7.3 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（十六大題型）-蘇教版高一《數(shù)學》同步學與練

第第頁7．3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)課程標準學習目標（1）借助單位圓能畫出三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（小）值，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．（2）借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的性質(zhì)，正切函數(shù)在上的性質(zhì)，提升邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng)．（1）能根據(jù)正弦的定義，借助單位圓，在直角坐標系中作出圖象上任意一點，并且能利用這一點的作圖原理畫出整個圖象；（2）能利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)解析式的關(guān)系，得出其圖象之間的關(guān)系，通過平移正弦曲線得到余弦曲線；能通過幾何作圖與代數(shù)運算兩個角度得出三角函數(shù)的周期性與奇偶性；能根據(jù)圖象得到正、余弦函數(shù)的最值；會畫一些簡單三角函數(shù)的圖象并會求其簡單的性質(zhì)．知識點01周期函數(shù)函數(shù)，定義域為，當時，都有，其中是一個非零的常數(shù)，則是周期函數(shù)，是它的一個周期．知識點詮釋：1、定義是對中的每一個值來說的，只有個別的值滿足或只差個別的值不滿足都不能說是的一個周期．2、對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期．【即學即練1】（2023·廣東茂名·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，在中，，∴，故選：D.知識點02正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)1、正弦曲線（1）定義：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線．（2）圖象知識點詮釋：（1）由正弦曲線可以研究正弦函數(shù)的性質(zhì)．（2）運用數(shù)形結(jié)合的思想研究與正弦函數(shù)有關(guān)的問題，如，方程根的個數(shù)．2、正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點最大值點；最小值點對稱中心對稱軸知識點詮釋：（1）正弦函數(shù)的值域為，是指整個正弦函數(shù)或一個周期內(nèi)的正弦曲線，如果定義域不是全體實數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求正弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域．（2）求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，易錯點有二：一是單調(diào)區(qū)間容易求反，要注意增減區(qū)間的求法，如求的單調(diào)遞增區(qū)間時，應(yīng)先將變換為再求解，相當于求的單調(diào)遞減區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時，必須先求定義域．【即學即練2】（2023·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考階段練習）已知為偶函數(shù)，則（

）A． B．6 C． D．3【答案】D【解析】因為為偶函數(shù)，所以，解得，所以，．故選：D.知識點03正弦型函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)復合而成的復合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個“整體”，分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．（4）奇偶性：正弦型函數(shù)不一定具備奇偶性．對于函數(shù)，當時為奇函數(shù)，當時為偶函數(shù)．知識點詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點對稱”這一前提條件．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對稱軸和對稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當時，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對稱軸由解出，其對稱中心的橫坐標，即對稱中心為．【即學即練3】（2023·高一課時練習）函數(shù)圖象的一個對稱中心可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，由，得，，則不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故A錯誤；對于B，由，得，則不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故B錯誤；對于C，由，得，則不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故C錯誤；對于D，，得，，則是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故D正確.故選：D.知識點04余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)1、余弦曲線（1）定義：余弦函數(shù)的圖象分別叫做余弦曲線．（2）圖象知識點詮釋：（1）由余弦曲線可以研究余弦函數(shù)的性質(zhì)．（2）運用數(shù)形結(jié)合的思想研究與余弦函數(shù)有關(guān)的問題．2、余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點最大值點最小值點對稱中心對稱軸知識點詮釋：（1）余弦函數(shù)的值域為，是指整個余弦函數(shù)或一個周期內(nèi)的余弦曲線，如果定義域不是全體實數(shù)，那么余弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求余弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域．（2）求余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)先將變換為再求解，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時，必須先求定義域．【即學即練4】（2023·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，則是為奇函數(shù)的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】時，可得，定義域為R，此時，故為奇函數(shù)，故充分性成立，而當為奇函數(shù)時，得，故不一定為，故必要性不成立，是為奇函數(shù)的充分不必要條件.故選：B知識點05余弦型函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)可看作是由余弦函數(shù)復合而成的復合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個“整體”，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．（4）奇偶性：余弦型函數(shù)不一定具備奇偶性，對于函數(shù)，當時為偶函數(shù)，當時為奇函數(shù)．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對稱軸和對稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當時，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對稱軸由解出，其對稱中心的橫坐標，即對稱中心為．同理，的對稱軸由解出，對稱中心的橫坐標由解出．知識點詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點對稱”這一前提條件．若，則函數(shù)不一定有對稱軸和對稱中心．【即學即練5】（2023·新疆·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在、上都不單調(diào)，在上單調(diào)遞減，即選項BCD都不是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A是.故選：A知識點06正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、正切函數(shù)的圖像正切函數(shù)，且，圖象：2、正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當且無限接近于時，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當，無限減小，記作（趨向于負無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實數(shù)值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數(shù)的漸進線．（3）周期性：周期函數(shù)，最小正周期是（4）奇偶性：奇函數(shù)，即．（5）單調(diào)性：在開區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識點詮釋：（1）觀察正切函數(shù)的圖象還可得到：點是函數(shù)，，且的對稱中心，正切函數(shù)圖象沒有對稱軸（2）正切函數(shù)在開區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，不能說正切函數(shù)在整個定義域上是增函數(shù)．【即學即練6】（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（）的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】設(shè)的最小正周期為，由函數(shù)（）的圖象上相鄰兩個對稱中心之間的距離為，知，，又因為，所以，即，則．故選：B．知識點07正切型函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：將“”視為一個“整體”．令解得．2、值域：3、單調(diào)區(qū)間：（1）把“”視為一個“整體”；（2）時，函數(shù)單調(diào)性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：【即學即練7】（2023·高一課時練習）已知函數(shù)，則（

