新人教版高二暑期數(shù)學(xué)銜接第16講拋物線講義(學(xué)生版+解析)

第16講拋物線【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)2.通過拋物線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想．3.了解拋物線的簡單應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】一、拋物線的概念1.平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．【解讀】(1)定直線l不經(jīng)過定點(diǎn)F.(2)定義中包含三個定值,分別為一個定點(diǎn),一條定直線及一個確定的比值.特別提醒：平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡不一定是拋物線.2.拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義,拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,因此,由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化,從而簡化某些問題.(2)解決最值問題.在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí),往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化折線為直線解決最值問題.與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑．二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下【解讀】1.利用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)依據(jù)條件設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.(2)求參數(shù)p的值.(3)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對稱性:解決拋物線的內(nèi)接三角形問題.(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線:解決與拋物線的定義有關(guān)的問題.(3)范圍:解決與拋物線有關(guān)的最值問題.(4)焦點(diǎn):解決焦點(diǎn)弦問題.3.應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧(1)拋物線的中點(diǎn)弦問題用點(diǎn)差法較簡便.(2)軸對稱問題,一是抓住對稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上,二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系.(3)在直線和拋物線的綜合題中,經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題.解決這類問題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化.三、直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時(shí)直線與拋物線有一個交點(diǎn),該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個交點(diǎn):當(dāng)Δ=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個交點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),直線與拋物線相離,無公共點(diǎn).特別提醒:判斷直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)注意斜率是否存在,是否為0的情況討論.四、拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值問題求拋物線上的點(diǎn)到直線l距離最小值問題,方法一是設(shè)上的點(diǎn),利用點(diǎn)到直線的距離公式把距離問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次函數(shù),配方求最值,方法二是確定與l平行的切線,把問題轉(zhuǎn)化為兩平行線之間的距離或切點(diǎn)到直線距離.五、拋物線基礎(chǔ)性質(zhì)(1)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)A、O、三點(diǎn)共線；(9)B、O、三點(diǎn)共線；(10)；(11)(定值)；(12)；；(13)垂直平分；(14)垂直平分；(15)；(16)；(17)；(18)；(19);(20);(21).(22)切線方程HYPERLINK六、拋物線的焦點(diǎn)弦與切線過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)作拋物線的切線,則(1)切線交點(diǎn)在準(zhǔn)線上(2)切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線平行于對稱軸(3)弦AB不過焦點(diǎn)即切線交點(diǎn)P不在準(zhǔn)線上時(shí),切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線也平行于對稱軸．反之：(1)過拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線,則過兩切點(diǎn)的弦必過焦點(diǎn)(2)過準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線,過兩切點(diǎn)的弦最短時(shí),即為通徑．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：拋物線的方程例1．(2023學(xué)年四川省射洪中學(xué)校高二下學(xué)期期中)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為(

)A． B．C． D．考點(diǎn)二：拋物線定義的應(yīng)用例2．(2023學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰二中高二下學(xué)期第二次月考)已知的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且F為拋物線的焦點(diǎn)，若，則(

)A．12 B．10 C．9 D．6考點(diǎn)三：拋物線的性質(zhì)例3．(多選)(2023學(xué)年湖南省邵陽市第二中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則(

)A．焦點(diǎn)的坐標(biāo)為B．過點(diǎn)恰有2條直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)C．直線與拋物線相交所得弦長為8D．拋物線與圓交于兩點(diǎn)，則考點(diǎn)四：距離最值問題例4．(2023學(xué)年貴州省遵義市第四中學(xué)高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測)點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，P不在直線AF上，則△PAF的周長的最小值是(

