對稱，知－eq\f(α,2)為第四象限的角或其次象限的角．易錯點二解角的終邊問題時忽視探討k致錯已知α是第一象限的角，β是其次象限的角，試確定eq\f(α＋β,2)角的終邊所在的位置．易錯分析本題易因忽視探討k值而得到如下錯解：由已知得k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，①90°＋k·360°<β<180°＋k·360°，k∈Z.②①＋②，得90°＋2k·360°<α＋β<270°＋2k·360°，k∈Z，∴45°＋k·360°<eq\f(α＋β,2)<135°＋k·360°，k∈Z.由上式知，eq\f(α＋β,2)角的終邊在第一象限或其次象限或y軸的正半軸上．正解由已知得k1·360°<α<90°＋k1·360°，k1∈Z，①90°＋k2·360°<β<180°＋k2·360°，k2∈Z.②①＋②，得90°＋(k1＋k2)·360°<α＋β<270°＋(k1＋k2)·360°，k1，k2∈Z，∴45°＋(k1＋k2)·180°<eq\f(α＋β,2)<135°＋(k1＋k2)·180°，k1，k2∈Z.當k1＋k2＝2m(m∈Z)時，45°＋m·360°<eq\f(α＋β,2)<135°＋m·360°，eq\f(α＋β,2)角的終邊在第一象限或其次象限或y軸的正半軸上；當k1＋k2＝2m＋1(m∈Z)時，225°＋m·360°<eq\f(α＋β,2)<315°＋m·360°，eq\f(α＋β,2)角的終邊在第三象限或第四象限或y軸的負半軸上．一、單項選擇題1．下列說法中，正確的是()A．其次象限的角都是鈍角B．其次象限角大于第一象限的角C．若角α與角β不相等，則α與β的終邊不行能重合D．若角α與角β的終邊在一條直線上，則α－β＝k·180°(k∈Z)答案D解析A錯誤，495°＝135°＋360°是其次象限的角，但不是鈍角；B錯誤，α＝135°是其次象限角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β；C錯誤，α＝360°，β＝720°，α≠β，但二者終邊重合；D正確，α與β的終邊在一條直線上，則二者的終邊重合或相差180°的整數(shù)倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．2．若角α的終邊經(jīng)過點M(0，－3)，則角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角答案D解析因為點M(0，－3)在y軸負半軸上，所以角α的終邊不在任何象限．3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，則A∩B＝()A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}答案C解析令k＝－1,0,1,2，則A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．若α是第四象限的角，則270°－α是()A．第一象限的角B．其次象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角答案D解析∵α是第四象限的角，∴－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z，則270°－k·360°<270°－α<360°－k·360°，k∈Z，故270°－α是第四象限的角．5．角α＝45°＋k·180°，k∈Z的終邊落在()A．第一或第三象限B．第一或其次象限C．其次或第四象限D(zhuǎn)．第三或第四象限答案A解析當k為偶數(shù)時，α的終邊在第一象限；當k為奇數(shù)時，α的終邊在第三象限，故選A.6．若角α與β的終邊關于x軸對稱，則有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈ZC．α＋β＝2k·180°，k∈ZD．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z答案C解析∵α與β的終邊關于x軸對稱，∴β＝2k·180°－α，k∈Z.∴α＋β＝2k·180°，k∈Z.故選C.7.如圖，α，β分別是終邊落在射線OA，OB位置上的兩個角，且α＝60°，β＝315°，則終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合為()A．{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋60°，k∈Z}B．{γ|k·360°－135°<γ<k·360°＋120°，k∈Z}C．{γ|k·180°－45°<γ<k·180°＋60°，k∈Z}D．{γ|k·180°＋45°<γ<k·180°＋135°，k∈Z}答案A解析因為－45°角是與β終邊相同的一個角，所以陰影部分(不包括邊界)所表示的角的集合為{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋60°，k∈Z}．8．已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A．第一象限角 B．第一或其次象限角C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角答案C解析因為角2α的終邊在x軸的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，則有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.故當k＝2n，n∈Z時，n·360°<α<n·360°＋90°，α為第一象限角；當k＝2n＋1，n∈Z時，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，α為第三象限角．故選C.二、多項選擇題9．關于角度，下列說法正確的是()A．時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角度是60°B．鈍角大于銳角C．三角形的內(nèi)角必是第一或其次象限角D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，則角α與角β終邊相同答案BD解析對于A，時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角是－60°，故錯誤；對于B，鈍角肯定大于銳角，明顯正確；對于C，若三角形的內(nèi)角為90°，是終邊在y軸正半軸上的角，故錯誤；對于D，兩個角的終邊相同，則兩個角相差360°的整數(shù)倍，故正確，故選BD.10．已知α是第三象限角，則eq\f(α,2)可能是()A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角答案BD解析因為α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，所以k·180°＋90°<eq\f(α,2)<k·180°＋135°，k∈Z.當k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)是其次象限角；當k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)是第四象限角，故選BD.11．下列四個選項正確的是()A．－75°角是第四象限角 B．225°角是第三象限角C．475°角是其次象限角 D．－315°角是第一象限角答案ABCD解析對于A，如圖1所示，－75°角是第四象限角；對于B，如圖2所示，225°角是第三象限角；對于C，如圖3所示，475°角是其次象限角；對于D，如圖4所示，－315°角是第一象限角．故選ABCD.12．若角α的終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合為()A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋135°，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝k·180°＋135°，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝k·180°－45°，k∈Z))))答案CD解析直線y＝－x過原點，它是其次、四象限角的平分線所在的直線，故在0°～360°范圍內(nèi)終邊在直線y＝－x上的角有兩個：135°，315°.因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}．或者表示為S＝{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．故選CD.三、填空題13．－378°是第________象限角．答案四解析－378°＝－360°－18°，因為－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．14．50°角的始邊與x軸的非負半軸重合，把其終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)3周，所得的角是________．答案－1030°解析順時針方向旋轉(zhuǎn)3周轉(zhuǎn)了－(3×360°)＝－1080°，又50°＋(－1080°)＝－1030°，故所得的角為－1030°.15．若角θ的終邊與60°角的終邊相同，則在0°～360°內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角為________．答案20°，140°，260°解析由題意設θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，則eq\f(θ,3)＝20°＋k·120°(k∈Z)，則當k＝0,1,2時，eq\f(θ,3)＝20°，140°，260°.16．已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}，則A∩B＝________，A∪B＝________.答案{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z}解析集合A，集合B表示的角的區(qū)域如圖所示，則A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270°，k∈Z}．四、解答題17．在一晝夜中，鐘表的時針和分針有幾次重合？幾次形成直角？時針、分針和秒針何時重合？請寫出理由．解時針每分鐘走0.5°，分針每分鐘走6°，秒針每分鐘走360°，本題為追及問題．(1)一晝夜有24×60＝1440(分鐘)，時針和分針每重合一次間隔的時間為eq\f(360,6－0.5)分鐘，所以一晝夜時針和分針重合的次數(shù)為eq\f(1440,\f(360,6－0.5))＝22.(2)假設時針不動，分針轉(zhuǎn)一圈與時針兩次形成直角，但一晝夜時針轉(zhuǎn)了兩圈，則少了4次垂直，于是一晝夜時針和分針形成直角的次數(shù)為24×2－4＝44.(3)秒針與分針每重合一次間隔的時間為eq\f(360,360－6)分鐘，由于eq\f(360,360－6)與eq\f(360,6－0.5)的“最小公倍數(shù)”為720，而720分鐘＝12小時，所