蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)暑假第04講有理數(shù)乘法與除法練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第04講有理數(shù)乘法與除法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解有理數(shù)的乘法與除法法則；2．能利用有理數(shù)的乘法與除法法則進(jìn)行簡單的有理數(shù)乘法運(yùn)算；(重點(diǎn))3．會(huì)利用有理數(shù)的乘法與除法解決實(shí)際問題．(難點(diǎn))【基礎(chǔ)知識(shí)】一．倒數(shù)（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是．（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒有倒數(shù)．二．有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．（4）方法指引：①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡單．三．有理數(shù)的除法（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a?（b≠0）（2）方法指引：（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．【考點(diǎn)剖析】一．倒數(shù)（共2小題）1．(2023?陽新縣校級(jí)模擬）﹣?﹣5?的倒數(shù)是（）A．5 B．﹣5 C． D．2．(2023?鎮(zhèn)江模擬）的倒數(shù)等于．二．有理數(shù)的乘法（共7小題）3．（真題?佛山月考）計(jì)算：（﹣36）×（）．4．（真題?儀征市期中）規(guī)定：水位上升為正，水位下降為負(fù)：幾天后為正，幾天前為負(fù)．若水位每天下降3cm，今天的水位記為0cm，那么2天前的水位用算式表示正確的是（）A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2） C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣2）5．（2017秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）﹣9936．6．(2023秋?天寧區(qū)校級(jí)月考）學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后，老師給同學(xué)們出了一道題：計(jì)算：17（﹣9）下面是小方給出的答案，請(qǐng)判斷是否正確，若錯(cuò)誤給出正確解答過程．解：原式＝﹣179＝﹣1725．7．（真題?無錫期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞﹣3 B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)+b＞0 D．|a|＞|b|8．（真題?朝陽區(qū)校級(jí)期末）在數(shù)﹣5，1，3，﹣3，4中，任取兩個(gè)數(shù)相乘，所得積的最大是．9．(2023春?阜寧縣校級(jí)月考）規(guī)定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）．（1）計(jì)算：M（5）+M（6）；（2）求2×M(2023）+M(2023）的值；（3）試說明：2×M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．三．有理數(shù)的除法（共11小題）10．(2023?永嘉縣模擬）計(jì)算﹣6÷2的結(jié)果是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣1211．（﹣81）÷（）（﹣16）．12．計(jì)算：（﹣32）÷4×（﹣8）．13．（真題?宜興市月考）如果兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，則這兩個(gè)數(shù)相除所得的商是（）A．一定是負(fù)數(shù) B．一定是正數(shù) C．等于0 D．以上都不是14．（真題?東臺(tái)市期中）有兩個(gè)整數(shù)a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有數(shù)記作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有數(shù)記作[1，4]．若整數(shù)m在[5，15]內(nèi)，整數(shù)n在[﹣30，﹣20]內(nèi)，那么的一切值中屬于整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)15．（真題?大豐區(qū)期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子成立的是（）A．|a|＜|b| B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)+b＞0 D．16．（真題?相城區(qū)月考）下列各式中計(jì)算正確的有（）①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)17．(2023?順義區(qū)一模）《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十…”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米），其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”問題：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得糲米為升．18．（真題?東莞市期中）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y異號(hào)，求x÷y的值．19．(2023秋?交城縣期中）閱讀下題解答：計(jì)算：．分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式．根據(jù)閱讀材料提供的方法，完成下面的計(jì)算：．20．（真題?