）A．增區(qū)間為，B．增區(qū)間為，C．減區(qū)間為，D．減區(qū)間為，【答案】C【解析】由解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：C.知識點08五點作圖法用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)，由z取來求出相應(yīng)的，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．【即學即練8】知識點09伸縮變換1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）．若則可用誘導公式將符號“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左（當時）或向右（當時）平行移動個單位長度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑知識點詮釋：一般地，函數(shù)，的圖象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把的圖象上所有的點向左（）或右（）平行移動個單位；（2）再把所得各點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）；（3）再把所得各點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍（橫坐標不變）．【即學即練9】（多選題）（2023·新疆阿克蘇·高一兵團第一師高級中學?？茧A段練習）函數(shù)的圖象向右平移個單位后與函數(shù)的圖象重合，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個周期為；B．的圖象關(guān)于對稱；C．是的一個零點；D．在單調(diào)遞減；【答案】ABC【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位后與函數(shù)的圖象重合，，的一個周期為，故A正確；的對稱軸滿足：，，當時，的圖象關(guān)于對稱，故B正確；由，得，是的一個零點，故C正確；當時，，在上單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：ABC題型一：含絕對值的三角函數(shù)例1．（2023·全國·高三專題練習）當時，作出下列函數(shù)的圖象，把這些圖象與的圖象進行比較，你能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？(1)；(2).【解析】（1），將的圖象在軸上方部分保持不變，下半部分作關(guān)于軸對稱的圖形，即可得到的圖象..（2），將的圖象在軸右邊部分保持不變，并將其作關(guān)于軸對稱的圖形，即可得到的圖象..例2．（2023·全國·高三專題練習）畫出函數(shù)的簡圖．【解析】，的圖象如下圖所示，例3．（2023·高一課時練習）作出函數(shù)，的大致圖像．【解析】函數(shù)，其圖如下所示：

變式1．（2023·全國·高一隨堂練習）請畫出函數(shù)的圖象，你能從圖中發(fā)現(xiàn)此函數(shù)具備哪些性質(zhì)？（可以借助信息技術(shù)畫圖）【解析】由題意，當時；當時，故可作圖：

由圖象可得，函數(shù)具有如下性質(zhì)：①定義域；②值域；③偶函數(shù)；④最小值正周期為；⑤在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；在上；⑥當時函數(shù)取最大值0，當時函數(shù)取最小值.變式2．（2023·全國·高三專題練習）作出函數(shù)的圖象【解析】，，作出函數(shù)圖象后，將軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，即為函數(shù)的圖象，如圖

【方法技巧與總結(jié)】分類討論解決絕對值問題題型二：解三角不等式問題例4．（2023·全國·高一隨堂練習）利用三角函數(shù)圖象，分別求出的取值范圍：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）作出正切函數(shù)在上的圖象，如圖：

由圖象可知，當時，.（2）作出余弦函數(shù)的圖象，如圖：

由圖象可知，當時，.（3）作出正弦函數(shù)的圖象，如圖：

由圖象可知，當時，或.例5．（2023·全國·高一隨堂練習）根據(jù)正切函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x值的集合：(1)；(2)．【解析】（1）不等式，化為，在同一平面直角坐標系中作出正切函數(shù)在上的圖象和直線，如圖：

顯然在上，滿足，由圖可知在上，使不等式成立的x的取值范圍是，所以使不等式成立的x的集合為.（2）不等式，化為，在同一平面直角坐標系中作出正切函數(shù)在上的圖象和直線，如圖：

顯然在上，滿足，由圖可知在上，使不等式成立的x的取值范圍是.所以使不等式成立的x的集合為.例6．（2023·全國·高一隨堂練習）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x的取值范圍：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）

即，當時，或，故由正弦函數(shù)的圖象可得解得.（2）即，當時，或，故解得（3）即，故當時，或，故，解得.（4）即，故當時，或，故，解得變式3．（2023·全國·高一隨堂練習）分別求出使下列各組條件成立的x的集合：(1)；(2)．【解析】（1）對于，考慮在區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)，得，所以的解集為，對于，考慮在區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)，得，所以的解集為，所以滿足的角的集合為上述兩個解集的交集，即.（2）對于，考慮在區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)，得，所以則滿足的角的集合是.【方法技巧與總結(jié)】用三角函數(shù)的圖象解（或）的方法（1）作出直線，作出（或）的圖象．（2）確定（或）的x值．（3）確定（或）的解集．題型三：識圖問題例7．（2023·四川成都·高三四川省成都列五中學校考階段練習）函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，，即函數(shù)為奇函數(shù)，故CD錯誤；由可知，C錯誤，A正確；故選：A例8．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）函數(shù)的部分圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】定義域為R.∵，∴為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，排除A、B；對于CD，令，解得：，即有三個零點，如圖示，取，有，∵，∴.排除C；故選：D例9．（2023·高一課時練習）函數(shù)的簡圖是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用余弦函數(shù)的圖象平移可得．把的圖象向上平移1個單位即可.故選：D變式4．（2023·四川廣元·高一廣元中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，則其部分大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】函數(shù)，定義域為R，，函數(shù)為奇函數(shù)，AC選項排除；當時，，D選項排除；故選：B變式5．（2023·湖南·高一專題練習）如圖所示，函數(shù)（且）的圖像是（

