第6章空間向量與立體幾何【壓軸題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)（蘇教版2019選擇性必修第二冊(cè)）（解析版）

2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)過(guò)過(guò)過(guò)【壓軸題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】

第6章空間向量與立體幾何

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.若。4=(〃?,",0),C?=(0,-,/?),尸(0,1,0),\AF\=m+\,\BF\=p+\,則m+p的最小值為(

n

)

A.0B.2C.3D.6

【答案】A

【解析】vOA=(m,n,0),麗=(0,±p),F(0,1,0),\AF\=m+\,\BF\=p+l,

n

m24-(1-n)2=m2+2/n+1

一(--l)2+p2=p2+2p+l,

、n

整理得：2(/n4-p)="+^)-2(/?+—),

n~n

令,=〃+則〃2+二=/一8,且/￡(…，-4]ll[4,+8),

nrr

/.2(m+〃)=/-2/—8=。一I)?一9…一9,

/.當(dāng)，=4時(shí)，m+p..O.

「.〃?+p的最小值為0.

故選A.

2.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，已知西=(1,2,3),礪=(2,1,2),9=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，

則當(dāng)QA^QB取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()

【答案】C

【解析】???點(diǎn)。在直線OP上運(yùn)動(dòng)，.?.存在實(shí)數(shù)％使得而=2麗=。，2,22),

?.(2A=(l-2,2-2,3-22),0B=(2-2,1-2,2-22).

QA^QB=(1-2)(2-A)+(2-2)(1-2)+(3-22)(2-22)

,4,98

=6/l2-16/1+10=6(/1——)2——

33

當(dāng)且僅當(dāng)2=-時(shí)，上式取得最小值,

3

.屁，*).

故選C.

3.設(shè)向量及=(a,6,0),W=(c,d,l),其中儲(chǔ)=才+”2=1,則下列判斷錯(cuò)誤的是()

A.向量正與z軸正方向的夾角為定值(與c,”之值無(wú)關(guān))

B.必D的最大值為0

C.它與爐的夾角的最大值為四

4

D.〃4+歷的最大值為1

【答案】B

【解析】由向量4=(。,6,0),戶(hù)=(c,d,l),其中/+加=。2+f=[,知:

在A中，設(shè)z軸正方向的方向向量2=(0,0,0,

向量戶(hù)與z軸正方向的夾角的余弦值：

z-vtV2

cosa=------=—.—=——，a=45°,

⑶問(wèn)，出+虐+12

.?.向量爐與z軸正方向的夾角為定值45。(與c,d之值無(wú)關(guān))，故A正確:

2

在B中,u-v=ac+bd,,—+芷1+〃+3

且僅當(dāng)a=c,b=d時(shí)取等號(hào),因此訃戶(hù)的最大值為1,故3錯(cuò)誤;

在C中，由B可得：|日可|,,1,掇憶-1,

u-vac+bd1=_也

COS<M-V>=

|w|-|v|y/a2+h2-{c1+i+11xV2-2

，五與D的夾角的最大值為丑，故C正確；

4

7,2.9O21>>9C

“r、+】CT+d-b-+c~a-+h-+d-1

在。中，ad+be,,------+------=---------------=1,

222

.,.ad+bc的最大值為1.故O正確.

故選B.

4.已知空間向量方=(1,0,0),OB=(1,1,0),OC=(0,0,1),向量而=》函+)。豆+Z麗，且

4x+2y+z=4,則|0P|不可能是()

13

BC4

A.2-2-

【解析】04=(1,0,0),OB=(1,1,0),00=(0,0,1),

OP=xOA+yOB+zOC=(x+j?,y,z),旦4x+2y+z=4,

/.OP=(x+))2+y2+z2

=(x+y)2+y24-(4-4x-2y)2

=17x2+6y2+18J^-32^-163<+16

?9y-16211616

=17(x-----------)x2+—(y+—)+—..r—

1717212121

|9|不可能是」.

2

故選A.

5.在空間直角坐標(biāo)系。—孫z中，AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1)，平面a的一個(gè)法向量為詡=(-1,

0,1),則平面a與平面ABC夾角的正弦值為()

R6

AV33叵

A.-----D.-------C.D.