淮南期中）我們知道，正整數(shù)按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數(shù)和正偶數(shù)，小浩受此啟發(fā)，按照一個(gè)正整數(shù)被3除的余數(shù)把正整數(shù)分成了三類：如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為1，則這個(gè)正整數(shù)屬于A類，例如1，4，7等；如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為2，則這個(gè)正整數(shù)屬于B類，例如2，5，8等；如果一個(gè)正整數(shù)被3整除，則這個(gè)正整數(shù)屬于C類，例如3，6，9等．（1）2020屬于類（填A(yù)，B或C）；（2）①從A類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則它們的和屬于類（填A(yù)，B或C）；②從A類數(shù)中任意取出15個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出16個(gè)數(shù)，從C類數(shù)中任意取出17個(gè)數(shù)，把它們都加起來，則最后的結(jié)果屬于類（填A(yù)，B或C）；（3）從A類數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出n個(gè)數(shù)，把它們都加起來，若最后的結(jié)果屬于C類，則下列關(guān)于m，n的敘述中正確的是（填序號(hào)）．①m+2n屬于C類；②|m﹣n|屬于B類；③m屬于A類，n屬于C類；④m，n屬于同一類．【過關(guān)檢測】一、單選題1．(2023·江蘇）下列各組的兩個(gè)數(shù)中，互為倒數(shù)的是（）A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和2．(2023·江蘇七年級(jí)月考）兩個(gè)不為0的有理數(shù)相除，如果交換被除數(shù)與除數(shù)的位置，它們的商不變，那么這兩個(gè)數(shù)（）A．一定相等 B．一定互為倒數(shù) C．一定互為相反數(shù) D．相等或互為相反數(shù)3．(2023·江蘇七年級(jí)期末）某商場舉辦“迎新春送大禮”的促銷活動(dòng)，全場商品一律打八折銷售．小明買了一件商品，比標(biāo)價(jià)少付了40元，那么他購買這件商品花了（）A．80元 B．120元 C．160元 D．200元4．(2023·興化市樂吾實(shí)驗(yàn)學(xué)校）在1，，，4這四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相乘，所得積最大的是（）A． B． C．4 D．65．(2023·江蘇）已知，試求的值不可能為（）A．3 B．-3 C．0 D．-16．(2023·興化市板橋初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）一個(gè)大于1的正整數(shù)a，與其倒數(shù)，相反數(shù)-a比較，大小關(guān)系正確的是（）A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤7．(2023·江蘇七年級(jí)期中）有兩個(gè)正數(shù)，，且，把大于等于且小于等于的所有數(shù)記作．例如，大于等于且小于等于的所有數(shù)記作．若整數(shù)在內(nèi)，整數(shù)在內(nèi)，那么的一切值中屬于整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．5個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)二、填空題8．(2023·南通市東方中學(xué)七年級(jí)月考）計(jì)算：=______．9．(2023·江蘇南京一中七年級(jí)月考）直接寫出計(jì)算結(jié)果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．10．(2023·江蘇）絕對(duì)值小于2020的所有整數(shù)的和為_____，積為_____．11．(2023·常州市麗華中學(xué)七年級(jí)月考）________×（﹣）＝﹣1．三、解答題12．(2023·江蘇匯文實(shí)驗(yàn)初中）若m、n互為相反數(shù)，p、q互為倒數(shù)，且=6，求的值．13．(2023·常州市麗華中學(xué)七年級(jí)月考）學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后，老師給同學(xué)們出了一道題：計(jì)算：17×（﹣9），下面是小方給出的答案，請(qǐng)判斷是否正確，若錯(cuò)誤給出正確解答過程．解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．14．(2023·南通西藏民族中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算（1）（2）15．(2023·興化市陳堡初級(jí)中學(xué)）在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的“探究”．（提出問題）三個(gè)有理數(shù)a、b、c滿足，求的值．（解決問題）解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即，，時(shí)，則：；②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)，，則：所以：的值為3或-1．（探究）請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足，求的值；（2）已知，，且，求的值．16．(2023·泰州市姜堰區(qū)勵(lì)才實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)月考）學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算后，薛老師給同學(xué)們出了這樣一道題目：計(jì)算：，看誰算得又對(duì)又快兩名同學(xué)給出的解法如下：小強(qiáng)：原式小莉：原式（1）對(duì)于以上兩種解法，你認(rèn)為誰的解法最好？理由是什么？對(duì)你有何啟發(fā)？（2）此題還有其他解法嗎？如果有，用另外的方法把它解出來？17．(2023·江蘇七年級(jí)月考）閱讀下題的計(jì)算方法：計(jì)算：分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．解：所以原式根據(jù)材料提供的方法，嘗試完成下面的計(jì)算：18．(2023·徐州市樹人初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）小軍在計(jì)算時(shí)，使用運(yùn)算律解題過程如下：解：．他的解題過程是否正確？如果不正確，請(qǐng)你幫他改正．第04講有理數(shù)乘法與除法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解有理數(shù)的乘法與除法法則；2．能利用有理數(shù)的乘法與除法法則進(jìn)行簡單的有理數(shù)乘法運(yùn)算；(重點(diǎn))3．會(huì)利用有理數(shù)的乘法與除法解決實(shí)際問題．(難點(diǎn))【基礎(chǔ)知識(shí)】一．倒數(shù)（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是．（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒有倒數(shù)．二．有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．（3）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．（4）方法指引：①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡單．三．有理數(shù)的除法（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a?（b≠0）（2）方法指引：（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．【考點(diǎn)剖析】一．倒數(shù)（共2小題）1．(2023?陽新縣校級(jí)模擬）﹣?﹣5?的倒數(shù)是（）A．5 B．﹣5 C． D．分析：根據(jù)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，可得答案．【解答】解：﹣?﹣5?＝﹣5﹣5的倒數(shù)是：，即﹣?﹣5?的倒數(shù)是．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了倒數(shù)，正確把握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．(2023?鎮(zhèn)江模擬）的倒數(shù)等于2．分析：直接利用倒數(shù)的定義得出答案．【解答】解：的倒數(shù)是：2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了倒數(shù)的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．二．有理數(shù)的乘法（共7小題）3．（真題?佛山月考）計(jì)算：（﹣36）×（）．分析：根據(jù)乘法分配律，可得答案．【解答】解：原式＝﹣36×（）﹣3636＝16﹣30+21＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，利用乘法分配律是解題關(guān)鍵．4．（真題?儀征市期中）規(guī)定：水位上升為正，水位下降為負(fù)：幾天后為正，幾天前為負(fù)．若水位每天下降3cm，今天的水位記為0cm，那么2天前的水位用算式表示正確的是（）A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2） C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣2）分析：根據(jù)題意可以用相應(yīng)的正負(fù)數(shù)表示題目中所求的問題，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，2天前的水位用算式表示是：（﹣3）×（﹣2），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的乘法的運(yùn)算法則，涉及正數(shù)和負(fù)數(shù)的理解，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，用相應(yīng)的正負(fù)數(shù)表示出來．5．（2017秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）﹣9936．分析：先把﹣99寫成﹣100，再根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可．【解答】解：﹣9936＝（﹣100）×36＝﹣100×3636＝﹣3600＝﹣3599．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．6．(2023秋?天寧區(qū)校級(jí)月考）學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后，老師給同學(xué)們出了一道題：計(jì)算：17（﹣9）下面是小方給出的答案，請(qǐng)判斷是否正確，若錯(cuò)誤給出正確解答過程．解：原式＝﹣179＝﹣1725．分析：利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：小方給出的答案錯(cuò)誤；17（﹣9）＝﹣[（17）×9]＝﹣（17×99）＝﹣161．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)的乘法，關(guān)鍵是正確確定積的符號(hào)，掌握乘法分配律．7．（真題?無錫期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞﹣3 B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)+b＞0 D．|a|＞|b|分析：由數(shù)軸上的點(diǎn)得出a與b的正負(fù)及絕對(duì)值的大小，再結(jié)合運(yùn)算法則進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由數(shù)軸可知，﹣4＜a＜﹣3，2＜b＜3，∵a＜﹣3，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵ab＜0，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵|a|＞|b|，a＜0，b＞0，∴a+b＜0，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵|a|＞|b|，∴D選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)的大小，有理數(shù)的加法運(yùn)算，乘法運(yùn)算，由數(shù)軸上的點(diǎn)得出a與b的正負(fù)及絕對(duì)值的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（真題?朝陽區(qū)校級(jí)期末）在數(shù)﹣5，1，3，﹣3，4中，任取兩個(gè)數(shù)相乘，所得積的最大是15．分析：在﹣5，1，3，﹣3，4這五個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的四個(gè)數(shù)是﹣5，3，﹣3，4，再根據(jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)，可得：任取兩個(gè)數(shù)相乘，所得的積最大的是﹣5與﹣3的積．【解答】解：在﹣5，1，3，﹣3，4這五個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相乘，所得的積最大的是：（﹣5）×（﹣3）＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的乘法．解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而?。?．(2023春?阜寧縣校級(jí)月考）規(guī)定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）．（1）計(jì)算：M（5）+M（6）；（2）求2×M(2023）+M(2023）的值；（3）試說明：2×M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．分析：（1）根據(jù)新定義的法則及有理數(shù)乘法的法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)新定義的法則分別計(jì)算2×M（n）與M（n+1），即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M(2023）+M(2023）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022＝2×（﹣22021）+22022＝﹣22022+22022＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1與（﹣2）n+1互為相反數(shù)，∴2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法及相反數(shù)，掌握新定義的含義及有理數(shù)的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．三．有理數(shù)的除法（共11小題）10．(2023?永嘉縣模擬）計(jì)算﹣6÷2的結(jié)果是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣12分析：有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，依此計(jì)算即可求解．【解答】解：﹣6÷2＝﹣3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了有理數(shù)除法，方法指引：（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．11．（﹣81）÷（）（﹣16）．分析：根據(jù)有理數(shù)的乘除法法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝（﹣81）×（）（）＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．12．計(jì)算：（﹣32）÷4×（﹣8）．分析：根據(jù)有理數(shù)乘除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝328＝64．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘除法，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．13．（真題?宜興市月考）如果兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，則這兩個(gè)數(shù)相除所得的商是（）A．一定是負(fù)數(shù) B．一定是正數(shù) C．等于0 D．以上都不是分析：根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由于兩個(gè)有理數(shù)分布在原點(diǎn)兩側(cè)，故必為一正一負(fù)，所以兩個(gè)數(shù)相除所得的商是負(fù)數(shù)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．14．（真題?東臺(tái)市期中）有兩個(gè)整數(shù)a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有數(shù)記作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有數(shù)記作[1，4]．若整數(shù)m在[5，15]內(nèi)，整數(shù)n在[﹣30，﹣20]內(nèi)，那么的一切值中屬于整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)分析：根據(jù)已知條件得出5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20，再得出的范圍，即可得出整數(shù)的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵m在[5，15]內(nèi)，n在[﹣30，﹣20]內(nèi)，∴5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20，∴，即﹣6，∴的一切值中屬于整數(shù)的有﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，﹣6，共5個(gè)；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的除法，求出5≤m≤15和﹣30≤n≤﹣20是解題的關(guān)鍵．15．（真題?大豐區(qū)期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子成立的是（）A．