專題16全等三角形(原卷版+解析)

專題16全等三角形全等三角形相關(guān)知識在廣東中考屬于必考內(nèi)容，考查難度有簡單也有難，試題以中等偏下難度為主，中考單獨考查相應(yīng)知識點的題型很少，基本是在解答題里面作為其中一個環(huán)節(jié)或者解答工具進行考查，作為解答幾何題型必須掌握的基本知識，復(fù)習過程中必須強打基礎(chǔ)，鞏固基本技能過好關(guān)，才能更好地完成后面幾何類試題的深入研究。一、全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．1．如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED2．如圖，小強利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ3．如圖，，點與，與分別是對應(yīng)頂點，且測得，，則長為（）A． B． C． D．4．如圖，△ABC≌△DEF，請根據(jù)圖中提供的信息，寫出x=___．5．如圖，圖中的兩個三角形全等，則等于（

）A． B． C． D．6．如圖，已知，，則的度數(shù)為___________．7．如果，，，的周長為偶數(shù)，則的長為______．二、三角形全等的判定定理：（1）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（4）角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；（5）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．1．如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（

）A． B． C． D．2．如圖，在和中，，，，，三點在同一直線上，添加下列條件，不能判定的是（

）A． B． C． D．3．如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD，BE相交于點O，AB＝AC，要判定△ABE≌△ACD，應(yīng)添加一個條件________．4．已知：如圖，點、、、在一條直線上，且，，．求證：．5．如圖，已知，添加下列條件仍不能判定的是（

）A． B． C． D．6．如圖，與相交于點，，．若，點從點出發(fā)，沿方向以的速度運動，點從點出發(fā)，沿方向以的速度運動．點兩點同時停止運動．設(shè)點的運動時間為，連接，當線段經(jīng)過點時，的值為______．7．如圖，點C、E、F、B在同一直線上，點A、D在BC異側(cè)，ABCD，AE＝DF，∠A＝∠D．(1)求證：AB＝CD；(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．三、角平分線的線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

3.三角形的角平分線：三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.1．如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+22．如圖所示，在中，按下列步驟作圖：第一步：在上分別截取，使；第二步：分別以點D和點E為圓心、適當長（大于的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點F；第三步：作射線交于點M；第四步：過點M作于點N．下列結(jié)論一定成立的是(

)A． B． C． D．3．如圖，是的角平分線．若，則點D到的距離是_________．4．如圖，在和中，，，，延長，交于點M．(1)求證：點A在的平分線上；(2)若，，，求的長．5．如圖，在中，的平分線交于點D，DE//AB，交于點E，于點F，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．6．如圖．在中，，．以點A為圓心，以任意長為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點；分別以點D，E為圓心，以大于長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點P；作射線AP交BC于點F，過點F作，垂足用G．若，則的周長等于________cm．7．如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為_____．8．在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求證：AD＋AB＝AC；【拓展遷移】（2）如圖②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．1．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是⊙的直徑，點C為圓上一點，的平分線交于點D，，則⊙的直徑為（

）A． B． C．1 D．22．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB，求證：3．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE4．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．5．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E、F在線段BC上，，，，證明：．6．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，．求的度數(shù)．1．(2023·廣東惠州·惠州一中校考二模）如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（

）A． B． C． D．2．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學的知識很快就畫了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據(jù)是（

）A． B． C． D．3．（2016·廣東·統(tǒng)考一模）如圖，△ACB≌△，∠BC＝30°，則∠AC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．35° D．40°4．(2023·廣東深圳·深圳市寶安中學（集團）?？既＃┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD=5，P為AB上一動點，則PD的最小值為(