6644

【答案】A

【解析】vAB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為“=(x,y,z),

n-AB=x-y=0一,、.

可得?,不妨％=1,n貝ijy=l,z=2,所以元=(1,1,2)

n?BC=-2x+z=0

乂平面a的一個(gè)法向量為玩=(-1,0,1)?

-1+2一正

平面a與平面ABC夾角的余弦函數(shù)值：II_一,

V14-1+4V1+16

平面a與平面MC夾角的正弦值為：叵

6

故選A.

6.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,尸在平面A81GA內(nèi)，若|AE|=后，ACA.DF,則下

列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）

A.點(diǎn)￡的軌跡是圓的一部分

B.點(diǎn)E的軌跡是一條線段

C.|E用的最小值為0-1

D.AE與平面ABO所成角的正弦值的最大值為姮"亙

【答案】D

【解析】對(duì)于A，在正方體48CO-AMG。中，

A41_L平面ABCQ，AEu平面ABCQ，

/._LAE,

故AE?=AA?+a￡,則有A￡=1,

.?.點(diǎn)E的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓的一部分，故A正確；

對(duì)于B,在正方體中，ACJ_平面筋

.ACA-DF,二￡）;:'匚平面5避。2，

故F在&R上，

.?.尸的軌跡是線段4R,故8正確；

時(shí)于c,IEFI的最小值即為求線段40上的點(diǎn)到以A為圓心，1為半徑的圓的最小距離,

乂圓心4到線段BR的距離為d=夜，

；.|EF|的最小值為夜-1,故C正確；

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)分別以4?、AD.44，所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

?.?點(diǎn)E的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓，

故設(shè)E(cos6,sin。，2),0e[O,1],

則A(0,0,0),4(0,0,2),BQ,0,0),0(0,2,0),

AE=(cos6?,sin。，2),A8=(2,0,?2),BD=(?2,2,0),

設(shè)平面ABD的法向量為弁=(x,y,z),

...[n-A.B=2x-2z=0人M11<

則\_，令％=1,則y=1,z=1?

[n-BD=-2x+2y=0

故開(kāi)=(1,1,1),

設(shè)/IE與平面ABD所成的角為a，

夜sin(<9+")+2

伽.?-1心從笈1|sin，+cos9+2|

則sma=|cos<〃,AE|=一_________4

\n\\AE\~石x6V15

當(dāng)。=三時(shí)，sina有最大值與2=冬叵土叵，

4V1515

故AE與平面ABD所成角的正弦值的最大值為2嗎；聞,故。錯(cuò)誤.

故選D.

7.如圖，正方體48co-A4CQ的棱長(zhǎng)為a,￡是。2的中點(diǎn)，則（）

A.直線gE//平面A3。

B.B.ELBD,

c.三棱錐G-4CE的體積為g/

R

D.直線qE與平面8RG所成的角正切值為9粉

【答案】D

【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，AB.AD,你所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則5(。，0,0),C((a,a,0),0(0,a,0),A(0,0,a),B](a,0,〃)，E(0,a,去，0,(0,

a,a),

所以窄=(—a,a,一殳，AJB=(a,0,-a),BD=(-ata,0),

對(duì)于A,設(shè)平面A8D的一個(gè)法向量為元=(%,y,z),

,n-AB=cix-az=0人,“

則It__.,令x=1,則rily=z=1,

n-BD=-ax+ay=0

所以平面AB。的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(1,1,1),

又因?yàn)椤?線E=—a+a——=――0，

22

所以元與豆了不垂直，故直線與E與平面AB。不平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,BtE=(-a,a,-^),BDt=(-a,a,a),

---./7

所以B[E.BD]=-ax(-a)+axa+(~~)x^=0,

所以直線與E與8R不垂直，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C,三棱錐G-gCE的體積等于三棱錐E-CfC的體積，

.2??3

義S僅cc=—。義a=—，乂詩(shī)為。，所以/_分仃=一乂一/xa=一，故C錯(cuò)誤;

22?Cj_z?ivc326

對(duì)于￡),平面CQRG的一個(gè)法向量為A/5=(0,a,0),以片￡=(-。，a,,

設(shè)直線BtE與平面CDD?所成的角為6,

2

所以sin6=

3

可求得cos0=yj\-sin20=(噫e,

32

所以tan6=半，所以直線BE與平面CDRG所成的角正切值為半，故。正確.

