四川省綿陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考理試題含解析

Page16四川省綿陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考（理）試題留意事項(xiàng)：1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目填涂寫(xiě)在答題卡上．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．不能答在試題卷上．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列語(yǔ)句為命題的是（）A. B.你們好！ C.下雨了嗎？ D.對(duì)頂角相等【答案】D【解析】【分析】依據(jù)命題的定義推斷即可.【詳解】因?yàn)槟軌蛲茢嗾婕俚恼Z(yǔ)句叫作命題，所以ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D2.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】推斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過(guò)程中是否遵守不等式變形的規(guī)則.【詳解】若，令，，，，，故A錯(cuò)誤；若，令c=0，則，故B錯(cuò)誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯(cuò)誤；∵，故，依據(jù)不等式運(yùn)算規(guī)則，在不等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.3.函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo)，其函數(shù)圖象如圖所示.記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由原函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系，結(jié)合圖像，即得解【詳解】由圖像可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.由原函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系，可得的解集為故選：C4.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且滿(mǎn)意，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解．【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B．5.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法不正確的是（）A.若直線(xiàn)l的方向向量為，平面的法向量為，則直線(xiàn)B.已知為空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的基底C.若對(duì)空間中隨意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D.兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線(xiàn)【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間向量學(xué)問(wèn)對(duì)選項(xiàng)逐一推斷【詳解】對(duì)于A(yíng)，，則直線(xiàn)或在平面內(nèi)，故A錯(cuò)誤對(duì)于B，，則共面，而不共面，故也是空間的基底，B正確對(duì)于C，，由空間向量共面定理知C正確對(duì)于D，由空間向量中基底的概念知D正確故選：A6.已知向量，，則下列向量中，使能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量共面基本定理只需無(wú)解即可滿(mǎn)意構(gòu)成空間向量基底，據(jù)此檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)椋訟中的向量不能與，構(gòu)成基底；因?yàn)?，所以B中的向量不能與，構(gòu)成基底；對(duì)于，設(shè)，則，解得，，所以，故，，為共面對(duì)量，所以C中向量不能與，構(gòu)成基底；對(duì)于，設(shè)，則，此方程組無(wú)解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構(gòu)成基底.故選：D7.已知函數(shù)，則（）A.4 B.6 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并求出在0處的導(dǎo)數(shù)值，再利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，所以.故選：A8.已知直線(xiàn)與，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用直線(xiàn)平行的系數(shù)關(guān)系解出，須要留意解除重合狀況后即可推斷.【詳解】依據(jù)直線(xiàn)方程，若，則需滿(mