2021年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題

2021年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體可以是()A．正方體 B．圓柱 C．三棱柱 D．球2．已知集合,,則中元素的個數(shù)為()A． B． C． D．3．已知向量,,.若,則()A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的值為,則輸出的()A． B． C． D．5．在等差數(shù)列中,已知,,則公差()A． B． C． D．6．既在函數(shù)的圖像上，又在函數(shù)的圖像上的點(diǎn)是（）A．（0,0） B．（1,1） C． D．7．如圖所示,四面體中,分別為的中點(diǎn),則直線跟平面的位置關(guān)系是()A．平行B．在平面內(nèi)C．相交但不垂直D．相交且垂直8．已知,則()A． B． C． D．9．已知,則()A． B． C． D．10．如圖所示,正方形的面積為.在正方形內(nèi)隨機(jī)撒粒豆子,恰好有粒豆子落在陰影部分內(nèi),則用隨機(jī)模擬方法計算得陰影部分的面積為()A． B． C． D．二、填空題11．已知函數(shù)(其中)的最小正周期為,則______.12．某班有男生人,女生人,用分層抽樣的方法從該班抽取人參加社區(qū)服務(wù),則抽出的學(xué)生中男生比女生多______人.13．在中,角所對的邊分別為已知,,,則的面積為______.14．已知點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.15．已知圓柱及其側(cè)面展開圖如圖所示,則該圓柱的體積為______.三、解答題16．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的部分函數(shù)圖象如圖所示．（1）將函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整;（2）寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.17．已知數(shù)列滿足，且．（1）求及．（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．為了解數(shù)學(xué)課外興趣小組的學(xué)習(xí)情況,從某次測試的成績中隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績進(jìn)行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計本次測試成績的眾數(shù);（2）從成績不低于分的兩組學(xué)生中任選人,求選出的兩人來自同一組的概率.19．已知函數(shù)（1）若,求和的值,并判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否有零點(diǎn);（2）若函數(shù)的值域?yàn)?求實(shí)數(shù)m的值.20．已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在圓:上.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求過圓心且與直線平行的直線的方程；（3）過點(diǎn)作互相垂直的直線,,與圓交于兩點(diǎn),與圓交于兩點(diǎn),求的最大值．參考答案1．A【解析】【分析】主視圖?左視圖?俯視圖是分別從物體正面?左面和上面看所得到的圖形,即可求得答案.【詳解】主視圖?左視圖?俯視圖都是正方形該幾何體為正方體故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷其立體圖形,解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識,考查了分析能力和空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.2．C【分析】根據(jù)并集定義求得,即可求得答案.【詳解】,中元素的個數(shù)為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了并集運(yùn)算,解題關(guān)鍵是掌握并集定義,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3．D【分析】因?yàn)?,,由向量和的坐標(biāo)計算法則計算可得,即可求得答案.【詳解】向量,,且可得:故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量和的坐標(biāo)計算法則,解題關(guān)鍵是掌握向量坐標(biāo)運(yùn)算基礎(chǔ)知識,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4．B【分析】由已知中的程序框圖可知:該程序的功能是利用條件結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值,模擬程序的運(yùn)行過程,即可求得答案.【詳解】由已知中的程序框圖可知:該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù):輸入的值為,故輸出結(jié)果是:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)框圖求輸出結(jié)果,解題關(guān)鍵是掌握框圖的基礎(chǔ)知識,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5．D【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求得答案.【詳解】等差數(shù)列中,已知,,可得:解得:故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列公差,解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)解答?！驹斀狻拷猓河蓛绾瘮?shù)圖象恒過，故選項(xiàng)滿足條件。故選：【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。7．A【分析】根據(jù)條件可得,根據(jù)線面平行判斷定理,即可求得答案.【詳解】中分別為的中點(diǎn)平面,平面平面故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷線面位置關(guān)系,解題關(guān)鍵是掌握線面平行判定定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.8．C【分析】因?yàn)?根據(jù)正弦二倍角公式,即可求得答案.【詳解】根據(jù)正弦二倍角公式可得:,即故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵是掌握正弦二倍角公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9．A【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算化簡,即可求得答案.【詳解】又故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)化簡和比較對數(shù)大小,解題關(guān)鍵是掌握對數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)知識,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.10．