|a|＜|b| B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)+b＞0 D．分析：根據(jù)絕對(duì)值的定義判斷A選項(xiàng)；根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大比較大小判斷B選項(xiàng)；根據(jù)有理數(shù)的加法法則判斷C選項(xiàng)；根據(jù)有理數(shù)的除法法則判斷D選項(xiàng)．【解答】解：A選項(xiàng)，∵|a|＞1，|b|＜1，∴|a|＞|b|，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，a＜b，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)，∵a＜0，b＞0，∴0，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值，數(shù)軸，有理數(shù)的加法，有理數(shù)的除法，掌握兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除是解題的關(guān)鍵．16．（真題?相城區(qū)月考）下列各式中計(jì)算正確的有（）①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)分析：根據(jù)有理數(shù)的乘法和除法法則分別計(jì)算即可得出答案．【解答】解：①原式＝3，故①計(jì)算不正確；②原式＝20，故②計(jì)算不正確；③原式＝1，故③計(jì)算正確；④原式3，故④計(jì)算不正確；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法和除法法則，注意先確定符號(hào)．17．(2023?順義區(qū)一模）《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十…”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米），其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”問題：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得糲米為18升．分析：根據(jù)題意列出算式，再按照法則計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：3×10÷（50÷30）＝30＝30＝18（升），答：可以換得的糲米為18升．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的乘除法的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式是解題關(guān)鍵．18．（真題?東莞市期中）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y異號(hào)，求x÷y的值．分析：根據(jù)絕對(duì)值的意義求得x和y的值，然后再根據(jù)x，y異號(hào)確定x和y的取值，最后代入計(jì)算即可．【解答】解：∵|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，∴x﹣1＝±2，y+1＝±3，解得：x＝3或﹣1，y＝2或﹣4，又∵x，y異號(hào)，∴x＝3，y＝﹣4或x＝﹣1，y＝2，當(dāng)x＝3，y＝﹣4時(shí)，x÷y，當(dāng)x＝﹣1，y＝2時(shí)，x÷y，綜上，x÷y的值為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值的意義，有理數(shù)的除法運(yùn)算，理解絕對(duì)值的定義，掌握有理數(shù)除法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．19．(2023秋?交城縣期中）閱讀下題解答：計(jì)算：．分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式．根據(jù)閱讀材料提供的方法，完成下面的計(jì)算：．分析：原式根據(jù)閱讀材料中的計(jì)算方法變形，計(jì)算即可即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：[（）2×（﹣6）]÷（）＝[（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，則原式．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（真題?淮南期中）我們知道，正整數(shù)按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數(shù)和正偶數(shù)，小浩受此啟發(fā)，按照一個(gè)正整數(shù)被3除的余數(shù)把正整數(shù)分成了三類：如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為1，則這個(gè)正整數(shù)屬于A類，例如1，4，7等；如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為2，則這個(gè)正整數(shù)屬于B類，例如2，5，8等；如果一個(gè)正整數(shù)被3整除，則這個(gè)正整數(shù)屬于C類，例如3，6，9等．（1）2020屬于A類（填A(yù)，B或C）；（2）①從A類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則它們的和屬于B類（填A(yù)，B或C）；②從A類數(shù)中任意取出15個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出16個(gè)數(shù)，從C類數(shù)中任意取出17個(gè)數(shù)，把它們都加起來，則最后的結(jié)果屬于B類（填A(yù)，B或C）；（3）從A類數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出n個(gè)數(shù)，把它們都加起來，若最后的結(jié)果屬于C類，則下列關(guān)于m，n的敘述中正確的是①④（填序號(hào)）．①m+2n屬于C類；②|m﹣n|屬于B類；③m屬于A類，n屬于C類；④m，n屬于同一類．