新教材人教B版必修第二冊5. 用樣本估計總體

5.用樣本估計總體

r學(xué)習(xí)目標(biāo)11.正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差2能根據(jù)實

際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并

做出合理的解釋3會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征.

知識梳理梳理教材夯實基石出

------------------------------------------------------N---------------

知識點一

在分層抽樣時，如果總體分為攵層，而且第，層抽取的樣本量為均，第，層的樣本均值為；J，

樣本方差為寸，…，匕記〃=%j,所有數(shù)據(jù)的樣本均值和方差分別為x（可口），

尸j=i

s2=^[njSj+nj（xj-x）2].

j=l

知識點二用樣本的數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征

眾數(shù)眾數(shù)是最高長方形的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)

（1）在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相簧，由此可以估計

中位數(shù)中位數(shù)的值，但是有偏差；

（2）表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線

（1）平均數(shù)等于每個小矩形的面枳乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和;

平均數(shù)

（2）平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心,是頻率分布直方圖的平衡點

一般來說，在估計總體的數(shù)字特征時，只需直接算出樣本對應(yīng)的數(shù)字特征即可.

知識點三用樣本的分布估計總體的分布

同數(shù)字特征的估計一樣，分布的估計一般也有誤差.如果總體在每一個分組的頻率記為兀I,

兀2，…，兀"，樣本在每一組對應(yīng)的頻率記為Pl，02，…，Pn>一般來說，:Z（叫一?！?=。（兀1

LI

-pi）2+（?—p2）2+…+（?！耙籶,,）2]不等于零.同樣，大數(shù)定律可以保證，當(dāng)樣本的容量越來越

大時，上式很小的可能性將越來越大.

■思考辨析判斷正誤

1.樣本的平均數(shù)描述了樣本數(shù)據(jù)的平均水平.（V）

2.方差越大、數(shù)據(jù)越集中在平均數(shù)左右.（X）

3.中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中最中間位置的數(shù)據(jù).（X）

4.用樣本估計出的總體中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的某個數(shù).(X)

題型探究探究重點提升素養(yǎng)

------------------------

一、分層隨機(jī)抽樣的均值與方差的計算

例1(多選)某分層隨機(jī)抽樣中，有關(guān)數(shù)據(jù)如下:

樣本量平均數(shù)方差

第1層4542

第2層3581

第3層1063

則下列敘述正確的是(結(jié)果保留兩位小數(shù))()

A.第1,2層所有數(shù)據(jù)的均值為

B.第1,2層所有數(shù)據(jù)的方差為

C.第1,2,3層所有數(shù)據(jù)的均值約為

D.第1,2,3層所有數(shù)據(jù)的方差約為

答案AD

解析第1,2層所有數(shù)據(jù)的均值為：x12=石能X4+石林X8=,A正確；第1,2層所有

4535

數(shù)據(jù)的方差為留=方標(biāo)X[2+(4—月+行能X[l+(8—%=,B不正確；第1,2,3層所有

數(shù)據(jù)的均值為M=^X4+||x8+版乂6心，C不正確；第123層所有數(shù)據(jù)的方差約為S2=

款[2+(4-)2]+1|X[l+(8-)2]+|§X[3+(6-)2,D正確.

反思感悟運用公式求分層隨機(jī)抽樣的均值與方差時要注意

(1)清楚公式中各個符號的含義，避免代入數(shù)據(jù)混亂.

(2)運算要格外仔細(xì)，并按要求保留有效小數(shù).

跟蹤訓(xùn)練1某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)在假期招收了A,B兩個數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)班，A班10人，B班30人，經(jīng)過

一周的補(bǔ)習(xí)后進(jìn)行了一次測試，在該測試中，A班的平均成績?yōu)?30分，方差為115,8班的

平均成績?yōu)?10分，方差為215.求在這次測試中全體學(xué)生的平均成績和方差.

解依題意x人=130,次=115,

xB=110,51=215,

'X=10+30XI30+10+30X110=115,

.??全體學(xué)生的平均分為115分.

