浙江省杭州六縣九校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

浙江省杭州六縣九校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題選擇題部分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解不等式可得集合，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得集合B，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，則，所以，故選：B2.已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)（）A. B.3 C.5 D.或3【答案】A【解析】【分析】依據(jù)有斜率的兩條直線平行的條件列式可解得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，明顯不符合題意，所以，由得，由得，所以，解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.3.第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2024年2月4日在北京開幕．為保證冬奧會(huì)順當(dāng)進(jìn)行，組委會(huì)須要提前把各項(xiàng)工作支配好．現(xiàn)要把甲、乙、丙、丁四名志愿者支配到七天中服務(wù)，每天一人，甲兩天，乙三天，丙和丁各一天，則不同的支配方法有（）A.840種 B.140種C.420種 D.210種【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用特別元素法，干脆計(jì)算即可.【詳解】由題可知：甲兩天，乙三天，丙和丁各一天所以不同的支配方法有種故選：C4.的二項(xiàng)綻開式中第4項(xiàng)的系數(shù)為（）A.-80 B.-40 C.40 D.80【答案】B【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】的二項(xiàng)綻開式中第4項(xiàng)為，所以所求系數(shù)為.故選：B5.函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性解除CD，由特別值解除B，從而得出正確答案.詳解】令，則函數(shù)為奇函數(shù)，故CD錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則則，即由可知，函數(shù)的第一個(gè)正零點(diǎn)為，，故B錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于推斷出是函數(shù)的第一個(gè)正零點(diǎn)，從而由得出答案.6.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A.3盞 B.7盞 C.9盞 D.11盞【答案】A【解析】【分析】設(shè)塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列公比為2的等比數(shù)列，，解得，即塔的頂層共有燈3盞.故選：A．7.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，若以點(diǎn)A為圓心，以b為半徑的圓與C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】（）中設(shè)，，應(yīng)用余弦定理得關(guān)于的方程，由于，故此方程的兩解即為的長(zhǎng)，應(yīng)用韋達(dá)定理得，由向量得，三式變形得出關(guān)于的等式，變形后可求得離心率．【詳解】設(shè)漸近線是，記，則，所以，設(shè)，在中，，所以，即，由于，因此上述方程的兩解就是，又，不妨記，又，，則，所以，所以，則，解得或又，所以．故選：C8.在正方體中，E是側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且平面，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求出直線與直線AB所成角正弦值的最小值．【詳解】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為1，設(shè)0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，設(shè)平面的法向量y，，則，取，得，平面，，解得，，，設(shè)直線與直線AB所成角為，1，，，，，．直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查線線角的正弦值的最小值的求法，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，函數(shù)與方程思想，是中檔題．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.已知函數(shù)，下列關(guān)于的說法正確的是（）A.定義域是 B.值域是C.圖象恒過定點(diǎn) D.當(dāng)時(shí)，在定義域上是增函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)依次探討各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，解得，所以定義域是，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得值域是，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)恒過定點(diǎn)，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得當(dāng)時(shí)，在定義域上是減函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：ABC10.古代中國的太極八卦圖是以圓內(nèi)的圓心為界，畫出相同的兩個(gè)陰陽魚，陽魚的頭部有陰眼，陰魚的頭部有陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，相互滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的沖突對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律．圖2（正八邊形ABCDEFGH）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如圖2的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則下列正確的結(jié)論是（）A.B.以射線OF為終邊的角的集合可以表示為C.點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓中，弦AB所對(duì)的劣弧弧長(zhǎng)為D.