）.A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，作出函數(shù)圖象如下圖所示，

故選：C.變式6．（2023·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象的一部分如圖1所示，則圖2中的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】圖1的函數(shù)為，周期為.圖2的函數(shù)周期為，所以橫坐標縮短為原來的，函數(shù)解析式為.又由題可得圖2對應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，縱坐標均不改變，即可得到圖2對應(yīng)的圖象，所以圖2對應(yīng)的函數(shù)解析式為.故選：D.變式7．（2023·江西撫州·高一校聯(lián)考階段練習）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】當時，即，所以在區(qū)間上的圖象與的圖象相同，當時，即，所以在區(qū)間和上的圖象是的圖象關(guān)于軸的對稱圖形.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】利用排除法，從定義域、奇偶性、代數(shù)三個方面進行排除．題型四：三角函數(shù)的周期問題例10．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）若函數(shù)對，，有，且，，則（

）A．0 B．1 C． D．2022【答案】A【解析】令，得，則令，得，由，得，又，故.令，知，得.令得，即，故存在，使得，所以是周期函數(shù)，周期，所以，故選：A例11．（2023·江西九江·高一?？计谥校┖瘮?shù)的周期不可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當，時，函數(shù)，最小正周期為，故選項A可能；當，時，函數(shù)，最小正周期為，故選項B可能；當，時，函數(shù)，最小正周期為，故選項C可能；而對于選項D：，則若時，，令，所以與題設(shè)矛盾，故函數(shù)的最小正周期不可能是；故選：D.例12．（2023·四川綿陽·高一綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由余弦型函數(shù)周期性可知：的最小正周期.故選：B.變式8．（2023·高一單元測試）下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是（

）A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin D．y＝cos【答案】D【解析】A.y＝sinx的最小正周期為，故錯誤；B.y＝cosx的最小正周期為，故錯誤；C.y＝sin的最小正周期為，故錯誤；D.y＝cos，故正確；故選：D變式9．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測）若，（），則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】是周期為3的周期函數(shù)，，，，．故選：B．變式10．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）函數(shù)的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，①和②面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，由題意得，解得，故，得，即，的圖象過點，即，∵，則，

∴，解得．∴∴.故選：A變式11．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)的周期不大于2，則正整數(shù)k的最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】由題設(shè)，,又，正整數(shù)k的最小值為13.故選：D變式12．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰公共點之間的距離等于2，則對稱中心到對稱軸距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰公共點之間的距離等于2，可得函數(shù)的最小正周期為，則對稱中心到對稱軸距離的最小值為.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．（2）公式法，對形如或（，，是常數(shù)，，）的函數(shù)，（3）觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期．三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼猓?）一般地，函數(shù)的最小正周期為，常常利用此公式來求周期．題型五：三角函數(shù)的奇偶問題例13．（2023·高一課時練習）函數(shù)（