全體學(xué)生成績的方差為

10__30——

2

S2=10+3()"'+(x4一x)4+]o+30閡+(xB—x)]

=10+30。15+225)+]0+30(215+25)

=85+180=265.

二、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

例2甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖所示:

⑴填寫下表;

平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上

甲71

乙3

(2)請從四個不同的角度對這次測試進(jìn)行分析：

①從平均數(shù)和方差結(jié)合分析偏離程度；

②從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合分析誰的成績好些；

③從平均數(shù)和命中9環(huán)及以上的次數(shù)相結(jié)合看誰的成績好些；

④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)及走勢分析誰更有潛力.

一1

解(1)乙的射靶環(huán)數(shù)依次為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,所以x乙=元(2+4+6+8+7+7+8+9+9

7+8

+10)=7；乙的射靶環(huán)數(shù)從小到大排列為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位數(shù)是一1一=;甲的射

靶環(huán)數(shù)從小到大排列為5,6,6,777,7,8,8,9,所以中位數(shù)為7.于是填充后的表格如下表所示：

平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上

甲771

乙73

(2)①甲、乙的平均數(shù)相同，均為7,但s爺說明甲偏離平均數(shù)的程度小，而乙偏離平均

數(shù)的程度大.

②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位數(shù)比甲大，說明乙射靶成績比甲好.

③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9環(huán)以上(包含9環(huán))的次數(shù)比甲多2次，可知乙的射靶

成績比甲好.

④從折線圖上看，乙的成績呈上升趨勢，而甲的成績在平均線上波動不大，說明乙的狀態(tài)在

提升，更有潛力.

反思感悟在日常生活中，當(dāng)面對一組數(shù)據(jù)時，相比每一個觀測值，有時我們更關(guān)心的是能

反映這組數(shù)據(jù)特征的一些值，例如上述數(shù)據(jù)，我們可以從平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)、

極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等角度進(jìn)行比較.

跟蹤訓(xùn)練2為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換，已知某校

使用的100支日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下表：

181?211?241?271?301?331-361?

天數(shù)151—180

210240270300330360390

日光燈數(shù)1111820251672

(1)試估計這種日光燈的平均使用壽命；

(2)若定期更換，可選擇多長時間統(tǒng)一更換合適？

解(1)各組的平均值分別為由此可估計這種日光燈的平均使用壽命為X1%+X11%

+X18%+X20%+X25%+X16%+X7%+X2%=(天).

(2)52=-^J[1X(-)2+11X(-)2+18X(-)2+20X(-)2+25X(-)2+16X(-)2+7X(-)2+

2X(-)2]=2,故標(biāo)準(zhǔn)差g46(天).

由上可知這種日光燈的平均使用壽命為天，標(biāo)準(zhǔn)差約為46天，故可在222天到314天內(nèi)統(tǒng)一

更換較合適.

三、頻率分布直方圖與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用

例3已知一組數(shù)據(jù)：

125121123125127129125128130129

126124125127126122124125126128

(1)填寫下面的頻率分布表；

分組個數(shù)累計頻數(shù)頻率

[,)

[,)

[,)

[,)

[,]

合計

(2)作出頻率分布直方圖；

(3)以這組數(shù)據(jù)為樣本估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

解⑴

分組個數(shù)累計頻數(shù)頻率

[,)r2

[,)i;3

[,)正下8

[,)正4

[,]3

合計201

⑵

(3)在［,)中的數(shù)據(jù)最多，取這個區(qū)間的中點值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)為1255設(shè)中位數(shù)為

X,則+(x—)X=,解得x=125.75.使用“組中值”求平均數(shù)：^=X+X+X+X+X=

125.8.

所以可估計總體的眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為125.8.

(學(xué)生留)反思感悟利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征

⑴眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點；

⑵中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等；

(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

跟蹤訓(xùn)練3某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組，繪

制成如圖所示的頻率分布直方圖.求：

(1)高一參賽學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù);

（2）高一參賽學(xué)生的平均成績.