)A．4 B．6 C． D．考點(diǎn)五：與拋物線有關(guān)的定點(diǎn)問題例5．(2023-2021學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪袥艽h高二下學(xué)期期末)已知F為拋物線的焦點(diǎn)，M為拋物線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且軸，．(1)求拋物線的方程；(2)直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若，問直線l是否過定點(diǎn)，若恒過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)，否則，請說明理由．考點(diǎn)六：與拋物線有關(guān)的定值問題例6．(2023學(xué)年四川省南充市閬中中學(xué)校高二下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測)已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則_________.考點(diǎn)七：與拋物線有關(guān)的面積最值問題例7．(2023學(xué)年重慶市第八中學(xué)校高二下學(xué)期期中)在平面直角坐標(biāo)系中，一動圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點(diǎn).(1)求曲線K的方程；(2)過點(diǎn)A且斜率為k的直線l與曲線K交于B?C兩點(diǎn)，若且直線OP與直線交于Q點(diǎn).求的值；(3)若點(diǎn)D?E在y軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值.【真題演練】1．(2023年高考全國卷=1\*ROMANI)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p= ()A．2 B．3 C．6 D．92．(2023年高考全國卷Ⅲ)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ()A． B． C． D．3.(多選)(2023新高考全國卷=2\*ROMANII)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,點(diǎn),若,則A.直線的斜率為 B.C. D.4.(多選)(2023新高考全國卷=1\*ROMANI)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,過點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則A.C的準(zhǔn)線為 B.直線AB與C相切C. D.5.(2023學(xué)年江蘇省南師附中高二下學(xué)期期末)已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則到直線的距離為______.6.(2023學(xué)年遼寧省葫蘆島市高二上學(xué)期期末)已知拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)B在C上，若點(diǎn)B，O，F(xiàn)構(gòu)成一個斜三角形，則______．7.(2023高考全國卷=2\*ROMANII)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．(1)求C，的方程；(2)設(shè)是C上的三個點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．8．(2023高考全國卷=1\*ROMANI)已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．(1)求；(2)若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【過關(guān)檢測】1.設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線C上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線(

)A．經(jīng)過點(diǎn) B．經(jīng)過點(diǎn)C．平行于直線 D．垂直于直線2.(2023學(xué)年河南省安陽市高二下學(xué)期階段性測試)已知拋物線C的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)為.過F且斜率為正的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則l的方程為(

)A． B．C． D．3.已知曲線C：y2＝2px(p＞0)，過它的焦點(diǎn)F作直線交曲線C于M、N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，可證明是一個定值m，則m＝()A． B．1 C．2 D．4.(2023學(xué)年湖北省宜昌市英杰學(xué)校高二上學(xué)期12月月月考)過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，于，于，則四邊形的面積為(

)A．32 B． C．64 D．5.(多選)(2023學(xué)年湖南省長沙市南雅中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知拋物線C：，圓F：(F為圓心)，點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)Q在圓F上，點(diǎn)A，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．的最小值是 B．的最小值是C．當(dāng)最大時(shí)， D．當(dāng)最小時(shí)，6.(多選)(2023學(xué)年重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校高二上學(xué)期月考)已知拋物線的焦點(diǎn)為，?是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若直線過點(diǎn)，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為7.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，如果在直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．8.(2023學(xué)年河南省安陽市高二下學(xué)期5月月考)已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在軸的上方)，則______．9.(2023學(xué)年山西省太原市山西大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期6月診斷)已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)在C上，且．(1)求C的方程：(2)P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求線段AB的長．10.(2023學(xué)年云南省玉溪第一中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，.(1)求拋物線的方程；(2)兩條互相垂直的直線均過點(diǎn)，其中一條與交于兩點(diǎn)，另一條與直線交于點(diǎn)，判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由.第16講拋物線【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)2.通過拋物線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想．3.了解拋物線的簡單應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】一、拋物線的概念1.平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．【解讀】(1)定直線l不經(jīng)過定點(diǎn)F.(2)定義中包含三個定值,分別為一個定點(diǎn),一條定直線及一個確定的比值.特別提醒：平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡不一定是拋物線.2.拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義,拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,因此,由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化,從而簡化某些問題.(2)解決最值問題.在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí),往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化折線為直線解決最值問題.與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑．二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下【解讀】1.利用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)依據(jù)條件設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.(2)求參數(shù)p的值.(3)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對稱性:解決拋物線的內(nèi)接三角形問題.(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線:解決與拋物線的定義有關(guān)的問題.(3)范圍:解決與拋物線有關(guān)的最值問題.(4)焦點(diǎn):解決焦點(diǎn)弦問題.3.應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧(1)拋物線的中點(diǎn)弦問題用點(diǎn)差法較簡便.(2)軸對稱問題,一是抓住對稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上,二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系.(3)在直線和拋物線的綜合題中,經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題.解決這類問題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化.三、直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時(shí)直線與拋物線有一個交點(diǎn),該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個交點(diǎn):當(dāng)Δ=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個交點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),直線與拋物線相離,無公共點(diǎn).特別提醒:判斷直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)注意斜率是否存在,是否為0的情況討論.四、拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值問題求拋物線上的點(diǎn)到直線l距離最小值問題,方法一是設(shè)上的點(diǎn),利用點(diǎn)到直線的距離公式把距離問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次函數(shù),配方求最值,方法二是確定與l平行的切線,把問題轉(zhuǎn)化為兩平行線之間的距離或切點(diǎn)到直線距離.五、拋物線基礎(chǔ)性質(zhì)(1)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)A、O、三點(diǎn)共線；(9)B、O、三點(diǎn)共線；(10)；(11)(定值)；(12)；；(13)垂直平分；(14)垂直平分；(15)；(16)；(17)；(18)；(19);(20);(21).(22)切線方程HYPERLINK六、拋物線的焦點(diǎn)弦與切線過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)作拋物線的切線,則(1)切線交點(diǎn)在準(zhǔn)線上(2)切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線平行于對稱軸(3)弦AB不過焦點(diǎn)即切線交點(diǎn)P不在準(zhǔn)線上時(shí),切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線也平行于對稱軸．反之：(1)過拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線,則過兩切點(diǎn)的弦必過焦點(diǎn)(2)過準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線,過兩切點(diǎn)的弦最短時(shí),即為通徑．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：拋物線的方程例1．(2023學(xué)年四川省射洪中學(xué)校高二下學(xué)期期中)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為(