）A．是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)【答案】A【解析】由可知是奇函數(shù)．故選:A例14．（2023·北京豐臺·高一統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中，最小正周期是的奇函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的周期為，設(shè)，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，A正確；函數(shù)的周期為，設(shè)，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，B錯誤；函數(shù)的周期為，C錯誤；設(shè)，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，則，故函數(shù)的周期為，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，D錯誤；故選：A.例15．（2023·高一課時練習）使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)φ＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，∴使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)．故選：B變式13．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】由題知，，則則故選：B變式14．（2023·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習）已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，為奇函數(shù)，，，，.故選:C變式15．（2023·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）若為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】為奇函數(shù)，則，，故.故選：C.變式16．（2023·山東濟寧·高三?？计谥校┖瘮?shù)是偶函數(shù)，則a，b的值可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，，，因為函數(shù)是偶函數(shù)，，即，即，則有，分析選項，只有D選項滿足.故選：D變式17．（2023·陜西榆林·高一?？茧A段練習）若函數(shù)）是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)）是奇函數(shù)，所以，解得，所以的最小值為，故選：A變式18．（2023·高一課時練習）已知（其中為常數(shù)且），如果，則的值為（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】設(shè)，則，則函數(shù)是奇函數(shù)；，則函數(shù)是周期為的周期函數(shù)；由，可得，則，所以，則故選：B.【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）利用定義判斷一個函數(shù)的奇偶性，要考慮兩方面：①函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；②與的關(guān)系；（2）判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是：①定義法；②圖象法．題型六：三角函數(shù)的對稱問題例16．（2023·廣西南寧·高一?？茧A段練習）函數(shù)的一條對稱軸為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的對稱軸滿足，解得，令，則，故選：A.例17．（2023·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）下列是函數(shù)的對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，，所以，函數(shù)的對稱中心的是，.對于A項，由，可得，故A項錯誤；對于B項，由，可得，故B項錯誤；對于C項，由，可得，故C項錯誤；對于D項，由，可得，故D項正確.故選：D.例18．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對稱，則.【答案】/【解析】因為函數(shù)的最小正周期為，所以；又因為函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，可得，可得，且，所以，所以，所以．故答案為：.變式19．（2023·遼寧丹東·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足條件：的最小正周期為，且，則函數(shù)的解析式是.【答案】或【解析】由題意，則，又，即的圖象關(guān)于直線對稱，所以，則，當為偶數(shù)時，則，當為奇數(shù)時，則.故答案為：或.變式20．（2023·北京·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，則的值可以是．（寫出一個滿足條件的值即可）【答案】（答案不唯一）【解析】因為函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，所以，，解得，，所以的值可以是，，，，，（寫出一個即可）．故答案為：（答案不唯一）．變式21．（2023·北京昌平·高一北京市昌平區(qū)前鋒學校?？计谥校┲本€和是曲線的相鄰的兩條對稱軸，則【答案】2【解析】因為直線和是曲線的相鄰的兩條對稱軸，所以，得周期，所以，得，故答案為：2變式22．（2023·吉林長春·高一長春市實驗中學?？计谀┖瘮?shù)的圖象關(guān)于對稱，則的最小值為．【答案】/【解析】因為函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，所以，所以并且，所以，故答案為：變式23．（2023·高一課時練習）已知關(guān)于的函數(shù)（）的一條對稱軸是，則．【答案】【解析】函數(shù)，其對稱軸方程為，（）∵函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線，∴，即，（）∵，當時，可得．故答案為：．變式24．（2023·河南開封·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，那么的最小值為．【答案】【解析】的圖象關(guān)于點對稱，，即，令，可得的最小值為．故答案為：變式25．（2023·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則．【答案】/【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，又，所以．故答案為：變式26．（2023·高一課時練習）已知，若函數(shù)為奇函數(shù)，則最小正數(shù)m的值為.【答案】【解析】因為，若函數(shù)為奇函數(shù)，且正數(shù)m取到最小值，即把位于y軸右側(cè)的第一個對稱中心平移至坐標原點，令，解得，當時，則，即位于y軸右側(cè)的第一個對稱中心為，所以正數(shù)m取到最小值.故答案為：.變式27．（2023·河南·高一校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則的一個值可以是.【答案】（答案不唯一）【解析】因為的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，，則，.當時，故答案為：變式28．（2023·遼寧·高一遼寧實驗中學?？计谥校┤舻南噜弮蓚€對稱中心距離是，則正實數(shù)的值是.【答案】1【解析】由于的周期為,由于相鄰兩個對稱中心距離是,所以,則,故答案為：1【方法技巧與總結(jié)】（1）正弦曲線（余弦曲線）既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；（2）正弦曲線（余弦曲線）的對稱軸一定過正弦曲線（余弦曲線）的最高點或最低點，即此時的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲線（余弦曲線）的對稱中心一定是正弦曲線（余弦曲線）與軸的交點，即此時的正弦值（余弦值）為0．（4）正切曲線與軸的交點及其漸近線與軸的交點都是正切曲線的對稱中心，正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．題型七：三角函數(shù)的單調(diào)問題例19．（2023·上海奉賢·高一上海市奉賢中學?？计谥校┖瘮?shù)，的增區(qū)間為．【答案】（開閉均可）【解析】由，可得，令，解得，即函數(shù)在的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.（開閉均可）例20．（2023·全國·高三專題練習）在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】和【解析】，令得則的單調(diào)遞減區(qū)間為令,∴在上的單調(diào)遞減區(qū)間為和.故答案為：和.例21．（2023·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令,所以，當，由于，故D正確，ABC均錯誤，故選：D變式29．（2023·高一課時練習）下列各組函數(shù)中，在區(qū)間上都是增函數(shù)的為（

）.A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對于A中，函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)在間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，不符合題意；對于B中，函數(shù)和在區(qū)間均為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；對于C中，，函數(shù)在間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，不符合題意；對于D中，函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意；故選：B.變式30．（2023·上海長寧·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，以為最小正周期且在上是嚴格減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，的最小正周期為，而不在函數(shù)的定義域內(nèi)，所以A錯誤，對于B，的最小正周期為，當時，是嚴格減函數(shù)，所以B正確，對于C，的最小正周期為，而此函數(shù)在上是增函數(shù)，所以C錯誤，對于D，的最小正周期為，所以D錯誤，故選：B變式31．（2023·高一單元測試）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D.變式32．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三?？茧A段練習）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】設(shè)的最小正周期為，可知，即，且當時，取到最小值，由周期性可知：與最近的最大值點為，如圖所示，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：D.變式33．（2023·全國·高一隨堂練習）函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增的區(qū)間是，由，可得函數(shù)和都單調(diào)遞增的區(qū)間是.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】（1）用“基本函數(shù)法”求函數(shù)（，）或（，）的單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步：寫出基本函數(shù)（或）的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；第二步：將“”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（用不等式表示）中的“”；第三步：解關(guān)于的不等式．（2）對于形如的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，當時，可先用誘導公式轉(zhuǎn)化為，則的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．余弦函數(shù)的單調(diào)性討論同上．另外，值得注意的是這一條件不能省略．（3）求函數(shù)（，，都是常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間的方法若，由于在每一個單調(diào)區(qū)間上遞增，故可用“整體代換”的思想，令，，解得的范圍即可．若，可利用誘導公式先把的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的范圍即可．題型八：根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題例22．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習）已知函數(shù)，其中，，且恒成立，若在區(qū)間上恰有個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為恒成立，則，所以，，則，當時，，因為，則，因為在區(qū)間上恰有個零點，則，即，，解得，，假設(shè)不存在，則或，解得或，因為存在，則，因為，則.所以，，可得，故選：A.例23．（2023·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可知，解得，．因為函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，所以或解得或，即．故選：C.例24．（2023·全國·河南省實驗中學?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的周期為，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】已知，令，解得則函數(shù)對稱軸方程為函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，，解得，又由，且，得，故僅當時，滿足題意.故選：C.變式34．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在上恰有兩個零點，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：函數(shù)在上恰有兩個零點，，解得：①，又在上單調(diào)遞增，，解得：②，由①②式聯(lián)立可知的取值范圍是.故選：B變式35．（2023·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學校考期末）已知函數(shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.當時，由在區(qū)間上單調(diào)遞增可知，得；當時，由解得；當時，無實數(shù)解.易知，當或時不滿足題意.綜上，ω的取值范圍為.故選：D變式36．（2023·全國·高一課堂例題）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最大值點和一個最小值點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為在區(qū)間上恰有一個最大值點和一個最小值點，所以，所以．令，當時，，于是在區(qū)間上的最值點個數(shù)等價于在上的最值點個數(shù)．由知，，，因為在上恰有一個最大值點和一個最小值點，所以解得．答案：B.變式37．（2023·江西上饒·高一上饒市第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的簡圖如下：