分析：（1）計(jì)算2020÷3，根據(jù)計(jì)算結(jié)果即可求解；（2）①從A類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即可求解；②從A類數(shù)中任意取出15個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出16個(gè)數(shù)，從C類數(shù)中任意取出17個(gè)數(shù)，把它們的余數(shù)相加，再除以3，根據(jù)余數(shù)判斷即可求解；（3）根據(jù)m，n的余數(shù)之和，舉例，觀察即可判斷．【解答】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余數(shù)為1，屬于A類；故答案為：A；（2）①從A類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余數(shù)為2，則它們的和屬于B類；②從A類數(shù)中任意取出15個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出16個(gè)數(shù)，從C類數(shù)中任意取出17個(gè)數(shù)，把它們的余數(shù)相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47，47÷3＝15…2，∴余數(shù)為2，屬于B類；故答案為：①B；②B；（3）從A類數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出n個(gè)數(shù)，余數(shù)之和為：m×1+n×2＝m+2n，∵最后的結(jié)果屬于C類，∴m+2n能被3整除，即m+2n屬于C類，①正確；②若m＝1，n＝1，則|m﹣n|＝0，不屬于B類，②錯(cuò)誤；③若m＝1，n＝1，③錯(cuò)誤；④觀察可發(fā)現(xiàn)若m+2n屬于C類，m，n必須是同一類，④正確；綜上，①④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義的應(yīng)用和有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義進(jìn)行解答．【過關(guān)檢測】一、單選題1．(2023·江蘇）下列各組的兩個(gè)數(shù)中，互為倒數(shù)的是（）A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和答案:B分析：根據(jù)倒數(shù)的意義，兩個(gè)數(shù)的積等于1，這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，分別把每組的兩個(gè)數(shù)相乘，看其積是否等于1；據(jù)此解答．【詳解】解：A、3×=-9，不是互為倒數(shù)；

B、，是互為倒數(shù)；

C、，不是互為倒數(shù)；

D、，不是互為倒數(shù)；

故選：B．【點(diǎn)睛】本題是考查倒數(shù)的意義及特征，判斷兩個(gè)數(shù)是否是互為倒數(shù)，可以根據(jù)倒數(shù)的意義，也可看兩個(gè)數(shù)的分子、分母的位置是否相反（整數(shù)看作分母為1的分?jǐn)?shù)）．2．(2023·江蘇七年級(jí)月考）兩個(gè)不為0的有理數(shù)相除，如果交換被除數(shù)與除數(shù)的位置，它們的商不變，那么這兩個(gè)數(shù)（）A．一定相等 B．一定互為倒數(shù) C．一定互為相反數(shù) D．相等或互為相反數(shù)答案:D分析：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為a，b，根據(jù)題意可得，從而可得，從而判斷出a和b的關(guān)系.【詳解】設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為a，b依題意可得：化簡得：∴a=b或a=-b故答案選擇：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的除法：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù).3．(2023·江蘇七年級(jí)期末）某商場舉辦“迎新春送大禮”的促銷活動(dòng)，全場商品一律打八折銷售．小明買了一件商品，比標(biāo)價(jià)少付了40元，那么他購買這件商品花了（）A．80元 B．120元 C．160元 D．200元答案:C分析：八折是指售價(jià)是標(biāo)價(jià)的80%，把標(biāo)價(jià)看成單位“1”，實(shí)際少付的錢數(shù)就是標(biāo)價(jià)的（1-80%），它對(duì)應(yīng)的數(shù)量是40元，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用40除以（1-80%）即可求出標(biāo)價(jià)，再減去40元，就是實(shí)際花的錢數(shù)．【詳解】解：40÷（1-80%）

=40÷20%

=200（元）

200-40=160（元）

答：他購買這件商品花了160元．

故選：C．【點(diǎn)睛】解決本題關(guān)鍵是理解打折的含義，找出單位“1”，再根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義求出標(biāo)價(jià)，從而解決問題．4．(2023·興化市樂吾實(shí)驗(yàn)學(xué)校）在1，，，4這四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相乘，所得積最大的是（）A． B． C．4 D．6答案:D分析：根據(jù)有理數(shù)的乘法以及有理數(shù)的大小比較，列出乘積最大的算式計(jì)算即可得解．【詳解】解：所得的積最大的是：．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘法，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．(2023·江蘇）已知，試求的值不可能為（）A．3 B．-3 C．0 D．-1答案:C分析：根據(jù)可分情況，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：∵，∴當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，=1+1+1=3，當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，=1-1-1=-1，當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，=-1+1-1=-1，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，=-1-1-1=-3，∴的值不可能為0，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)和有理數(shù)的乘法．