B【分析】設(shè)陰影部分的面積大約為,由已知可得正方形面積為,在正方形內(nèi)隨機(jī)撒粒豆子,恰好有粒豆子落在陰影部分內(nèi),可得,即可求得答案.【詳解】設(shè)陰影部分的面積大約為,由已知可得正方形面積為，在正方形內(nèi)隨機(jī)撒粒豆子,恰好有粒豆子落在陰影部分內(nèi).陰影部分的面積大約是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)概率估計面積問題,解題關(guān)鍵是掌握概率的定義和根據(jù)概率估計面積的解題方法,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11．【分析】根據(jù)余弦型三角函數(shù)周期公式,即可求得答案.【詳解】函數(shù)(其中)的最小正周期為,根據(jù)余弦型三角函數(shù)周期公式:解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)余弦的周期求參數(shù)問題,解題關(guān)鍵是掌握余弦函數(shù)的周期公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.12．【分析】根據(jù)某班共有人,要取一個容量為的樣本,根據(jù)分層抽樣定義,即可求得答案.【詳解】本題是一個分層抽樣,某班共有人,取一個容量為的樣本,抽出的學(xué)生中男生人數(shù)為:.則抽出的學(xué)生中女生人數(shù)為:故:抽出的學(xué)生中男生比女生多人故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣,解題關(guān)鍵是掌握分層抽樣的定義,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.13．【分析】在中,,,根據(jù)三角形面積公式,即可求得答案.【詳解】在中,,,根據(jù)三角形面積公式可得:的面積為:故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角形面積,解題關(guān)鍵是掌握三角形面積公式,考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.14．【分析】因?yàn)辄c(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),可得,即可求得答案.【詳解】點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),解得:,即故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)落在平面域內(nèi)求參數(shù)問題,解題關(guān)鍵是掌握線性規(guī)劃基本知識,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15．【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖可得,其柱體的底面周長為:,可求得柱體的底面半徑,其柱體的高為,即可求得答案.【詳解】設(shè)柱體底面半徑為,高為根據(jù)側(cè)面展開圖可得,其柱體的底面周長為:,,解得:則:柱體的底面半徑:根據(jù)側(cè)面展開圖可得,其柱體的高為即根據(jù)柱體的體積計算公式:故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)側(cè)面展開圖求柱體體積,解題關(guān)鍵是掌握柱體體積公式,考查了分析能力和空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.16．（1）答案見解析（2）【分析】（1）根據(jù)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,即可求得答案;（2）根據(jù)圖象,即可求得答案.【詳解】（1）根據(jù)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱畫出在上的圖象,如圖:（2）由（1）圖象可知:函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫出正弦函數(shù)圖象和求單調(diào)區(qū)間,解題關(guān)鍵是掌握正弦函數(shù)圖象的特征,考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.17．（1）2，；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意知數(shù)列是等比數(shù)列，代入公式得到答案.（2）先把表示出來，利用分組求和法得到答案.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以?shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以數(shù)列；（2）==.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和分組求和法，是數(shù)列的常考題型.18．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖,即可求得答案;（2）根據(jù)已知條件可得在抽取的名學(xué)生中,成績在區(qū)間的人數(shù)為:,這人分別記為成績在區(qū)間的人數(shù)為:,這人分別記為,若從成績不低于分的兩組學(xué)生中任選人,寫出基本事件空間,即可求得答案.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可估計本次測試成績的眾數(shù)為:（2）根據(jù)已知條件可得在抽取的名學(xué)生中,成績在區(qū)間的人數(shù)為:,這人分別記為成績在區(qū)間的人數(shù)為:,這人分別記為若從成績不低于分的兩組學(xué)生中任選人,其所有情況有:共個基本事件,其中兩人來自同一組所含基本事件有:共個.選出的兩人來自同一組的概率為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖計算數(shù)據(jù)的眾數(shù)和根據(jù)條形統(tǒng)計圖求概率,解題關(guān)鍵是掌握條形統(tǒng)計圖的基礎(chǔ)知識,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.19．（1）答案見解析（2）【分析】（1）當(dāng)時,求出,,在區(qū)間是連續(xù)不斷的且,根據(jù)零點(diǎn)存在定理,即可求得答案;（2）分別討論和,的值域,即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)時,,在區(qū)間是連續(xù)不斷的且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)（2）當(dāng)時,,此時;當(dāng)時,而的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷函數(shù)在指定區(qū)間上是否有零點(diǎn)和根據(jù)函數(shù)值域求參數(shù),解題關(guān)鍵是掌握零點(diǎn)存在定理和二次函數(shù)值域的求法,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.20．（1）（2）（3）【分析】（1）點(diǎn)在圓:上,即可求得答案;（2）直線的斜率為,圓以的圓心為,因?yàn)檫^圓心且與直線平行的直線的方程為:,即可求得答案;（3）設(shè)直線的方程為,則的方程為,求出圓心到直線的距離和圓心到直線的距離,即可和,結(jié)合已知,根據(jù)均值不等式,即可求得答案.【