正八邊形ABCDEFGH的面積為【答案】ABC【解析】【分析】正八邊形的八個(gè)內(nèi)角相等，則一個(gè)內(nèi)角為，，對(duì)A，由，依據(jù)向量的數(shù)量積即可推斷；對(duì)B，結(jié)合終邊相同的角的定義即可推斷；對(duì)C，由弧長(zhǎng)公式推斷即可；對(duì)D，求得的面積，進(jìn)而得到正八邊形的面積，即可推斷.【詳解】由題意可得，正八邊形的八個(gè)內(nèi)角相等，則一個(gè)內(nèi)角為，，因?yàn)?，，所以，所以A正確；因?yàn)?，所以以射線為終邊的角的集合可以表示為，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，半徑?，所以弦所對(duì)的劣弧弧長(zhǎng)為，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以正八邊形的面積為，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC11.已知圓的方程為，過第一象限內(nèi)的點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，下列結(jié)論中正確的有（）A.直線的方程為B.四點(diǎn)、、、共圓C.若在直線上，則四邊形的面積有最小值2D.若，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，，得切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)后，依據(jù)直線方程的意義得出方程推斷A，由切線與過切點(diǎn)的半徑垂直推斷B，求出四邊形的面積和，得出與直線垂直時(shí)，面積最小，求出圓心到直線的距離即可得從而推斷C，由數(shù)量積的定義得出，再由基本不等式可得最大值，從而推斷D．【詳解】設(shè)，時(shí)，切線方程為，時(shí)，切線方程為，時(shí)，，因此，切線方程為，又，，或的切線方程也滿意此方程．同理設(shè)，切線方程是，而在兩切線上，所以，，因此直線的方程是，A正確；由，因此可得，所以四點(diǎn)、、、共圓，B正確；由四邊形的性質(zhì)知其面積等于，要使得切線長(zhǎng)最小，則最小，即為到直線的距離，，因此面積最小值為，C錯(cuò)誤；由，用得，所以，所以，由基本不等式知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是．D正確、故選：ABD．12.對(duì)函數(shù)進(jìn)行探討后，得出以下結(jié)論，其中正確的有（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.C.函數(shù)的圖象與軸有無窮多個(gè)交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)間距離相等D.對(duì)隨意常數(shù)，存在常數(shù)，使函數(shù)在上單調(diào)遞減，且【答案】ABD【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性定義推斷可知A正確；構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)推斷單調(diào)性，進(jìn)而求得最值可推斷B；由的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為且可推斷C；求導(dǎo)分析時(shí)成立的狀況，即可推斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由A知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若即只需證，令，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：令，可得，所以函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為且，交點(diǎn)與間的距離為，而其余隨意相鄰兩點(diǎn)之間的距離為.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，即，即，當(dāng)時(shí)，，，區(qū)間長(zhǎng)度為，所以對(duì)于隨意常數(shù)，存在常數(shù)，，使在上單調(diào)遞減且，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，由（或）解出相應(yīng)的的范圍，對(duì)應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上探討的正負(fù)，由符號(hào)確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.非選擇題部分三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知復(fù)數(shù)滿意，那么___.【答案】【解析】【詳解】試題分析：因,故答案為:.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)及運(yùn)算．14.拋物線的準(zhǔn)線截圓所得弦長(zhǎng)為2，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________．【答案】(1，0)【解析】【分析】依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出準(zhǔn)線方程，化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，得出圓心和半徑，利用弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于p的方程，求得p的值，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，把圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，得圓心，半徑，圓心到準(zhǔn)線的距離為，所以，即，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)問題進(jìn)而求焦點(diǎn)坐標(biāo)，涉及拋物線的準(zhǔn)線和圓的弦長(zhǎng)問題，難度較易.15.已知函數(shù)在上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有不等式成立，若對(duì)，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為_______.【答案】【解析】【分析】令先推斷函數(shù)g(x)的奇偶性和單調(diào)性，得到在R上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)分析解答即得解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有不等式成立，所以，令所以函數(shù)g(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由題得所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)閷?duì)，不等式恒成立，所以，因?yàn)閍>0,所以當(dāng)x≤0時(shí)，明顯成立.