)A．2 B．3 C．4 D．55．(2023·遼寧營口·一模）如圖，D是的邊上一點，，交于E點，．若，，則_____．6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖所示，在中，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以小于的長為半徑作弧，分別交、于點，；②分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；③作射線，交于點，若，．則的長為_______．7．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，，于A，于，且，點從向A運動，每秒鐘走，點從向運動，每秒鐘走，點，同時出發(fā)，運動______秒后，與全等．8．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點O．求證：．9．（2023·廣東云浮·校考一模）如圖，在中，D是邊上的一點，．(1)尺規(guī)作圖：作平分，交于點E，連接（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：．10．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，與交于點O，，，E為延長線上一點，過點E作，交的延長線于點F．(1)求證；(2)若，求的長．專題16全等三角形全等三角形相關(guān)知識在廣東中考屬于必考內(nèi)容，考查難度有簡單也有難，試題以中等偏下難度為主，中考單獨考查相應(yīng)知識點的題型很少，基本是在解答題里面作為其中一個環(huán)節(jié)或者解答工具進行考查，作為解答幾何題型必須掌握的基本知識，復(fù)習過程中必須強打基礎(chǔ)，鞏固基本技能過好關(guān)，才能更好地完成后面幾何類試題的深入研究。一、全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．1．如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED答案:B分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D選項錯誤，B選項正確，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，小強利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ答案:B分析：要想利用求得MN的長，只需求得線段PQ的長．【詳解】解：∵△PQO≌△NMO，∴PQ=MN．故選：B【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，，點與，與分別是對應(yīng)頂點，且測得，，則長為（）A． B． C． D．答案:C分析：根據(jù)全等三角形性質(zhì)求出，求出CF，代入即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出BC和CF的長，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．4．如圖，△ABC≌△DEF，請根據(jù)圖中提供的信息，寫出x=___．答案:20分析：先利用三角形的內(nèi)角和定理求出，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等解答．【詳解】解：如圖，，，，即．故答案為：20．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)角度確定出全等三角形的對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．5．如圖，圖中的兩個三角形全等，則等于（

）A． B． C． D．答案:D分析：由全等三角形的對應(yīng)角相等，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)可知，兩幅圖中邊長為a、b的夾角對應(yīng)相等，∴，故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)角相等．6．如圖，已知，，則的度數(shù)為___________．答案:##度分析：先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再由全等三角形的性質(zhì)即可得到．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三角形對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．7．如果，，，的周長為偶數(shù)，則的長為______．答案:分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到，再由的周長為偶數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，∵的周長為偶數(shù)，∴為偶數(shù)，∴的長為偶數(shù)，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．二、三角形全等的判定定理：（1）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（4）角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；（5）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．1．如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（

）A． B． C． D．答案:C分析：由圖形可知，結(jié)合全等三角形的判定方法逐項判斷即可．【詳解】解：在和中∵，，∴當時，滿足，可證明，故選項A符合題意；當時，滿足，可證明，故選項B符合題意；當時，滿足，不能證明，故選項C不符合題意；當時，滿足，可證明，故選項D符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，即，，，和．2．如圖，在和中，，，，，三點在同一直線上，添加下列條件，不能判定的是（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)全等三角形的判定的方法，即可得到答案．【詳解】解：，A、，滿足的條件，能證明，不符合題意；B、，不滿足證明三角形全等的條件，符合題意；C、，得到，滿足，能證明，不符合題意；D、，得到，滿足，能證明，不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的幾種方法：．3．如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD，BE相交于點O，AB＝AC，要判定△ABE≌△ACD，應(yīng)添加一個條件________．答案:AE＝AD，或∠C＝∠B，或∠ADC＝∠AEB（答案不唯一）分析：根據(jù)已知條件AB＝AC，，根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件并逐一證明即可．【詳解】解：∵AB＝AC，，，若AE＝AD，則△ABE≌△ACD，若∠C＝∠B，則△ABE≌△ACD，若∠ADC＝∠AEB則△ABE≌△ACD，故答案為：AE＝AD，或∠C＝∠B，或∠ADC＝∠AEB（答案不唯一）【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．已知：如圖，點、、、在一條直線上，且，，．求證：．答案:見解析分析：根據(jù)證明，即可得出答案．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵在和中，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知，添加下列條件仍不能判定的是（

）A． B． C． D．答案:C分析：根據(jù)全等三角形的判定定理，逐一判讀選項可求解．【詳解】解：A．當時，且，，由“”可證，故A不符合題意；B．當時，且，，由“”可證，故B不符合題意；C．當時，不能判定，故C符合題意；D．當時，且，，由“”可證，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，、、、、．6．如圖，與相交于點，，．若，點從點出發(fā)，沿方向以的速度運動，點從點出發(fā)，沿方向以的速度運動．點兩點同時停止運動．設(shè)點的運動時間為，連接，當線段經(jīng)過點時，的值為______．答案:或##4s或2s分析：先證明，得到，再分情況計算出的值．【詳解】解：∵在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴在和中，，∴，

