專題7 等時圓模型(學生版)-2025版動力學中的九類常見模型精講精練講義

動力學中的九類常見模型精講精練專題7等時圓模型【模型解讀】“等時圓”描述了一個物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細桿（或光滑斜面）由靜止下滑，到達圓周的最低點（或從最高點到達同一圓周上各點）的時間相等，這個時間等于物體沿直徑做自由落體運動所用的時間。這個模型在物理計算中有著重要的應用，特別是在研究物體的運動軌跡和時間關系時。由2R·sinθ＝eq\f(1,2)·gsinθ·t2，可推得t1＝t2＝t3?！暗葧r圓”模型的基本特性在于，它揭示了物體在不同路徑上運動時，如果路徑都在同一個豎直圓上，那么物體到達圓周最低點的時間是相等的。這一特性不僅適用于光滑細桿，也適用于光滑斜面。此外，如果物體的運動路徑的端點在圓外，那么質點運動的時間會長一些；反之，如果端點在圓內，質點運動的時間則會短一些。這個模型的應用不僅限于物理學科，它也體現(xiàn)了數(shù)學和物理之間的緊密聯(lián)系。通過“等時圓”模型，我們可以更好地理解物體在不同條件下的運動規(guī)律，以及這些規(guī)律如何影響物體的運動時間和路徑。物體在“兩類”光滑斜面上的下滑時間的比較第一類：等高斜面(如圖1所示)由L＝eq\f(1,2)at2，a＝gsinθ，L＝eq\f(h,sinθ)可得t＝eq\f(1,sinθ)eq\r(\f(2h,g))，可知傾角越小，時間越長，圖1中t1＞t2＞t3。第二類：同底斜面(如圖2所示)由L＝eq\f(1,2)at2，a＝gsinθ，L＝eq\f(d,cosθ)可得t＝eq\r(\f(4d,gsin2θ))，可見θ＝45°時時間最短，圖2中t1＝t3＞t2?！镜淅觥俊镜淅?2023年7月浙江寧波期末).滑滑梯是小朋友們愛玩的游戲現(xiàn)有直滑梯AB、AC、AD和BD，A、B、C、D在豎直平面內的同一圓周上，且A為圓周的最高點，D為圓周的最低點，如圖所示，已知圓周半徑為R。在圓周所在的豎直平面內有一位置P，距離A點為，且與A等高。各滑梯的摩擦均不計，已知重力加速度為g，則（）A.如果小朋友在A點沿滑梯AB、AC由靜止滑下，B.如果小朋友分別從A點和B點沿滑梯AC，BD由靜止滑下C.若設計一部上端在P點，下端在圓周上某點的直滑梯，則小朋友沿此滑梯由靜止滑下時，在滑梯上運動的最短時間是D.若設計一部上端在P點，下端在圓周上某點的直滑梯，則小朋友沿此滑梯由靜止滑下時，在滑梯上運動的最短時間是【模擬題精練】1.（2024江蘇泰州3月調研）如圖所示，半球形容器內有三塊不同長度的滑板、、，其下端都固定于容器底部點，上端擱在容器側壁上，已知三塊滑板的長度。若三個滑塊同時從A、B、C處開始由靜止下滑（忽略阻力），則（）A.A處滑塊最先到達點 B.B處滑塊最先到達點C.C處滑塊最先到達點 D.三個滑塊同時到達點2．（2024吉林重點高中質檢）如圖所示，在斜面上有四條光滑細桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套一個小滑環(huán)（圖中未畫出），四個環(huán)分別從O點由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的時間依次為。下列關系正確的是（） B． C． D．3.（2024江蘇新高考基地學校第三次大聯(lián)考）如圖所示，為圓的豎直直徑，、為兩條粗糙軌道，其中過圓心。在A、C兩點由靜止釋放小滑塊，使其分別沿、和運動到圓上，小滑塊與軌道間的動摩擦因數(shù)相同，則（）A.滑塊沿的運動時間最短 B.滑塊沿的運動時間最短C.滑塊沿的運動時間最短 D.滑塊沿三個路徑運動時間相同4.（2024湖南省華南師范大學附中質檢）如圖所示，豎直的圓環(huán)置于水平向左的勻強電場中，三個完全相同的帶正電的絕緣小球（未畫出）分別套在固定于AB、AC、AD的三根光滑細桿上，其中AB與豎直方向夾角為60°，AC經過圓心，AD豎直?，F(xiàn)將小球無初速度地從A端釋放，小球分別沿AB、AC、AD下滑到B、C、D三點。已知小球所受電場力大小與重力大小之比為，則小球在三根細桿上運動的時間關系為（）A. B. C. D.無法確定5.（2024江蘇新高考基地學校第三次大聯(lián)考）如圖所示，為圓的豎直直徑，、為兩條粗糙軌道，其中過圓心。在A、C兩點由靜止釋放小滑塊，使其分別沿、和運動到圓上，小滑塊與軌道間的動摩擦因數(shù)相同，則（）A.滑塊沿的運動時間最短 B.滑塊沿的運動時間最短C.滑塊沿的運動時間最短 D.滑塊沿三個路徑運動時間相同6．（2024吉林重點高中質檢）如圖所示，在斜面上有四條光滑細桿，其中OA桿豎直放置，OB桿與OD桿等長，OC桿與斜面垂直放置，每根桿上都套一個小滑環(huán)（圖中未畫出），四個環(huán)分別從O點由靜止釋放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的時間依次為。下列關系正確的是（）A. B． C． D．7.(2004全國理綜卷2)如圖所示，ad、bd、cd是豎直面內三根固定的光滑細桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套著一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用t1、、、t2、、t3依次表示各滑環(huán)到達d所用的時間，則A．t1<t2<t3B．t1、>、t2、>t3C．t3>t1、>t2、D．t1=、t2、=t38.（2024重慶一中開學考試）如圖所示，ab、ac為豎直平面內兩根固定的光滑細桿，a、b兩點恰為外接圓的最高點和最低點，兩個帶孔小球甲、乙分別從a處由靜止沿兩細桿滑到下端b、c時，動能恰好相等，下列說法正確的是（）A.兩小球的質量相等B.兩小球下滑的時間不相等C.此過程中兩小球所受重力的平均功率不相等D.兩小球在細桿下端bc時重力瞬時功率相等9為使雨水盡快離開房屋的屋頂面，屋頂?shù)膬A角設計必須合理。某房屋示意圖如圖所示，設屋頂面光滑，傾角為θ，雨水由靜止開始沿屋頂面向下流動，則理想的傾角θ為()A．30° B．45°C．60° D．75°10如圖所示，AB和CD為兩條光滑斜槽，它