北師大版 八年級(jí)數(shù)學(xué) 分式方程的解法及應(yīng)用

至分式后程的解茫及應(yīng)用＞

會(huì)課前刪試

【題目】課前測(cè)試

方程二|=擊的解為()

x-3x+1

A.x=-lB.x=lC.x=2D.x=3

【答案】B

【解析】方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.

方程的兩邊同乘(x-3)(x+1)得

(x-2)(x+1)=x(x-3),

解得：x=l.

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是原分式方程的解.

故選：B.

總結(jié)：此題考查了分式方程的解法.此題I：匕較簡(jiǎn)單，注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意解分式

方程一定要驗(yàn)根.

【難度】3

【題目】課前測(cè)試

某工廠計(jì)劃生產(chǎn)1500個(gè)零件，但是在實(shí)際生產(chǎn)時(shí).....求實(shí)際每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)，在

這個(gè)題目中，若設(shè)實(shí)際每天生產(chǎn)零件x個(gè)，可得方程粵?里上=10，則題目中用"……"

表示的條件應(yīng)是（）

A.每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)5個(gè)，結(jié)果延期10天完成

B.每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)5個(gè)，結(jié)果提前10天完成

C.每天比原計(jì)劃少生產(chǎn)5個(gè)，結(jié)果延期10天完成

D.每天比原計(jì)劃少生產(chǎn)5個(gè)，結(jié)果提前10天完成

【答案】B

【解析】設(shè)實(shí)際每天生產(chǎn)零件x個(gè)，則原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件（x-5）個(gè)，

那么原計(jì)劃比實(shí)際少5個(gè).

15<^500_=10，代表的是原計(jì)劃生產(chǎn)天數(shù)比實(shí)際生產(chǎn)天數(shù)多io天，

x-5x

所以實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)5個(gè)，實(shí)際提前10天完成.

故選：B.

總結(jié)：本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù),

找出合適的等量關(guān)系，列方程即可.

【難度】3

翳而衣定心

適用范圍北師大版，初二年級(jí)，成績(jī)中等以及中等偏上

知識(shí)點(diǎn)概述：分式方程是“數(shù)與代數(shù)"中重要的一部分，解決問題過程中需用到建模方法、

分式的基本性質(zhì)、等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，使原有知識(shí)在解決問題過程中得以升華，同

時(shí)列分式方程這一建模過程為初三學(xué)習(xí)較難的一元二次方程、二次函數(shù)的列、解提供了練兵

的機(jī)會(huì)，知識(shí)體系上呈現(xiàn)螺旋式的上升，分式方程在其中具有承上啟下的作用.

適用對(duì)象：成績(jī)中等以及中等偏上

注意事項(xiàng):大部分學(xué)生試聽這個(gè)內(nèi)容主要想聽分式方程的解法及列分式方程解應(yīng)用題.

重點(diǎn)選講：

r*■MB??MM??OiM??MB?-MM―WQ

①分式方程的解法

i...

②分式方程的增根

*

③分式方程的應(yīng)用

如出楮,鋰

您如出嫌拽I:分式右冠由解注

解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘最簡(jiǎn)

公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，

此時(shí)分式無意義，a不是分式方程的解，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.

解分式方程的一般步驟：

一化二解三檢驗(yàn)

分式方程I蠹量乘”整當(dāng)史置I

最簡(jiǎn)公分母

解整式方程

I，溟分式方程的解|.歌鐐?強(qiáng)鬻分.曰電垂

如坦精鋰2：分式自理由理想

一：曾〕吏得原分式方程的分母為零的根，我們稱之為原方程的增根.

增根是如何產(chǎn)生的？

容我三思..........

我們?cè)?，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程

的時(shí)候，在方程的兩邊同乘了一個(gè)使分母為

零的整式！對(duì)于整式方程來說，求出的根成

立，而對(duì)于原分式方程來說，分式無意義，

、所以這個(gè)根是原分式方程的增根./人,

◎如詛幡(捶3：分式右程的應(yīng)用

列方程解應(yīng)用題的一般步驟：

設(shè)、歹！k解、驗(yàn)、答

分式方程應(yīng)用題的常見類型：

骸的表藉第

【題目】1型1：分式方程的解;

2x+2x+2x2-2

解分式方程：

xX-2"X2-2X

【答案】x=-1

【解析】解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論.依

此即可求解.