故選D.

8.如圖，在正方形中，點(diǎn)E,尸分別是線段A￡),8C上的動(dòng)點(diǎn)，且他=3尸，AC與EF交于G,EF在

A3與C￡＞之間滑動(dòng)，但與和8均不重合.在斯任一確定位置，將四邊形EFCD沿直線EF折起，

使平面EFCD_L平面ABFE,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()

A.NAGC的角度不會(huì)發(fā)生變化

B.二面角G-AC-3先變大后變小

C.AC與平面ABFG所成的角變小

D.AC與EF所成的角先變小后變大

【答案】B

【解析】以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,AE=a,則A(a,0,0),C(0,1,\-a),G(0,a,0),F(0,1,0),B(a,

1,0),

對(duì)于A,AG=(~a,a,O),GC=(O,a-l,a-l),

|而?尚||a("DI=1

\cosZAGC|=

\AG\\GC\~y/2\a\>/2\a-\\~2

.?.44GC的角度不會(huì)發(fā)生變化，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于3,設(shè)平面AGC的法向量為"(x,,yrzj,則卜,吧=一叫+町=°,則可取元=

[n-AC=-axy+y+(1-a)%=0

,尺T加g人汁古且4,\p-AB=y=Q

設(shè)平面ACS的?個(gè)法向量為力=(々,%，22)，n則l「—2，則可取5=(1-4,0,4)，

[p-CB=ax2+(a-l)z2=0

,/一.rip\\-a-a\百l~F~

I?IIPl后后+(i-?23V2a--2a+l

而y=2(?-2“+l的對(duì)稱(chēng)軸為a,在(0,1)先減小后增大,

2

.■.y=,2——」-----在(0,1)先減小后增大，且二面角G—AC-8為鈍角，

V2?！?。+1

cos<n,p>=-^-,2-丁;“+；先增大后減小,故選項(xiàng)5錯(cuò)誤.

對(duì)于C,易知平面A6尸G的個(gè)法向量為加=(0,0,1),設(shè)AC與平面A8FG所成的角為a,

mil.?-xr-IAC?歷|11—^1I(1一。)~Ii-

火sina=|cos<AC,m>|=-----=「=.-----------------=--------；-----

IAC||/n|J/+1+(1-a)?'+1+(1-〃)L6f~+1

\(I—」

?.?“€(0,1),貝ijy=a+，單調(diào)遞減，則丫=$池。單調(diào)遞減,

AC與平面4BFG所成角變小，故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于。，設(shè)正與甫所成的角為0，^=(-?,1,1-?),￡?=(0,1,0),

ACEF

|COS。1=1

\AC\\EF\7a2+l+(l-a)2xlj2/-2a+2

而y=24?-2a+2的對(duì)稱(chēng)軸為a=L且ae(0,l),

2

.?.y=2/-2a+2先減小后增加，則cos。先增加再減小，即AC與所所成的角先變小后變大，故選項(xiàng)O

正確；

故選B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD所在平面與正方形4BEF所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)股，N分別在正方

形對(duì)角線AC和阱上移動(dòng)，且CM=BN=a(0<a<>/5),則下列結(jié)論中正確的有()