函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，則，解之得.故選：C變式38．（2023·浙江·高三浙江省普陀中學校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個零點和3條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)．當時，令，則，若在有且僅有3個零點和3條對稱軸，則在有且僅有3個零點和3條對稱軸，則，解得.故選：A．

變式39．（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有三條對稱軸、函數(shù)在上恰有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得．根據(jù)函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有三條對稱軸，知，得．根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，知，得．綜上，的取值范圍為．故選：C變式40．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間內(nèi)恰好有4個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)，其中，當時，對任意，函數(shù)在內(nèi)最多有1個零點，不符題意，所以，當時，，由可得或，則在上，有一個零點，所以在內(nèi)有3個零點，即在內(nèi)有3個零點，因為，所以，，所以，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想求解．題型九：三角函數(shù)比較大小問題例25．（2023·江西南昌·高一南昌二中校考期中）若，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，，則，則故選：C例26．（2023·江西南昌·高一南昌市鐵路第一中學?？茧A段練習），，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增，又易知，所以.故選：B例27．（2023·貴州遵義·高一階段練習）將下列各式按大小順序排列，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又當時，是減函數(shù)，所以.故選：D．變式41．（2023·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習）不求值，比較下列各組數(shù)的大小，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A.因為，且在上遞增，所以，故正確；B.因為，且，在上遞減，所以，故錯誤；C.因為，且，在上遞增，所以，即，故錯誤；D.因為，且，在上遞減，所以，即，故錯誤；故選：A變式42．（2023·遼寧大連·高一大連市第三十六中學?？茧A段練習）已知，比較與的大?。?/p>

）A．大于 B．小于 C．等于 D．不確定【答案】B【解析】因為，則，即，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】比較兩個三角函數(shù)值的大?。?）比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．（2）比較兩個不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上．題型十：三角函數(shù)的最值與值域問題例28．（2023·北京·高一北京市十一學校校考期末）函數(shù)，的值域為.【答案】【解析】令，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，即，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，所以，函數(shù)，的值域為.故答案為：.例29．（2023·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則.【答案】【解析】依題意，函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由于，所以，此時，當時取得最小值，符合題意，所以.故答案為：例30．（2023·天津河東·高三校考階段練習）函數(shù)，函數(shù)的值域為，則．【答案】【解析】當時，，正弦函數(shù)在上遞增，在上遞減，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，即函數(shù)的值域為，所以.故答案為：變式43．（2023·安徽·高二合肥市第六中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則當時，函數(shù)的值域為.【答案】【解析】因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，可得，又因為，所以，即，當時，，所以.變式44．（2023·四川南充·高一四川省南充高級中學校考開學考試）函數(shù)的值域為．【答案】【解析】將兩邊平方可得：，因為，所以，，則，則，即，即函數(shù)的值域為.故答案為：變式45．（2023·甘肅天水·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)，的值域為．【答案】【解析】令，則，當時，則函數(shù)取得最小值為，當時，函數(shù)取得最大值為，故函數(shù)的值域為.故答案為：變式46．（2023·四川眉山·高一校考期中）當函數(shù)取得最大值時的的集合為．【答案】【解析】依題意令，，解得，，所以函數(shù)取得最大值時的的集合為.故答案為：變式47．（2023·寧夏銀川·高三?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則.【答案】2【解析】，令，易知，，即為奇函數(shù)，所以結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)有.故答案為：2變式48．（2023·上海浦東新·高一上海師大附中?？计谀┖瘮?shù)的最大值為.【答案】1【解析】當時，，所以，故最大值為1，故答案為：1變式49．（2023·高一課時練習）函數(shù)在x∈[]上的最大值為4，則實數(shù)a為.【答案】/【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當時，，因此，解得，所以實數(shù)a為.故答案為：變式50．（2023·福建泉州·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)（）在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因為，，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.變式51．（2023·山東煙臺·高二萊州市第一中學?？茧A段練習）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是．【答案】【解析】由和在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，故.故答案為：變式52．（2023·湖南邵陽·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.【答案】/.【解析】依題意可得，得，所以.令，則，因為，所以，所以當時，取得最小值為.所以在區(qū)間上的最小值為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等．三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，一般方法也適用，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種：（1）形如的三角函數(shù)，令，根據(jù)題中的取值范圍，求出的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函數(shù)，可先設(shè)，將函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域（最值）．（3）對于形如（或）的函數(shù)的最值還要注意對的討論．題型十一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式例31．（2023·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，此函數(shù)的解析式為（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)圖象可知，又，所以，解得，將代入得到，，因為，所以，故，解得，所以.故選：B例32．（2023·北京·高一北京市十一學校校考期末）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則，的值分別是（