2x+2x+2_X、-2

xx-2-X2-2X'

去分母，得(2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2,

去括號(hào)，得-4x=2,

解得x=-2,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原分式方程的解.

總結(jié)：考查了解分式方程，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的

分母為0,所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn).

【難度】3

【題目】題型1變式練習(xí)1:分式方程的解方

方程1十?的解為()

2xx+3

3

A.X=-1B.x=0C.x=—D.x=l

5

【答案】D

【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到

分式方程的解.

去分母得：x+3=4x,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是分式方程的解，

故選：D.

總結(jié)：此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

【難度】2

題型1變式練習(xí)2:分式方程的解法

236

解分式方程x+i+x-i卞1，分以下四步，其中，錯(cuò)誤的一步是()

A.方程兩邊分式的最簡(jiǎn)公分母是(x-1)(x+1)

B.方程兩邊都乘(x-1)(x+1)，得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解這個(gè)整式方程，得x=l

D.原方程的解為x=l

【答案】D

【解析】

分式方程的最簡(jiǎn)公分母為(x-1)(x+1),

方程兩邊乘以(X-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是增根，分式方程無解.

故選：D.

總結(jié)：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"轉(zhuǎn)化思想"，把分式方程轉(zhuǎn)化為

整式方程求解.解分式方程一定注意要驗(yàn)根，使分母為0的根不是分式方程的解.

【難度】3

【題目】展

型1變式練習(xí)3:分式方程的解;

解方程：

(2)-o------"I--------2~~~2~?

x2+3x3x-x'x'-9

【答案】

(l)x=-4;

(2)x=-l.

【解析】各分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得

到分式方程的解.

(1)去分母得：1-x-(x+3)=-(x-2),

去括號(hào)得：l-x-x-3=-x+2,

解得：x=-4,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-4是分式方程的解；

(2)最簡(jiǎn)公分母為：x(x+3)(x-3),

去分母得:2(x-3)-3(3+x)=14x,

去括號(hào)得：2x-6-3x-9=14x,

解得：x=-l,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-l是分式方程的解.

總結(jié)此題考查了解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想注意兩邊乘上最簡(jiǎn)公分母時(shí)要套上括號(hào)，

解分式方程注意要檢驗(yàn).

【難度】3

【題目】題型2:分式方程的增根

x+1k

若分式方程有增根，則增根可能是()

xJ.xT

A.1B.-1C.1或-1D.0

【答案】C

【解析】

?.?原方程有增根，

..最簡(jiǎn)公分母(x+1)(x-1)=0,

解得x=-l或1,

，增根可能是：士1.

故選：C.

總結(jié)：本題考查了分式方程的增根，熟記分式方程中增根的定義是解題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)1:分式方程的增根

當(dāng)m=時(shí)，解分式方程反=￡匚會(huì)出現(xiàn)增根.

x-33-x

【答案】2

【解析】分式方程的增根是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的根，且使分式方程的分母為0的未知

數(shù)的值.

分式方程可化為：x-5=-m,

由分母可知，分式方程的增根是3,

當(dāng)x=3時(shí),3-5=-m,解得m=2,

故答案為：2.

總結(jié)：增根問題可按如下步驟進(jìn)行：

①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；

②化分式方程為整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)2:分式方程的增根

若關(guān)于X的分式方程不7r無解，則m=.

【答案】-4或6或1

【解析】

23

該分式方程■無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根；（2）原方程約

去分母后，整式方程無解.

言二去分母后，為2(x+2)+mx=3(x-2).

(1)x=-2為原方程的增根,BP2x(-2+2)-2m=3x(-2-2),

解得m=6;

(2)x=2為原方程的增根,§P2x(2+2)+2m=3x(2-2),

解得m=-4;

(3)2(x+2)+mx=3(x-2)化簡(jiǎn)得:(m-1)x=-10.