B.線段肋V存在最小值，最小值為絲

3

C.直線MN與平面ABEF所成的角恒為45°

D.V?G(0,V2),都存在過(guò)MN且與平面BCE平行的平面

【答案】AD

【解析】因?yàn)檎叫蜛BCD所在平面與正方形AB即所在平面互相垂直，所以84、BE、3C兩兩垂直，

建系如圖，8(0,0,0),A(1,0,0),C(0,0,1),F(1,1,0),￡(0,1,0),M(—,0,1--),

22

z”五a叵an、

N(~Y，->O)>

對(duì)于4,因?yàn)辂?(0,—,—-1),CE=(0,1,-1),所以當(dāng)a=?2時(shí)，MN=CE,所以A對(duì)；

222

對(duì)于8,因?yàn)閨麗『=(叵一1y+叵)2=/一04+1=(4一也產(chǎn)+LJ,即|麗|3,當(dāng)。=變時(shí)，

2222222

等號(hào)成立，所以8錯(cuò)；

對(duì)于C,因?yàn)槠矫鍭BEF的法向量是濟(jì)=(0,0,1),設(shè)直線MN與平面檢防所成角的余弦值為。，6>e(0,

如

__I近a

cos8=[㈣-2,當(dāng)a-?0時(shí)，cosOfl,0^—,所以C錯(cuò)；

\MN\-\m\缶+12

對(duì)于。，因?yàn)槠矫鍮CE的法向量是行=(1,0,0),MNri=0,所以MV//平面8CE,所以。對(duì).

故選AD.

10.如圖，在長(zhǎng)方體A8C￡)-ABCa中，AB=2A￡)=2A4t=2，點(diǎn)P滿(mǎn)足幫=》4口+)//+zA/；，xe(0,

1],yw(O,1],ze(0,1],則下列結(jié)論正確的有()

A.當(dāng)》=尸2時(shí)，A.PA.BD

B.當(dāng)x+y+z=l時(shí)，RP”平面BDG

C.當(dāng)x=；,y=z時(shí)，三棱錐C-OPR的體積為定值

D.當(dāng)x+y=l,y=z時(shí)，RP與平面所成角的正切值為夜

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,若APLB。，則AB力，則有A戶(hù)85=0,

又BD=4。=AR—A與，

2

則A^P?BD=*4。；++z/AjBj)?(\DX-A8；)=X|AB|+yA^A?A^D{+zA^■\DX-xA^D1-\B}-y\A-A8；-Z|A4,

又AA.40=0,=0?AAA4=O,4屋44=0,

所以A戶(hù)?3/5=X-4Z,當(dāng)x=y=z時(shí)，-BD=x-4z=-3x,不一定為0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8：當(dāng)x+y+z=l時(shí)，則點(diǎn)。在面A。蜴上，即RPu面又平面B￡)G〃平面5OG，

所以"尸//平面BOC；,故3正確；

對(duì)于C：%“叫=v$_c叫，當(dāng)工=」,丫=2時(shí)，則點(diǎn)P位于垂直AA的面上，

知P到面COR的距離等于gAA=；，所以匕yg=gx2xlxg=g,故C正確；

對(duì)于。:*=職+平=(x-I)楨+y不+z曬,

當(dāng)x+y=l，y=z時(shí)，D}P=-yA^D}+yA]A+=yD^+yDQ+yRG，

則四邊形尸4QG矩形，設(shè)點(diǎn)。在面AQQA上的投影為產(chǎn),

則|麗=J5y,P'Dt=j2y,tan0=-j==^==72.故。正確;

故選BCD.

11.已知圖1中，正方形￡7&〃的邊長(zhǎng)為2立，A、B、C、。是各邊的中點(diǎn)，分別沿著AB、BC、CD、

ZM把AABF、即CG、\CDH.AZME向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面ABCD垂直,

再順次連接班G4,得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則()

圖I圖2

A.平面AEF_L平面CGH

B.直線AF與直線CG所成的角為60。

C.多面體ZIBCD-EFG//的體積為處述

3

D.直線CG與平面用所成角的正切值為加

【答案】BD

【解析】取8、他的中點(diǎn)O、M,連接OH、OM,如圖，:A、B、C、D是正方形EFGH各邊

的中點(diǎn)，

則CH=￡>",O為CD的中點(diǎn)，

:.OHYCD.

?.?平面CDHJ_平面ABCZ),平面CD〃C平面ABC￡>=CD，OHu平面CDH,

.?.Q/7_L平面ABC￡),

四邊形ABCQ是邊長(zhǎng)為2的正方形，

?.?O、M分別為C￡>、的中點(diǎn)，則OC//8W且OC=3M，且NOC8=90。，

所以四邊形OC8M為矩形，所以

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM、OC、O”所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),E(1,-1,1),尸(2,0,1),G(1,

1,1),H(0,0,1).