∴，①當時，∴，，∴,∴；②當時，∴，，∴，∴，綜上可知：的值為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識點，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，點C、E、F、B在同一直線上，點A、D在BC異側(cè)，ABCD，AE＝DF，∠A＝∠D．(1)求證：AB＝CD；(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．答案:(1)證明見解析(2)∠D＝70°分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B＝∠C，根據(jù)AAS推出△ABE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵ABCD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此題的關(guān)鍵．三、角平分線的線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

3.三角形的角平分線：三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.1．如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2答案:C分析：過點E作EH⊥OA于點H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH＝EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．【詳解】解：過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，在中，按下列步驟作圖：第一步：在上分別截取，使；第二步：分別以點D和點E為圓心、適當長（大于的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點F；第三步：作射線交于點M；第四步：過點M作于點N．下列結(jié)論一定成立的是(

)A． B． C． D．答案:C分析：根據(jù)題意可知，平分，即可得出正確答案．【詳解】解：由題意可知，平分，∵不一定等于90°，∴，因此A選項不正確；∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B選項不正確；∵平分，∴，因此C選項不正確；∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D選項不正確；故選C．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖——角平分線，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，掌握角平分線的作圖方法是本題的關(guān)鍵．3．如圖，是的角平分線．若，則點D到的距離是_________．答案:分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可求得．【詳解】如圖，過D作，則D到的距離為DE平分，，點D到的距離為．故答案為．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點到直線的距離等知識，理解點到直線的距離的定義，熟知角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．如圖，在和中，，，，延長，交于點M．(1)求證：點A在的平分線上；(2)若，，，求的長．答案:(1)見解析(2)5分析：（1）連接，證明，可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問題；（2）證明，設(shè)，所以，根據(jù)勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖，連接，在和中，，，，∴，，，，平分，點在的平分線上；（2）解：∵，，，，設(shè)，，在中，，，．．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到．5．如圖，在中，的平分線交于點D，DE//AB，交于點E，于點F，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DF=3，故B正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線得到AE=DE=5，故C正確；由此判斷D正確；再證明△BDF∽△DEC，求出BF，故A錯誤．【詳解】解：在中，的平分線交于點D，，∴CD=DF=3，故B正確；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正確；∴AC=AE+CE=9，故D正確；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，∴△BDF∽△DEC，

∴,∴，故A錯誤；故選：A．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等邊對等角證明角相等，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記各知識點并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．如圖．在中，，．以點A為圓心，以任意長為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點；分別以點D，E為圓心，以大于長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點P；作射線AP交BC于點F，過點F作，垂足用G．若，則的周長等于________cm．答案:8分析：由角平分線的性質(zhì)，得到，然后求出的周長即可．【詳解】解：根據(jù)題意，在中，，，由角平分線的性質(zhì)，得，∴的周長為：；故答案為：8【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．7．如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為_____．答案:分析：如圖，過點作于點，于點，過點作交于點．證明，設(shè)，證明，設(shè)，則，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點作于點，于點，過點作交于點．平分，，，，，，設(shè)，則，，，，，設(shè)，則，，，，的周長，故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題．8．在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求證：AD＋AB＝AC；【拓展遷移】（2）如圖②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．答案:（1）見解析；（2）①AD＋AB＝AC，見解析；②分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根據(jù)直角三角形中是斜邊的一半即可寫出數(shù)量關(guān)系；（2）①根據(jù)第一問中的思路，過點C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，構(gòu)造證明△CFB△CED，根據(jù)全等的性質(zhì)得到FB＝DE，結(jié)合第一問結(jié)論即可寫出數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)題意應(yīng)用的正弦值求得的長，然后根據(jù)的數(shù)量關(guān)系即可求解四邊形ABCD的面積．【詳解】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，∴∠DAC＝∠BAC＝，∵∠ADC＝∠ABC＝，∴∠ACD＝∠ACB＝，∴AD＝．∴AD＋AB＝AC，（2）①AD＋AB＝AC，理由：過點C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．，∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，∴∠FBC＝∠EDC，又∠CFB＝∠CED＝，∴△CFB△CED，∴FB＝DE，∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，在四邊形AFCE中，由⑴題知：AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC；②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝∴∠DAC＝∠BAC＝，又∵AC＝10，∴CE＝A，∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，∴＝．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解直角三角形，關(guān)鍵是辨認出本題屬于角平分線類題型，作垂直類輔助線．1．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是⊙的直徑，點C為圓上一點，的平分線交于點D，，則⊙的直徑為（