）A．2， B．2， C．2， D．4，【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)的周期為，則由圖象知，，解得，；由圖象點在函數(shù)的圖象上，則，則，則，解得，又已知，則.故選：C.例33．（2023·山東菏澤·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，得，所以，得，所以，因為的圖象過點，所以，得，所以，所以，或，所以，或，因為，所以，故選：C變式53．（2023·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，那么（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)圖象可知，將代入得,所以，由于，所以取，故，故選：C變式54．（2023·湖北恩施·高一利川市第一中學校聯(lián)考期末）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可知，，所以，即，所以.由圖象可知，當時，，所以，，即，，由于，所以，所以.故選：D.變式55．（2023·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，是的兩個零點，若，則下列為定值的量是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，的周期為，由圖象可得，令，可得，，所以，即，又，所以，，，又，所以，所以，故選：A.變式56．（2023·北京順義·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，根據(jù)圖像易得，因為，所以，所以，則，當時，，由得，所以，即，，因為，所以，所以；當時，，由得，所以，即，，因為，所以，所以；綜上：，故A正確.故選：A變式57．（2023·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，的部分圖象如圖，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖象可知，，所以.由可得，，所以.又，所以，所以，所以.因為，所以，.又，所以，所以，所以，所以.故選：C.變式58．（2023·河南·沈丘縣第一高級中學?？寄M預(yù)測）函數(shù)（）的部分圖像如下圖，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖知，由解得所以當時，.故選：A變式59．（2023·福建莆田·高一莆田一中?？计谥校┮阎瘮?shù),的部分圖象如圖所示,則A．3 B． C．1 D．【答案】A【解析】，，代入得，，又，，，，故選A.【方法技巧與總結(jié)】確定函數(shù)（）的解析式的步驟（1）求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則，．（2）求，確定函數(shù)的周期，則．（3）求，常用方法有①代入法：把圖象上的一個已知點代入（此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）或把圖象的最高點或最低點代入．②五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．題型十二：同名函數(shù)圖象的變換例34．（2023·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮玫胶瘮?shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位； B．向右平移個單位；C．向左平移個單位； D．向右平移個單位【答案】D【解析】由題意知：，所以只需的圖像向右平移個單位就可以得到的圖像，故D項正確.故選：D.例35．（2023·上海嘉定·高一?？计谀┮玫胶瘮?shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象

（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】D【解析】將向右平移個單位，則，其它平移過程都不滿足.故選：D例36．（2023·山東濟寧·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】因為，所以的圖象向右平行移動個單位長度可得到函數(shù)，故選：D.變式60．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點（

）A．向右平行移動個單位長度 B．向左平行移動個單位長度C．向右平行移動個單位長度 D．向左平行移動個單位長度【答案】A【解析】為了得到函數(shù)的圖象，只要把圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，故選：A變式61．（2023·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】A【解析】函數(shù)，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，即可得到函數(shù)的圖象.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】對，，的三點說明（1）越大，函數(shù)圖象的最大值越大，最大值與是正比例關(guān)系．（2）越大，函數(shù)圖象的周期越小，越小，周期越大，周期與為反比例關(guān)系．（3）大于0時，函數(shù)圖象向左平移，小于0時，函數(shù)圖象向右平移，即“加左減右”．題型十三：異名函數(shù)圖象的變換例37．（2023·河南洛陽·高一統(tǒng)考期中）為了得到，的圖象，只需把，圖像上所有的點（

）．A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】B【解析】由誘導公式可得，所以將函數(shù)圖像上的點向右平移個單位長度，即可得到的圖像.故選：B例38．（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期中）要得到函數(shù)的圖象只需將函數(shù)的圖象（

）A．先向右平移個單位長度，再向下平移2個單位長度B．先向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度C．先向右平移個單位長度，再向下平移2個單位長度D．先向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度【答案】B【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖像平移規(guī)則，進行平移即可由函數(shù)，，所以先向左平移個單位長度，得的圖像，再向上平移2個單位長度，得的圖像，故選：B例39．（2023·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點的（