選項(xiàng)A,設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為沅=(3,％，4),通=(-1,0,1),通=(0,1,1),

.m-AE=-x+z.=0lf,rtl,rltl“

由｛_.11，取4=1,則大=1,%=-1，則比=(1,一1,1).

in?AF=%+Z[=0

設(shè)平面CG”的一個(gè)法向量為力=。2，%，22)，而=。，。，1)，西=(0，-1，1)，

由y'CC=X2+Z2=°,??？2=1,可得x2=l,%=-1則萬(wàn)=d-l),

n'CH——y2+z2=0

mn=l2+(-l)2-lxl=1^0,所以平面AE尸與平面Q汨不垂直，故A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B,AF=(0,l,l),CG=(1,0,1),cos<AF,CG)=產(chǎn)---直線所與CG所成的角為60。，故8正確;

V2.V22

選項(xiàng)C,以為底面，以|?！眧為高將幾何體他8-￡FGH補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD-AgCQ,

則E、尸、G、H分別為AQ，AB「PC，G2的中點(diǎn)，

因?yàn)锳B=2,。，=1,長(zhǎng)方體ABCD-A4CQ的體積為丫=2葭1=4,

V,p=-S.p,AA.=—x—xI-x1=—,

n—/A\Er.r3EF326

因此，多面體ABC力一瓦的體積為吃Bco-bGH=V-4VA-A,EF=4-4xl=y.

故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)。，cos〈西，㈤=-?'強(qiáng)-=?/=亞,設(shè)直線CG與平面詆所成角為。,

\CG\-\m\V2x5/33

則sin8=——,cos0=Vl-sin20=—

33

所以tan?=2吆=0,故O正確.

COS。

故選BD.

B

12.已知正方體他CD-A'3'C'Zy的邊長(zhǎng)為2,。為棱A4'的中點(diǎn)，M,N分別為線段C'。'，CD上兩動(dòng)點(diǎn)

(包括端點(diǎn))，記直線QM,QV與平面A8ZM'所成角分別為a,6，且tai?a+tan?尸=4,則存在點(diǎn)V,

C.MN=-D.MN±CQ

2

【答案】ACD

【解析】如圖所示，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,1),C=(2,2,2),設(shè)M(a,2,2),N(b,2,0),則M'=(a,0,2),N\h,0,0),

所以MM，=NN，=2,QM，=da2+l,QN，=^|b2+l,其中a,2],

過(guò)M點(diǎn)作A9的垂線，垂足為“，作N點(diǎn)作他的垂線，垂足為M,則平面加夕A,NN'A.

平面ABB'A!,

所以直線QM,QN與平面Afi8A所成的角分別為NMQM，,ZNQN,

即°=/M。"，/3=ZNQN,

me八”八…MM'2°八NN'2

J聽(tīng)以tana=tanNA/QM=------=/,ta”=tan/NQN=-------=—==,

77TTQN

因?yàn)閠an2a+tan2/?=4,所以/+f=4,即「一+二一=1?,^G[0,2]?

a+1b+1a+1b~+1

對(duì)于A選項(xiàng)，若MN//AY,即a=6，解得。=6=1,滿(mǎn)足題意，故A正確；對(duì)于8選項(xiàng)，

若MN=2a,即MN="(a-b)2+4=2后,此時(shí)a,b無(wú)解，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，若MN=h,即MTV=f+4=3,解得5I,滿(mǎn)足題意，故C正確；

22。=一

[a=2[2

對(duì)于D選項(xiàng)，

MNYCQ,即仍一。，0,-2).(2,2,1)=0,又即b-a=l，

所以b=4+le[0,2],故aefO,1],于是+^—=^—+———,

a+1b+1a+1(?+1)"+1

令/(幻=1+:~-l,xe[0,l],又/(0)=1>0,八1)='+!_1=_a<0,

故/(0)/(1)<0,由零點(diǎn)存在定理可得/(X)在[0,1]上存在零點(diǎn)，

即方程」一+—L—=1有[0,1]內(nèi)的解，滿(mǎn)足題意，故O正確.

?2+13+1)2+1

故選ACD.