）A． B． C．1 D．2答案:B分析：過D作DE⊥AB垂足為E，先利用圓周角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到DE=DC=1，再說明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，設(shè)BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根據(jù)勾股定理列式求出x，進而求得AB．【詳解】解：如圖：過D作DE⊥AB，垂足為E∵AB是直徑∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分線BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中DE=DC、BD=BD∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）∴BE=BC在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2AE=設(shè)BE=BC=x，AB=AE+BE=x+在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2則（x+）2=32+x2，解得x=∴AB=+=2故填：2．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．2．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB，求證：答案:見解析.分析：利用AAS證明：△ADE≌CFE．【詳解】證明：∵FC∥AB∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F所以在△ADE與△CFE中：,∴△ADE≌△CFE.【點睛】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.3．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE答案:證明見解析分析：由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∠B=∠C，∴AC=AB，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）【點睛】本題考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．答案:見解析分析：根據(jù)題意，用AAS證明．【詳解】證明：∵，∴為的角平分線，又∵點P在上，，，∴又∵（公共邊），∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定，利用合適的條件證明三角形全等是本題的關(guān)鍵．5．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E、F在線段BC上，，，，證明：．答案:見解析分析：利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴∠B=∠C，∵，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴．【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，．求的度數(shù)．答案:75°.分析：由三角形的內(nèi)角和定理求出∠DCA=75°，再證明△ABC≌△ADC，即可得到答案.【詳解】∵,,∴∠DCA=75°,∵,,AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BCA=∠DCA=75°.【點睛】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，這是一道比較基礎(chǔ)的三角形題.1．(2023·廣東惠州·惠州一中?？级＃┤鐖D，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（

）A． B． C． D．答案:C分析：由圖形可知，結(jié)合全等三角形的判定方法逐項判斷即可．【詳解】解：在和中∵，，∴當時，滿足，可證明，故選項A符合題意；當時，滿足，可證明，故選項B符合題意；當時，滿足，不能證明，故選項C不符合題意；當時，滿足，可證明，故選項D符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，即，，，和．2．(2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學的知識很快就畫了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據(jù)是（

）A． B． C． D．答案:D分析：根據(jù)圖形中保留的兩個角和它們的公共邊即可判斷依據(jù)．【詳解】解：因為圖形中保留了兩個角和它們的公共邊，∴可以依據(jù)“角邊角”畫一個與書上完全一樣的三角形，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形判定的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意并牢記全等三角形的判定方法．3．（2016·廣東·統(tǒng)考一模）如圖，△ACB≌△，∠BC＝30°，則∠AC的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．35° D．40°答案:B分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：∵△ACB≌△，∴∠ACB=∠，∴∠ACB∠CB=∠∠CB，∴∠AC=∠BC=30°，故選：B．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．4．(2023·廣東深圳·深圳市寶安中學（集團）?？既＃┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD=5，P為AB上一動點，則PD的最小值為(

)A．2 B．3 C．4 D．5答案:D分析：當DP⊥AB時，根據(jù)垂線段最短可知，此時DP的值最?。俑鶕?jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DP=CD解決問題；【詳解】解：當DP⊥AB時，根據(jù)垂線段最短可知，此時DP的值最小．由作圖可知：AE平分∠BAC，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵DP⊥AB，∴DP=CD=5，∴PD的最小值為5，故選：D．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，基本作圖等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用垂線段最短解決最短問題．5．(2023·遼寧營口·一模）如圖，