一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．6．(2023·興化市板橋初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）一個(gè)大于1的正整數(shù)a，與其倒數(shù)，相反數(shù)-a比較，大小關(guān)系正確的是（）A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤答案:B分析：先根據(jù)倒數(shù)、相反數(shù)的定義可得，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則即可得．【詳解】因?yàn)?，且為正整?shù)，所以，所以，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、有理數(shù)的大小比較法則，熟練掌握倒數(shù)與相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．7．(2023·江蘇七年級(jí)期中）有兩個(gè)正數(shù)，，且，把大于等于且小于等于的所有數(shù)記作．例如，大于等于且小于等于的所有數(shù)記作．若整數(shù)在內(nèi)，整數(shù)在內(nèi)，那么的一切值中屬于整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．5個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)答案:A分析：先根據(jù)題意確定m、n的范圍，然后用列舉法即可解答．【詳解】解：∵整數(shù)在內(nèi)，整數(shù)在內(nèi)∴5≤m≤15，-30≤n≤-20∴，即∴的一切值中屬于整數(shù)有-2、-3、-4、-5、-6．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的除法，根據(jù)題意確定m、n的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題8．(2023·南通市東方中學(xué)七年級(jí)月考）計(jì)算：=______．答案:-28分析：根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算．【詳解】解：=-28，故答案為：-28．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．9．(2023·江蘇南京一中七年級(jí)月考）直接寫出計(jì)算結(jié)果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．答案:﹣2020分析：根據(jù)乘法的交換和結(jié)合律，進(jìn)行簡便計(jì)算，即可求解．【詳解】解：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝（﹣8）×（﹣0.125）×（﹣2020）＝1×（﹣2020）＝﹣2020．故答案為：﹣2020．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，掌握乘法交換律和結(jié)合律，是解題的關(guān)鍵．10．(2023·江蘇）絕對(duì)值小于2020的所有整數(shù)的和為_____，積為_____．答案:00分析：根據(jù)題意寫出絕對(duì)值小于2020的所有整數(shù)，然后進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵絕對(duì)值小于2020的所有整數(shù)是：0、±1、±2、…、±2019，∴絕對(duì)值小于2020的所有整數(shù)的和為0，積為0．故答案為：0、0．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的加法及乘法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．11．(2023·常州市麗華中學(xué)七年級(jí)月考）________×（﹣）＝﹣1．答案:分析：根據(jù)題意直接利用倒數(shù)積為1進(jìn)行分析即可得答案．【詳解】解：×（﹣）＝﹣1，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法法則．三、解答題12．(2023·江蘇匯文實(shí)驗(yàn)初中）若m、n互為相反數(shù)，p、q互為倒數(shù)，且=6，求的值．答案:4或分析：先根據(jù)相反數(shù)的定義，倒數(shù)的定義，絕對(duì)值的含義，求解的值，再整體代入即可得到答案.【詳解】解：互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式綜上：代數(shù)式的值為或【點(diǎn)睛】本題考查的是相反數(shù)的定義，倒數(shù)的定義，絕對(duì)值的含義，有理數(shù)的加減運(yùn)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.13．(2023·常州市麗華中學(xué)七年級(jí)月考）學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后，老師給同學(xué)們出了一道題：計(jì)算：17×（﹣9），下面是小方給出的答案，請(qǐng)判斷是否正確，若錯(cuò)誤給出正確解答過程．解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．答案:小方給出的答案錯(cuò)誤；原式=﹣161．分析：根據(jù)題意直接利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：小方給出的答案錯(cuò)誤；17×（﹣9）＝﹣[（17+）×9]＝﹣（17×9+×9）＝﹣161．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是正確確定積的符號(hào)并熟練掌握乘法分配律．14．(2023·南通西藏民族中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算（1）（2）答案:（1）-5；（2）分析：（1）原式利用乘法分配律計(jì)算即可得到結(jié)果；

（2）原式變形后，利用乘法分配律計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】解：（1）原式=-9+30-28+2=-5；

（2）原式=