13.已知空間向量2,b,c^^La-c=-b-c=\>\b\=近,||=1,若V2w!l|a\6，則無(wú)6的取值范圍是.

【答案】［1-V2,1+@

【解析】由H=6三=1,知A,B在5上的射影均為1,又|樹(shù)=1,

把。，5,C的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)O,設(shè)花=^,OA=a,OB=h,a,h,的終點(diǎn)A,B,C在同一

平面a內(nèi)，且平面a與OC垂直，

乂出|=0,可求得BC=1,所以點(diǎn)3的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)，

又伍慟G，可求得掇ij4c叵,所以點(diǎn)A是以C為圓心，r(l>&)為半徑的圓上的點(diǎn)，

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8(cosa,sina,0),A(/*cos/?,rsinp?0),0(0,0,1)

從而5=(rcos/,rsin/?,-1),b=(cosa,sina,-1),

所以濟(jì)6=rcos(a-夕)+1e[l-忘，1+V2].

14.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AgCQi中，AD=AA]=1,AB=2,E,產(chǎn)分別為棱Afi,BC上一點(diǎn),且

BE+BF=2,尸是線段用尸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐用-EB尸的體積最大時(shí)，直線RP與平面耳EC所成角

的正弦值的取值范圍為一.

【解析】當(dāng)三棱錐B,-EBF的體積最大時(shí)，AEBF的面積取最大值，S回=：BEBF”；.嚴(yán);。=1,

當(dāng)且僅當(dāng)8E=M=1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，E為的中點(diǎn)，尸與C重合.

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則"(0,0,1),5,(1,2,1),E(l,I,0),C(0,2,0),EC=(-1,1,0),甌=(0,1,1).

設(shè)平面4EC的法向量為沅=(x,y,z),可取x=l,得所=(1,1,—1).

[y+z=0,

設(shè)麗=2西=(Z0,4),2e[0,1],/.P(2,2,2),.?.即=(4,2,2—1).

設(shè)直線與平面B.EC所成的角為夕，

____3x/3

sin0=|cos〈流D]P)|=_—==.=.

A/3XJ-"+4+(4-1)~，2萬(wàn)-24+5

?.-2e[0,1],.?.當(dāng)人=」時(shí)，sin?的最大值為漁；當(dāng)2=0或1時(shí)，sin。的最小值為巫，

235

??.直線D,P與平面BXEC所成角的正弦值的取值范圍為

故答案為：［半,半］.

15.已知正方形的邊長(zhǎng)為4,E,尸分別為AD,3c的中點(diǎn)，以所為棱將正方形/WCZ）折成如圖所示的60。

的二面角，點(diǎn)M在線段4?上.直線￡>E與平面￡MC所成的角為60。，則面MCE與面CE尸夾角余弦值

為.

【答案U

【解析】由已知得，EFYAE,EFVDE,AE^DE=E,

尸，平面ADE,

又￡Fu平面ABFE，

/.平面平面ADE，

取AE的中點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

/.￡(-1,0,0),D(0,0,x/3),C(0,4,^),F(-l,4,0),

而=(1,0,揚(yáng)，配=(1,4,拘,

設(shè)M(l,t,0)(0^i14),則兩'=(2/0),

乩、」心日”,、r,,[rn-EM=2x+ty=G

izY-|lEWrJiZb'YJ/?=(.V.y.z),「則可取比=Q,-2,

in-EC=x+4y+V3z=0

_______8________B

由DE與平面EMC所成的角為60°，則2『+4+?—

2

.-.Z-4/+3=0,解得r=l或r=3,均有直線DE與平面￡20C所成的角為60。,

取￡D的中點(diǎn)。，則Q￡為平面CEF的法向量,

,-■哈。務(wù)

設(shè)平面MCE與平面CEF的夾角為。，則|cos，R0而|=--------1"一4|=|"2|

必照.人4+3產(chǎn)百

當(dāng)t=l時(shí)，cose=L,當(dāng)f=3時(shí)，cos0=—,

44

.?.平面MCE與平面C即夾角的余弦值為」.