當(dāng)m=l時(shí)，整式方程無解.

綜上所述，當(dāng)m=-4或m=6或m=l時(shí)，原方程無解.

總結(jié)：分式方程無解，既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形，分

類討論是此題的難點(diǎn)，最后一種情況容易遺漏，需要強(qiáng)調(diào).

【難度】4

【題目】題型3:分式方程的應(yīng)用

某校組織學(xué)生去9km外的郊區(qū)游玩，一部分學(xué)生騎自行車先走，半小時(shí)后，其他學(xué)生乘公

共汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知公共汽車的速度是自行車速度的3倍，求自行車的速

度和公共汽車的速度分別是多少？

【答案】自行車的速度是12km/h,公共汽車的速度是36km/h.

【解析】

設(shè)自行車的速度為xkm/h,則公共汽車的速度為3xkm/h,根據(jù)時(shí)間=路程+速度結(jié)合乘

公共汽車比騎自行車少用*小時(shí)，即可得出關(guān)于x的分式方程，

99_1

VS7"7,

解得：x=12,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=12是原分式方程的解，

.-.3x=36.

答：自行車的速度是12km/h,公共汽車的速度是36km/h.

總結(jié)：本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)1:分式方程的應(yīng)用

劉阿姨到超市購買大米，第一次按原價(jià)購買，用了105元，幾天后，遇上這種大米8折出

售，她用140元又買了一些，兩次一共購買了40kg.這種大米的原價(jià)是多少？

【答案】這種大米的原價(jià)是每千克7元.

【解析】

設(shè)這種大米的原價(jià)是每千克x元，根據(jù)兩次一共購買了40kg列出方程，

105140

得/e----+7Tb=40,

x0.8x

解得：x=7.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=7是原方程的解.

答：這種大米的原價(jià)是每千克7元.

總結(jié)：本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)2:分式方程的應(yīng)用

某校利用暑假進(jìn)行田徑場(chǎng)的改造維修，項(xiàng)目承包單位派遣一號(hào)施工隊(duì)進(jìn)場(chǎng)施工，計(jì)劃用40

天時(shí)間完成整個(gè)工程：當(dāng)一號(hào)施工隊(duì)工作5天后，承包單位接到通知，有一大型活動(dòng)要在該

田徑場(chǎng)舉行，要求比原計(jì)劃提前14天完成整個(gè)工程，于是承包單位派遣二號(hào)與一號(hào)施工隊(duì)

共同完成剩余工程，結(jié)果按通知要求如期完成整個(gè)工程.

(1)若二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？

(2)若此項(xiàng)工程一號(hào)、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？

【答案】

(1)若二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工程需要60天；

(2)若由一、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工，完成整個(gè)工程需要24天.

【解析】

(1)設(shè)二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工需要x天，則一號(hào)施工隊(duì)的工作效率為《，二號(hào)施工隊(duì)的工

40

作效率為,，根據(jù)工作總量=工作時(shí)間x工作效率，一號(hào)施工隊(duì)完成的工作量+二號(hào)施工隊(duì)

X

完成的工作量=總工程(單位1),可得方程

40-1440-5-141

解得：x=60,

經(jīng)檢驗(yàn),x=60是原分式方程的解.

答：若由二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工期需要60天.

(2)根據(jù)工作時(shí)間=工作總量+工作效率，

可得出七十擊々4(天).

答：若由一、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工，完成整個(gè)工程需要24天.

總結(jié)：本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方

程；(2)根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計(jì)算.

【難度】4

【題目】題型3變式練習(xí)3:分式方程的應(yīng)用

為了改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，紅旗村計(jì)劃在荒坡上種樹960棵，由于青年志愿者支

援，實(shí)際每天種樹的棵數(shù)是原計(jì)劃的2倍，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，則原計(jì)劃每天種樹的

棵數(shù)是.

【答案】120棵

【解析】

設(shè)原計(jì)劃每天種樹x棵，由等量關(guān)系：原計(jì)劃所用天數(shù)-實(shí)際所用天數(shù)=4,可列方程：

960960.

丁一次二4,

解得：x=120,

經(jīng)檢驗(yàn):x=120是原分式方程的解.