）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平行移動個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平行移動個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平行移動個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平行移動個單位長度【答案】C【解析】，將橫坐標伸長原來的2倍（縱坐標不變），得到；而將橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到，AB選項排除；C選項：再向左平移個單位長度，得到符合要求；D選項：再向右平移個單位長度，得到，不滿足要求，故D選項錯誤.故選：C變式62．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市八中校考階段練習）要得到函數(shù)的圖象，只需的圖象A．向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）B．向左平移個單位，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變）C．向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）D．向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）【答案】D【解析】，因此，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再把各點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變），可得到函數(shù)的圖象，故選D.【方法技巧與總結(jié)】變?yōu)橥僮儞Q．題型十四：求圖象變換前、后的解析式例40．（2023·四川達州·高一四川省萬源中學校考階段練習）將函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標擴大為原來的兩倍（縱坐標不變），再向左移動個單位得到函數(shù)的圖象，若，且，則=.【答案】【解析】將函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標擴大為原來的兩倍（縱坐標不變），得到，再向左移動個單位，可得：，因為，則，且直線為的對稱軸，又因為，則，可得，所以.故答案為：.例41．（2023·安徽滁州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)的最小正周期為，其圖像向左平移個單位長度后所得圖像關(guān)于軸對稱，則．【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期為，，．其圖象向左平移個單位后，可得的圖象；根據(jù)所得圖象關(guān)于軸對稱，可得，，即，，又，則．所以故答案為：例42．（2023·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位，再把所得到的曲線上的所有點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，則.【答案】【解析】將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，再把圖象上的所有點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象.故答案為：變式63．（2023·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）將函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度后，再將所得圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求出圖象的一個對稱中心的坐標．【答案】答案舉例：，等（寫出一個或一個以上就給分）【解析】由題可知則函數(shù)圖象的一個對稱中心的橫坐標滿足，所以則函數(shù)的對稱中心為.故答案為：（寫出一個或一個以上就給分）變式64．（2023·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）將曲線上所有點向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為.【答案】【解析】將曲線上所有點向左平移個單位，可得，因為與的圖象相同，所以，因為，所以的最小值為，故答案為：變式65．（2023·北京昌平·高一北京市昌平區(qū)前鋒學校?？计谥校⒑瘮?shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則【答案】【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象；故答案為：.變式66．（2023·北京海淀·高三專題練習）將函數(shù)且的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，再將所得圖象向左平移個單位長度后，得到一個偶函數(shù)圖象，則．【答案】【解析】將函數(shù)且的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)，因為為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，所以有，解得.故答案為：變式67．（2023·高一?？颊n時練習）把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度，再把橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象的解析式是，則函數(shù)的解析式為．【答案】【解析】將函數(shù)的圖象橫坐標縮短到原來的得到函數(shù)的圖象，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】常規(guī)法主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移．值得注意的是，對于三角函數(shù)圖象的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減”，并且在變換過程中只變換自變量x，如果x的系數(shù)不是1，那么需把x的系數(shù)提取后再確定平移的單位和方向．題型十五：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例43．（多選題）（2023·高一課時練習）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個周期為 B．的圖像關(guān)于直線對稱C．的一個零點為 D．在單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】因為函數(shù)，所以它的一個周期為，故A正確；令，求得為最小值，故的圖像關(guān)于直線對稱，故B正確；對于，令，可得，故的一個零點為，故C正確；當，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上沒有單調(diào)性，故D錯誤．故選：ABC例44．（多選題）（2023·四川廣元·高一廣元中學?？茧A段練習）已知函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為，與其相鄰的一個對稱中心為，則（）A．的最小正周期為 B．的最小正周期為C． D．【答案】AC【解析】由題意知，函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為，與其相鄰的一個對稱中心為，可得，所以，所以A正確、B錯誤；又由，可得，因為，即，解得，所以，又因為，可得，所以，所以C正確，D錯誤.故選：AC.例45．（多選題）（2023·廣東佛山·高一校考期中）已知函數(shù)，則說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】AC【解析】對于A選項，因為，所以，的圖象關(guān)于點對稱，所以A選項正確.對于B選項，由，知的圖象不關(guān)于直線對稱，所以B選項錯誤.對于C選項，由，知為奇函數(shù)，所以C選項正確.對于D選項，因為，，，所以不為偶函數(shù)，所以D選項錯誤.故選:AC.變式68．（多選題）（2023·江蘇連云港·高一連云港高中校考期中）函數(shù)在一個周期內(nèi)的的圖象如圖示，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．B．C．對，都有D．對，都有【答案】BCD【解析】由圖象知：，，則，則，又點在圖像上，所以，則，即，又因為，所以，所以，故A錯誤；，故B正確；，所以圖象關(guān)于對稱，即，故C正確；，故D正確.故選：BCD變式69．（多選題）（2023·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）關(guān)于函數(shù)，下列選項錯誤的有（