4

故答案為：

4

16.己知圖I中，A,B,C,。是正方形EFG”各邊的中點(diǎn)，分別沿著他，BC,CD,/M把AAM,

ABCG,\CDH,向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面ABC￡＞垂直，再順次連接EFG”,

得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則以下結(jié)論正確的是—.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

①A4E5是正三角形；

②平面的1，平面CG”；

③直線CG與平面AM所成角的正切值為友；

④當(dāng)鉆=2時(shí)，多面體ABC。-四G”的體積為號(hào).

3

【答案】①③

【解析】取8，Afi的中點(diǎn)O，M,連接CW,OM,

在圖1中，因?yàn)锳,B,C,。是正方形EFG"各邊的中點(diǎn)，

則CH=-GH=-EH=DH,

22

因?yàn)?。?的中點(diǎn)，

則o〃_L8,

因?yàn)槠矫鍯￡>〃_L平面ABCD,平面CZWC平面AfiCZ)=C￡),OHu平面CDH，

故OHJ?平面ABCD,

在圖1中，設(shè)正方形￡7&〃的邊長(zhǎng)為2夜“(4>()),

則四邊形/WC4的邊長(zhǎng)為2a,

在圖1中，AADE和A45F均為等腰直角三角形，

則NR4F=NQ4E=45。，

所以Nfi4Q=90。，

則四邊形A88是邊長(zhǎng)為2a的正方形，

因?yàn)镺，M分別為CD,AB的中點(diǎn)，

則OC//BM且0c=,NOCB=90。，

所以四邊形OC8M為矩形，則OM_LC￡>,

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(2a,-a,0),8(2。.a,0),C(0)a>0),￡)(0,—a,0),E(a,—a,a),F(2a,0.a),

G(a,a,〃)，H(0,0?a),

對(duì)于①，由空間中兩點(diǎn)間距離公式可得，AE=AF=EF=?,

所以AAEf為正三角形，

故選項(xiàng)①正確：

對(duì)于②,因?yàn)橥?(~a,0,a),AF=(0,a,a),

設(shè)平面AEF的法向量為所=(x,y,z),

{m-AE

則《一,

m?AF=ay+az=0

令Z=l，則沅=(1,-1,1),

又前=(a,0,a),CH=(0,-a,a),

設(shè)平面CG”的法向量為n=（p，4,r）,

...\nCG=ap+ar=O

則一，

[n-CH=-aq+ar=0

令r=_],貝！I元=

所以沅?萬(wàn)=1+1-1=1/0,

則平面AEF與平面CGH不垂直，

故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；

1

對(duì)于③，因?yàn)閨cos＜無(wú)而＞|,間=「=旦,

J°gra

所以直線CG與平面田所成角的正弦值為必，

3

則余弦值為3-凈弋,

X/36

重

所以直線CG與平面田所成角的正切值為

3

故選項(xiàng)③正確；

對(duì)于④，以ABCD為底面，以O(shè)H為高將幾何體AB8-EFG//補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD-AqGA，

則E,F,G,H分別為A"，A4，81G，GA的中點(diǎn)，

因?yàn)锳B=2,即a=l,

所以04=1,

長(zhǎng)方體43CD-A4GA的體積為V=2?xl=4,

匕*F=gs邛F.例Jxp'xlq，

所以多面體/15CD-防G”的體積為％cm2="4匕=4-4x1=^,

個(gè)63

故選項(xiàng)④錯(cuò)誤.

故答案為：①③.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，在四棱錐中，底面ASCZ)是正方形，側(cè)面底面鉆8,E,尸分別為B4,BD

中點(diǎn)，PA=PD=AD=2.

(1)求證：肝〃平面P8C；

(2)求直線49與平面Z)所的正弦值；

(3)在棱PC上是否存在一點(diǎn)G,使GF1?平面￡/陰？若存在，指出點(diǎn)G的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明：作A3的中點(diǎn)H，連接可，F(xiàn)H,

?.?在中，E,"為中點(diǎn)，:.EH//PB,

?.?EHU平面PBC,Pfiu平面PBC，.?.助//平面依。,

同理可證明FH//平面ABC,

???￡7/u平面￡7H,FHu平面EFH,EH^FH^H,平面￡777//平面尸8C,

EFu平面EFH,M//平面PBC：

(2)解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OF,OP分別為孫z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(1,0,0),8(1,2,0),C(一1,2,0),0(-1,0,0),

P(,0,0,6),E(g,0,爭(zhēng)，F(xiàn)(0,1,0),

—3百一?