當(dāng)x＞0時(shí)，，所以，所以函數(shù)h(x)在（0,1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增.所以，所以a＜e,所以正整數(shù)的最大值為2.故答案為2【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的推斷及其應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)探討不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.屬于中檔題.16.數(shù)列的前項(xiàng)n和為，滿意，且，則______．【答案】【解析】【分析】由，得到，利用裂項(xiàng)相消法，即可求得.【詳解】由題意，數(shù)列滿意，可得，所以++…+，故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.良好的體育熬煉習(xí)慣，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活都特別有益.某校為了解學(xué)生的課外體育熬煉時(shí)間狀況，在全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將數(shù)據(jù)分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.將平均每天課外體育熬煉時(shí)間在上的學(xué)生評(píng)價(jià)為熬煉達(dá)標(biāo)，將平均每天課外體育熬煉時(shí)間在上的學(xué)生評(píng)價(jià)為熬煉不達(dá)標(biāo).（1）估計(jì)這200名學(xué)生每天課外體育熬煉時(shí)間的中位數(shù)與平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）在上述熬煉達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取8名，再從這8名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，求這兩名同學(xué)中至少有一名每天體育熬煉時(shí)間在的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)與平均數(shù)；（2）依據(jù)古典概型概率公式計(jì)算即可.【詳解】解：（1）設(shè)中位數(shù)為，則，；（2）依據(jù)題意可得，抽取的8名同學(xué)中，時(shí)間在的有6名，記為，，，，，，時(shí)間在的出名，記為，，從8名同學(xué)中隨機(jī)取2人的基本領(lǐng)件為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，記事務(wù)為兩名同學(xué)中至少有一名每天體育熬煉時(shí)間在，則包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)有個(gè)，所以.18.已知（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)______得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，方程有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．在以下①、②中選擇一個(gè)，補(bǔ)在（2）的橫線上，并加以解答，假如①、②都做，則按①給分．①向左平移個(gè)單位，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半；②縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的一半，再向右平移個(gè)單位．【答案】（1）對(duì)稱中心是，；單調(diào)增區(qū)間為，（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)，依據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）選①可得，結(jié)合余弦型函數(shù)性質(zhì)可得的范圍，即可求得的范圍；選②可得，結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)可得的范圍，即可求得的范圍.【小問1詳解】因?yàn)榱睿?，則，，故函數(shù)的對(duì)稱中心是，；令，，則，，所以單調(diào)增區(qū)間為，【小問2詳解】選①，則可得，當(dāng)時(shí)，，則，所以，若方程有解，則.選②，則可得，當(dāng)時(shí)，，則，所以，若方程有解，則.19.已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差的前項(xiàng)和可得，即可求解；（2）由（1）可知，利用錯(cuò)位相減法即可求解.【小問1詳解】由題，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列公比為，所以，因?yàn)椋?，所以，解得：，所以?【小問2詳解】由（1）得：，所以，則，兩式作差得：，所以.20.如圖,在四棱錐中,平面,為線段上一點(diǎn)不在端點(diǎn).(1)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，求證：面(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)，利用直線的方向向量與平面的法向量垂直，證明即可.法二：取BP的中點(diǎn)E，連接，，則，依據(jù)線面平行的判定定理證明即可.（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，依據(jù)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，求平面的法向量為，依據(jù)，求解，即可.【詳解】(1)方法一：證明：因?yàn)槠矫?，，平?所以.又，所以，，兩兩垂直.分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，.明顯平面的法向量為，則又不在平面內(nèi)，所以平面.方法二：取的中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，可知在平面四邊形中，即，所以，即由已知得所以，四邊形是平行四邊形，所以因?yàn)槠矫?，平面所以平?2)假設(shè)存在點(diǎn)M使得與平面所成角的正弦值為則，所以為中點(diǎn)，則，即設(shè)平面的法向量為∴，不妨設(shè)，則∴設(shè)線面角為，則解得或1（舍去）∴時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，以及依據(jù)線面角的正弦值確定動(dòng)點(diǎn)位置，考查了空間向量法的應(yīng)用，考查了運(yùn)算實(shí)力，屬于較難題.21.已知橢圓的離心率為，圓與軸相切，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是否存在直線使的面積為？若存在