)A． B．C． D．答案:B解析：依題意，設(shè)拋物線方程為，于是得，解得，所以所求拋物線方程是.故選B考點(diǎn)二：拋物線定義的應(yīng)用例2．(2023學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰二中高二下學(xué)期第二次月考)已知的三個頂點(diǎn)都在拋物線上，且F為拋物線的焦點(diǎn)，若，則(

)A．12 B．10 C．9 D．6答案:C解析：由，得.設(shè)A，B，C的縱坐標(biāo)分別是，由，有，即.由拋物線的定義可得:.故選C考點(diǎn)三：拋物線的性質(zhì)例3．(多選)(2023學(xué)年湖南省邵陽市第二中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則(

)A．焦點(diǎn)的坐標(biāo)為B．過點(diǎn)恰有2條直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)C．直線與拋物線相交所得弦長為8D．拋物線與圓交于兩點(diǎn)，則答案:ACD解析：由題可知拋物線方程為，對于A，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A正確，對于B，過點(diǎn)有拋物線的2條切線，還有，共3條直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)，故B錯誤，對于C，，弦長為，故C正確對于D，，解得(舍去)，交點(diǎn)為，有，故D正確故選ACD考點(diǎn)四：距離最值問題例4．(2023學(xué)年貴州省遵義市第四中學(xué)高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測)點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，P不在直線AF上，則△PAF的周長的最小值是(