解（1）由題圖可知眾數(shù)為65,

又因為第一個小矩形的面積為，

所以設(shè)中位數(shù)為60+x,則+xX=,得x=5,

所以中位數(shù)為60+5=65.

（2）依題意，平均成績?yōu)?5X+65X+75X+85X4-95X=67,

所以高一參賽學(xué)生的平均成績約為67.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田.這〃塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別

為乃，X2,…，為，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

A.X|,X2，…，X”的平均數(shù)

B.Xi,X2,???,X"的標(biāo)準(zhǔn)差

C.Xl，X2,-??,X"的最大值

D.Xl，X2,???,X”的中位數(shù)

答案B

解析因為可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度,

應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選B.

2.如圖，樣本A和8分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為xA和XB，樣本

標(biāo)準(zhǔn)差分別為SA和SB,則（）

A.X6XB，SA>SBB.XX8，SA>SB

C.XA>XB，SA<SBD.XA<xB，SA<SB

答案B

解析由題圖知，A組數(shù)據(jù)分布在［,10］內(nèi)，8組數(shù)據(jù)分布在［10,15］內(nèi)，顯然XA<XB.

又由圖形可知，B組數(shù)據(jù)的分布比A組的均勻，變化幅度不大，故8組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，方差

較小，從而標(biāo)準(zhǔn)差較小，所以SA>SB.

3.某臺機(jī)床加工的1000只產(chǎn)品中次品數(shù)的頻率分布如下表：

次品數(shù)01234

頻率

則次品數(shù)的眾數(shù)、平均數(shù)依次為（）

A.0,B.0,1C.4,1D.,2

答案A

解析數(shù)據(jù)為出現(xiàn)的頻率為p：（i=l,2,…，ri）,則xi,X2,-,%,的平均數(shù)為XIPI+XM+…

+x,p”.因此次品數(shù)的平均數(shù)為OX+1X+2X+3X+4X=1.1.由頻率知，次品數(shù)的眾數(shù)為0.

4.樣本容量為9的四組數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)都是5,它們的柱形統(tǒng)計圖如圖所示，則標(biāo)準(zhǔn)差

最大的一組是（）

5數(shù)據(jù)

第一組

0.31

0.|LEE

（）34567數(shù)據(jù)58數(shù)據(jù)

第四組

A.第一組B.第二組

C.第三組D.第四組

答案D

解析方法一第一組中，樣本數(shù)據(jù)都為5,數(shù)據(jù)沒有波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差為0；

第二組中，樣本數(shù)據(jù)為4,4,4,555,6,6,6,標(biāo)準(zhǔn)差為半；

第三組中，樣本數(shù)據(jù)為334,4,5,6,6,7,7,標(biāo)準(zhǔn)差為羋；

第四組中，樣本數(shù)據(jù)為2,22,2,5,8,8,8,8,標(biāo)準(zhǔn)差為2y.

故標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是第四組.

方法二從四個柱形圖可看出第一組數(shù)據(jù)沒有波動性，第二、三組數(shù)據(jù)的波動性都比較小，

而第四組數(shù)據(jù)的波動性相對較大，利用標(biāo)準(zhǔn)差的意義可以直觀得到答案.

5.甲、乙兩位同學(xué)某學(xué)科的連續(xù)五次考試成績用莖葉圖表示如圖所示，則平均分?jǐn)?shù)較高的是

,成績較為穩(wěn)定的是.

899

答案甲甲

一—11

解析x甲=70,xi=68.5i=gX(22+l2+l2+22)=2,X(52+12+12+32)=7.2.

-課堂小結(jié)------------------------------------------------------------------------

1.知識清單：

(1)樣本的數(shù)字特征.

(2)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征.

(3)用樣本的分布估計總體的分布.

2.方法歸納：數(shù)據(jù)處理.

3.常見誤區(qū)：樣本的數(shù)字特征只能估計總體的特征，不能替代總體.