；.DE=E(j,0,-y),DF=(1,1,0),

設(shè)平面EFD的一個(gè)法向量是為=(a,b,c),

n?DF=a+h=0

「.,令a=i,則萬(wàn)=(1,—1,一G),

n?DE=-a-\——-z=0

22

又而=(2,0,0),

設(shè)直線4)與平面DEF所成的角為9,

_2

則sin0=|cos<n,AD>|=-=——,

V5x25

理由：假設(shè)存在，連接AC,BD,交于?點(diǎn)F,￡F為平面EZ*和平面R4C的交線,

設(shè)G(X1,%,Z]),則戶(hù)C=(N，-1,zj,

由(2)可知平面EED的一個(gè)法向量是河=(1,-1,-G),

???因?yàn)镚FJ?平面EDF,FG=Ari,

xt=A.,y-l=-2,z,=—s/3/l,GC,產(chǎn)乙共線，PC=(-1,2.-也),CG=(xt+1,y,-2,z(),

%,+1Vi—2z.1=A—彳一1—\/3A,丁回

A——=———=—------=---------=—k,無(wú)解，

-12-百-12Y

故在棱PC上不存在一點(diǎn)G,使得GF_L平面EDF.

18.如圖，在空間幾何體A8CDE中，已知AA8C,MCD,ABCE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面AC￡>

和平面BCE都與平面ABC垂直，H為的中點(diǎn).

(I)證明：E￡>〃平面ABC：

(II)求直線與平面ACE所成角的正弦值.

【答案】(/)證明：分別取AC,3c的中點(diǎn)O,P.連接。。，EP,OP.

.AD=CD,:.1X)VAC,乂平面A8_L平面ABC,平面AC￡)C平面A8C=AC,

QOu平面ACD,平面ABC,

同理￡P(guān)_L平面ABC，:.EPHDO.

X-.-MCD.ABCE是全等的正三角形，.?.EP=￡)O,

二.四邊形DOPE是平行四邊形,

:.DE//OP,?.?DEU平面ABC,OPu平面ABC,

.?.DE//平面ABC；

(2)連接80，則易知8O_L平面ACD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以8,OA,03所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,1,0),C(0,-1,0),D忠,0,0),E(6,-1,與,”(0,1,日

AC=(O,-2,0),AE=(V3,-|,y),DH=(-y[3,；，斗,

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

(——-f-2y=0

n-AC=O「人m

s___，.二〈3百，令z=2,則y=0,x=—\?

n-AE=0v3x—yH------z=0

i22

二.平面ACE的一個(gè)法向量為而=(T,0,2),

3<DH-，…網(wǎng)衛(wèi)=叫=叵,

.叫X同265

設(shè)直線OH與平面ACE所成角為。，則sin?=|cos<麗，為*平

19.如圖，點(diǎn)O是正四棱錐P—ABCD的底面中心，四邊形尸QDO是矩形，AB=DQ=2.

(1)求點(diǎn)8到平面APQ的距離；

(2)設(shè)E為棱PC上的點(diǎn)，且CE=2CP,若直線DE與平面APQ所成角的正弦值為電，試求實(shí)數(shù)人的

值.

Q、

p

【答案】點(diǎn)。是正四棱錐P-AfiCD的底面中心，

所以PO，平面ABCD,又四邊形PQDO矩形，

所以PO//Q9,所以Q￡>_L平面/WCD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。。為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則3(0,0,0),A(2,0,0),0(0,0,2),P(1,1,2),8(2,2,0),C(0,2,0),

(1)AP=(-1,1,2),AQ=(-2,0,2),

設(shè)平面4尸。的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

[n-AP=0,,,[~x+y+2z=0.,,,,

則?{，即r1，令x=l,則y=—1,z-1,

n-AQ=0[-2x+2z=0

所以平面的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(1,-1,1),

又通=(0,2,0)