)A．4 B．6 C． D．答案:C解析：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，故△PAF的周長為，，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)周長最小，為，故選C考點(diǎn)五：與拋物線有關(guān)的定點(diǎn)問題例5．(2023-2021學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪袥艽h高二下學(xué)期期末)已知F為拋物線的焦點(diǎn)，M為拋物線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且軸，．(1)求拋物線的方程；(2)直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若，問直線l是否過定點(diǎn)，若恒過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)，否則，請說明理由．解析：(1)∵軸，且，∴，代入，得，∴．(2)設(shè)，則．由可得設(shè)，則∵，則，∴，即或．∴或，∴恒過與M重合(舍)或恒過．綜上，直線l是恒過定點(diǎn)考點(diǎn)六：與拋物線有關(guān)的定值問題例6．(2023學(xué)年四川省南充市閬中中學(xué)校高二下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測)已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則_________.答案:解析：設(shè)，由得，所以，，，，．考點(diǎn)七：與拋物線有關(guān)的面積最值問題例7．(2023學(xué)年重慶市第八中學(xué)校高二下學(xué)期期中)在平面直角坐標(biāo)系中，一動圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點(diǎn).(1)求曲線K的方程；(2)過點(diǎn)A且斜率為k的直線l與曲線K交于B?C兩點(diǎn)，若且直線OP與直線交于Q點(diǎn).求的值；(3)若點(diǎn)D?E在y軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值.解析：(1)由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡方程為；(2)設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消去y得，∴，∴，設(shè)，，∴，，又，，∴，∵，∴設(shè)直線OP的方程為，聯(lián)立，消y得，∴，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，的值為1．(3)設(shè)，，，直線PD的方程為，由題可知圓心到PD的距離為2，即，整理得，同理可得，∴，可知b，c是方程的兩根，∴，，由圖依題意可知，即，則，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號，∴面積的最小值為32．【真題演練】1．(2023年高考全國卷=1\*ROMANI)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p= ()A．2 B．3 C．6 D．9答案:C解析：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，即，解得．故選C．2．(2023年高考全國卷Ⅲ)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ()A． B． C． D．答案:B解析：因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選B．3.(多選)(2023新高考全國卷=2\*ROMANII)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,點(diǎn),若,則A.直線的斜率為 B.C. D.答案:ACD解析：對于A,易得,由可得點(diǎn)在的垂直平分線上,則點(diǎn)橫坐標(biāo)為,代入拋物線可得,則,則直線的斜率為,A正確；對于B,由斜率為可得直線的方程為,聯(lián)立拋物線方程得,設(shè),則,則,代入拋物線得,解得,則,則,B錯誤；對于C,由拋物線定義知：,C正確；對于D,,則為銳角,又,則為銳角,,D正確.故選ACD.4.(多選)(2023新高考全國卷=1\*ROMANI)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,過點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則A.C的準(zhǔn)線為 B.直線AB與C相切C. D.答案:BCD解析：將點(diǎn)坐標(biāo)代入得,所以拋物線C的方程為,故準(zhǔn)線方程為,A錯誤；,所以直線的方程為,聯(lián)立,可得,解得,故B正確；設(shè)過的直線為,若直線與軸重合,則直線與拋物線只有一個交點(diǎn),所以,直線的斜率存在,設(shè)其方程為,,聯(lián)立,得,所以,所以或,,又,,所以,故C正確；因?yàn)?,所以,而,故D正確.故選BCD5.(2023學(xué)年江蘇省南師附中高二下學(xué)期期末)已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則到直線的距離為______.答案:解析：，設(shè)，因?yàn)?，所以，不妨取，則,,則，故到距離為.6.(2023學(xué)年遼寧省葫蘆島市高二上學(xué)期期末)已知拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)B在C上，若點(diǎn)B，O，F(xiàn)構(gòu)成一個斜三角形，則______．答案:2解析：如下圖，令，直線為拋物線準(zhǔn)線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.7.(2023高考全國卷=2\*ROMANII)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．(1)求C，的方程；(2)設(shè)是C上的三個點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．解析：(1)依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；(2)設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時(shí)該直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，，此時(shí)直線關(guān)于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切．8．(2023高考全國卷=1\*ROMANI)已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．(1)求；(2)若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．解析：(1)拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；(2)拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值．【過關(guān)檢測】1.設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線C上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線(

)A．經(jīng)過點(diǎn) B．經(jīng)過點(diǎn)C．平行于直線 D．垂直于直線答案:A解析：如圖所示：．因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn).2.(2023學(xué)年河南省安陽市高二下學(xué)期階段性測試)已知拋物線C的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)為.過F且斜率為正的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則l的方程為(

)A． B．C． D．答案:D解析：依題意，拋物線C的方程：，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)其方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)，于是得，而直線l的斜率為正，且，即，有，即有，則，解得，因此，解得，所以直線l的方程為：，即.故選D3.已知曲線C：y2＝2px(p＞0)，過它的焦點(diǎn)F作直線交曲線C于M、N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，可證明是一個定值m，則m＝()A． B．1 C．2 D．答案:A解析：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(，0)，準(zhǔn)線的方程為：x，由題意可得直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為：x＝ty，設(shè)t＞0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立，整理可得：，所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t(t1+y2)+p＝2pt2+p，所以MN的中點(diǎn)Q(pt2，pt)，由拋物線的性質(zhì)可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p(1+t2)，|QF|pt，由直線MN的方程可得tan∠QFP，所以cos∠QFP，由題意在Rt△QFP中，|PF|p(1+t2)，所以為定值，所以m的值為，故選A．4.(2023學(xué)年湖北省宜昌市英杰學(xué)校高二上學(xué)期12月月月考)過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，于，于，則四邊形的面積為(

)A．32 B． C．64 D．答案:D解析：由拋物線得其焦點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，整理得，即，解得，所以，所以，，，所以四邊形的面積為，故選D.5.(多選)(2023學(xué)年湖南省長沙市南雅中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知拋物線C：，圓F：(F為圓心)，點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)Q在圓F上，點(diǎn)A，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．的最小值是 B．的最小值是C．當(dāng)最大時(shí)， D．當(dāng)最小時(shí)，答案:AC解析：拋物線C：的焦點(diǎn)，圓F：的圓心，半徑，對于A，的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，的最小值是，A正確