）A．函數(shù)最小正周期為 B．表達式可寫成C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．的圖像關(guān)于直線對稱【答案】BC【解析】對于A，函數(shù)最小正周期為，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，由，得，所以函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為，所以的圖像關(guān)于直線對稱，故D正確.故選：BC.變式70．（2023·北京·高一北京市十一學校校考期末）設(shè)函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程以及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時的值.【解析】（1）的最小正周期為，由，可得，則的對稱軸為，由，可得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，可得，則，故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為最大值為，當即時函數(shù)取得最小值為，當即時函數(shù)取得最大值為.變式71．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，當時，取得最大值2，的圖象上與該最大值點相鄰的一個對稱中心為點．(1)求的解析式；(2)將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域．【解析】（1）設(shè)的最小正周期為，由題意可知：，，則，可得，則，且圖象過點，可得，則，解得，又因為，可知，所以．（2）由題意可得：，因為，則，可得，即，所以在區(qū)間上的值域為．變式72．（2023·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象經(jīng)過，，且的圖象關(guān)于直線對稱．(1)求的解析式；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范圍．【解析】（1）由題意可得，，，因為，所以．因為在的圖象上，所以，所以，所以．因為，所以只有滿足要求，故；（2）因為，所以．當，即時，取得最小值，最小值為．因為存在，使得不等式成立，所以，即，解得，即a的取值范圍為．變式73．（2023·福建·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對任意的，不等式恒成立，求m的取值范圍.【解析】（1）由題意可得的最小正周期，則，因為的圖象經(jīng)過點，所以，所以，解得，因為，所以，令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因為，所以，所以，則，因為對任意的，不等式恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m的取值范圍為.【方法技巧與總結(jié)】研究函數(shù)性質(zhì)的基本策略（1）借助周期性：研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對稱性等問題時，可以先研究在一個周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間、對稱性，再利用周期性推廣到全體實數(shù)．（2）整體思想：研究當時的函數(shù)的值域時，應(yīng)將看作一個整體，利用求出的范圍，再結(jié)合的圖象求值域．題型十六：用五點法作函數(shù)的圖象例46．（2023·河南南陽·高一統(tǒng)考期中）某同學用“五點作圖法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并求出函數(shù)的解析式；(2)若在上有兩根，求的取值范圍.【解析】（1）補充表格:由最大值為最小值為可知又，故再根據(jù)五點作圖法，可得，得故（2）令，則所以=有兩個根，轉(zhuǎn)化為在上有兩個根.即在上有兩個根.由在的圖像和性質(zhì)可得：,所以故實數(shù)的取值范圍為例47．（2023·河南南陽·高一校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示：(1)求函數(shù)的解析式；(2)用“五點作圖法”在給定的坐標系中做出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像．【解析】（1）根據(jù)的圖像可知：，故可得，即，又，故；又，故可得，則或，解得或，數(shù)形結(jié)合可知：，即，結(jié)合，解得，顯然，不滿足題意，故，當且僅當時，滿足題意；故．（2）由“五點作圖法”找出函數(shù)在一個周期內(nèi)的五個關(guān)鍵點，如表所示．0020-20例48．（2023·北京·高一首都師范大學附屬中學?？茧A段練習）已知函數(shù)(1)用“五點作圖法”在給定坐標系中畫出函數(shù)在上的圖像；(2)求，的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當時，的取值范圍為，直接寫出m的取值范圍.【解析】（1）因為，當時，，列表如下：0112001作圖如下：（2）因為，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為（3），，又，由（1）的圖象可知，，的取值范圍是．變式74．（2023·安徽宿州·高一碭山中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)用“五點（畫圖）法”作出在的簡圖；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【解析】（1）列表如下：00020對應(yīng)的圖象如圖：（2）令，，得，．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．變式75．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高一蘆溪中學校考階段練習）已知函數(shù)．(1)利用“五點畫圖法”完成以下表格，并畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．【解析】（1）根據(jù)“五點畫圖法”可列表如下：作出圖象如下，（2）令，解得：，的單調(diào)減區(qū)間為.【方法技巧與總結(jié)】用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)，由取來求出相應(yīng)的，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．一、單選題1．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖象的兩條對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，最小正周期為，，，，，，，故選：B．2．（2023·全國·高三專題練習）將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，得到函數(shù)即的圖象，再把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半，就得到函數(shù)的圖象，然后再把函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的4倍，就得到函數(shù)的圖象.故選：A.3．（2023·河南周口·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．直線是圖象的一條對稱軸C．圖象的對稱中心為D．將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象【答案】C【解析】對A，由最大值為3可得，由圖知，故，故，由圖象最高點可得，即，又，故，故.故，故A錯誤；對B，，不為函數(shù)最值，故直線不是圖象的一條對稱軸，故B錯誤；對C，令，解得，故對稱中心為，故C正確；對D，的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，故D錯誤；故選：C4．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則正實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由題意．所以，得．又，所以正實數(shù)的最小值為．故選：B．5．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）已知函數(shù)（，），其圖像與直線相鄰兩個交點的距離為，若對于任意的恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，令，可得，由于的圖象與直線相鄰兩個交點的距離為，，，．若對任意恒成立，則當時，，因此，，解得，，因為，所以，即．故選：C.6．（2023·江蘇連云港·高一連云港高中?？计谥校┖瘮?shù)相鄰對稱軸和對稱中心之間的距離為，將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，所以，，又∵且，∴，則，由題意，函數(shù)圖象向左平移個單位長度可得，∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴，解得：，.又∵，∴.故選：B.7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學?？计谥校⒑瘮?shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將它的圖象向右平移個單位長度，得到了一個奇函數(shù)的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，得，再將它的圖象向右平移個單位長度，得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，又因，所以當時，.故選：B.8．（2023·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）設(shè)，，，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又，且在上遞增，∴，而，所以，∴．故選：B．二、多選題9．（2023·廣東深圳·高一?？茧A段練習）若，則m的值可能是（

）A．－3 B．1 C．－2 D．5【答案】ACD【解析】因為，所以，當時，，當且僅當，即，即時取等號，所以；當時，，，即，當且僅當，即，即時取等號，所以；綜上