課時對點練注重雙基強(qiáng)化落實

-----------------------\-------

g基礎(chǔ)鞏固

1.在用樣本頻率分布估計總體分布的過程中，下列說法中正確的是()

A.樣本容量一定時總體容量越大，估計越精確

B.總體容量與估計的精確度無關(guān)

C.總體容量一定時樣本容量越大，估計越精確

D.總體容量一定時樣本容量越小，估計越精確

答案C

解析當(dāng)樣本容量越大時，估計總體越精確.

2.為了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個男孩，平均身高為m；從南方抽

取了200個男孩，平均身高為m.由此可估計我國13歲男孩的平均身高為()

A.mB.mC.mD.m

答案B

解析從北方抽取了300個男孩，平均身高為m,從南方抽取了200個男孩，平均身高為m,

則這500個13歲男孩的平均身高是汽go=(m),據(jù)此可估計我國13歲男孩的平均身

高為m,故選B.

3.(多選)甲、乙兩名同學(xué)六次數(shù)學(xué)測驗成績(百分制)如圖所示，下面說法正確的是()

9

628

620878

0926

A.甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù)

B.甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)高

C.甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)低

D.甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差

答案CD

一1

解析甲的中位數(shù)為81,乙的中位數(shù)為，故A錯誤；甲的平均分x=/76+72+80+82+

一1

86+90)=81,乙的平均分x'=5(69+78+87+88+92+96)=85,故B錯誤，C正確；甲

的極差為18,乙的極差為27,且甲的成績比較均衡，故甲的成績的方差小于乙成績的方差.故

選CD.

4.甲、乙兩人在-一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的柱形統(tǒng)計圖如圖所示，則()

345678910環(huán)數(shù)078910,環(huán)數(shù)

甲乙

A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)

B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)

C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

答案C

解析由柱形統(tǒng)計圖知：

甲射靶5次的成績分別為4,5,6,7,8；

乙射靶5次的成績分別為5,5,5,6,9,

4+5+6+7+8—5+5+5+6+9

所以x甲==6；x=6.

所以x甲=x"故A不正確.

甲的成績的中位數(shù)為6,乙的成績的中位數(shù)為5,故B不正確.

jl=|[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=|xi0=2,

11I?

si=g[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2J=5X12=亍

I?

因為2<5，所以播<s2,故C正確.

甲的成績的極差為8—4=4,乙的成績的極差為9—5=4,故D不正確.故選C.

5.為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分(十

分制)的統(tǒng)計圖如圖所示，假設(shè)得分分值的中位數(shù)為“，眾數(shù)為，及，平均數(shù)為三，則()

［頻數(shù)

i（）—

8----

?T-

2寸

-?riU2T2rr2r

n3-45678910得分/分

A.nte=nto=xB.〃k=x

C.me<tno<xD.mo<me<x

答案D

解析由柱形統(tǒng)計圖可知，30名學(xué)生的得分依次為2個3分，3個4分，10個5分，6個6

分，3個7分，2個8分，2個9分，2個10分.中位數(shù)為第15,16個數(shù)（分別為5,6）的平均數(shù),

即恤=,5出現(xiàn)次數(shù)最多，故mo=5.

—2X3+3X4+10X5+6X6+3X7+2X8+2X9+2X10

x=30

比5.97.

于是得m<><tne<x.

6.在某市2019年“創(chuàng)建文明城市”知識競賽中，考評組從所有2000份試卷中抽取200份

試卷進(jìn)行分析，其分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示，則本次競賽分?jǐn)?shù)在區(qū)間［60,70）上的人數(shù)

大約有.

答案800

解析根據(jù)頻率分布直方圖，分?jǐn)?shù)在區(qū)間［60,70）上的頻率為X10=,...可估計分?jǐn)?shù)在區(qū)間

［60,70）上的人數(shù)為2000X=800.

7.為了鑒定某種節(jié)能燈泡的質(zhì)量，對其中100只節(jié)能燈泡的使用壽命進(jìn)行測量，結(jié)果如下表:

（單位：小時）

壽命450550600650700

只數(shù)2010301525

則這些節(jié)能燈泡使用壽命的平均數(shù)是

答案

解析這些節(jié)能燈泡使用壽命的平均數(shù)是

450X20+550X10+600X30+650X15+700X25

100

=597.5.