總結(jié)：此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系.

【難度】3

【題目】興趣篇1

用換元法解分式方程：-^^=2.

XX-1

解：設(shè)"=m,則原方程可化為m-W=2;去分母整理得：m2-2m-3=0

XID

Y-1y—111

解得：mi=-l,m?=3即：----或--------=3;解得：或x=-不.

xx22

經(jīng)檢驗(yàn)：x=^1■或X=J是原方程的解.故原方程的解為：X11,X2=4.

請(qǐng)同學(xué)們借鑒上面換元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化簡(jiǎn)求值：

v4-99Y+9a-2./a+28a、

已知a是方程（半）2-空）-2=0的根，并求代數(shù)式%——）的值？

x-1x-1a1a/a-4

【答案展

【解析】

x+2

先仿照題例，設(shè)?二m,將原方程化為m2-m-2=0,然后解這個(gè)整式方程，再還元求得原

x-1

方程的解，另外要注意求代數(shù)式的值時(shí)，注意a的取值之合理性.

zx+2)7詈)30

x-1

工x+2

設(shè)=m,則原方程可化為

m2-m-2=0,

解這個(gè)整式方程得：

mi=2,m2=-l

解得：x=4或x=-J

經(jīng)檢驗(yàn)：x=4或x=-*是原方程的解.

故原方程的解為：xi=4,x2=-1.

因?yàn)閍是方程苦)2-普)-2=0的根,

X-1X-1

所以,a=4或a=-*

a~2.(a+2_8a、

_a-2.(a+2)-8a

2

a-la-4

9

_a-2.a，4a+4

a-l,a2_4

_a-2(a+2)(a-2)

a-l(a-2)2

a+2

a-l

貝IJ①當(dāng)=4時(shí)，原式=石=*=2;

aa-14-1

2+2

②當(dāng)a=-[時(shí)，原式=旦==——=-1

za-11,

2

即：所求代數(shù)式的值為2或-1

總結(jié)：此題是換元法解分式方程，換元法解分式方程是難點(diǎn)，關(guān)鍵是換元之后把方程化成整

式方程，要將所解整式方程的解還原回來，求出原分式方程的解，并要進(jìn)行驗(yàn)根.

【難度】4

【題目】興趣篇2

“互聯(lián)網(wǎng)+"已經(jīng)成為我們生活中不可或缺的一部分，例如0F0.摩拜等互聯(lián)網(wǎng)共享單車

就為城市短距離出行難提俱了解決方案，小明每天乘坐公交汽車上學(xué)，他家與公交站臺(tái)相距

1.2km，現(xiàn)在每天租用共享單車到公交站臺(tái)所花時(shí)間比過去步行少12min，已知小明騎自行

車的平均速度是步行平均速度的2.5倍，求小明步行的平均速度是多少km/h?

【答案】小明步行的平均速度是3.6km/h.

【解析】

設(shè)小明步行的平均速度是xkm/h,小明騎自行車的平均速度是2.5xkm/h,根據(jù)小明家與

公交站臺(tái)相距1.2km,現(xiàn)在每天租用共享單車到公交站臺(tái)所花時(shí)間比過去步行少12min,

可列方程

1.21.212

x2.5x60

解得:x=3.6,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=3.6是所列方程的解，且符合題意.

答：小明步行的平均速度是3.6km/h.

總結(jié)：本題考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵設(shè)出速度，以時(shí)間作為等量關(guān)系列方程求解.

【難度】3

【題目】選試題1

21

分式方程1~x7-士=1的解為()

(x+1)2x+1

2

A.x=lB.x=0C.x=-yD.x=-l

【答案】C

【解析】

首先找出分式的最簡(jiǎn)公分母，進(jìn)而去分母，再解分式方程即可.

去分母得：X2-(X+l)=(X+1)2,

整理得:-3x-2=0,

9

解得：X=-y,

9

檢驗(yàn)：當(dāng)X=4時(shí)，(X+l)2*0,

9

故X是原分式方程的根.

故選：c.

總結(jié)：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"轉(zhuǎn)化思想"，把分式方程