8.某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分

成六段[40,50),[50,60),…，[90,100]后得到如圖所示的部分頻率分布直方圖.在統(tǒng)計方法中，

同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，觀察圖形的信息，據(jù)此估計本次考試數(shù)學(xué)成績

的平均分為.

答案71

解析在頻率分布直方圖中，所有小長方形的面積和為1,

設(shè)[70,80)的小長方形面積為x,則(+X2++)X10+x=l,

解得x=,即該組■頻率為，所以本次考試的平均分為45X+55X+65X+75X+85X+95X

=71.

9.甲、乙兩臺機(jī)床在相同的技術(shù)條件下，同時生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)在從甲、乙生產(chǎn)的零件中分

別抽取4()件、60件，甲的平均尺寸為10,方差為20,乙的平均尺寸為12,方差為40.那么

全部100件產(chǎn)品的平均尺寸和方差分別是多少？

解甲機(jī)床生產(chǎn)的零件的平均尺寸、方差分別為

x甲=10,5%=20,

乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的平均尺寸、方差分別為

x乙=12,51=40,

所以100件產(chǎn)品的平均尺寸

—4°X甲+6°xZ,400+720

*=-40+60--100-'

所以100件產(chǎn)品的方差

.1,,40X60,1,

-X[40s3+60s?.X(10—12)2]=訴X[(40X20+60X40)+24X4]=32.96.

4U十OU4U十OU1UU

10.某網(wǎng)站從春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機(jī)用戶中隨機(jī)抽取2000名進(jìn)行調(diào)查，將受訪用

戶按年齡分成5組：]0,20),[20,30),…，[50,60],并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴求a的值；

(2)從春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機(jī)用戶中隨機(jī)抽取一人，估計其年齡低于40歲的頻率;

(3)估計春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機(jī)用戶的平均年齡.

解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知10X(a++++)=1,解得a=0.035.

(2)根據(jù)題意，得樣本中年齡低于40歲的頻率為10X(++)=,

所以從春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機(jī)用戶中隨機(jī)抽取一人，估計其年齡低于40歲的頻率

為0.75.

(3)根據(jù)題意，得春節(jié)期間參與收發(fā)網(wǎng)絡(luò)紅包的手機(jī)用戶的平均年齡約為15X+25X+35X+

45X+55X=(歲).

g綜合運用

11.從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如下表，則這100人的成績的標(biāo)準(zhǔn)差為

()

分?jǐn)?shù)54321

人數(shù)2010303010

AS-C.3D.§

答案B

〒心山,5X20+4X10+3X30+2X30+1X10

解析平均數(shù)為---------------示K---------------=3.

1Q

故$-2=而X[20X(5-3)2+10X(4-3)2+30X(3-3)2+30X(2—3)2+10X(l—3)2]=5.

故s<=嚕

12.為了了解某校學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽查了該校的100名學(xué)生，得到如圖所示的頻率分

布直方圖.由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)和為40,后6組的頻數(shù)和為87.

設(shè)最大頻率為a,視力在到之間的學(xué)生人數(shù)為仇則。，。的值分別為()

頻率「

組距一]

04.34.44.5464.74.84.95.05.15.2視力

A.,B.,96

C.27,D.27,96

答案B

解析由頻率分布直方圖知組距為，由前4組的頻數(shù)和為40,后6組的頻數(shù)和為87,知第4

組的頻數(shù)為40+87—100=27,即視力在到之間的頻數(shù)最大，為27,故最大頻率“=0.27.視

力在到之間的頻率為1——=,故視力在到之間的學(xué)生人數(shù)〃=X100=96.

13.某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模興趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.現(xiàn)分析兩個班

的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學(xué)建模

興趣班的平均成績是分.

答案85

解析由題意得，該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是4°義9°卜5。義81=85(分).

14.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得

到頻率分布直方圖如圖，則

［頻率

組距

0.040---------------1--------1

0.0叫

0.03(“

0.025..............J——------------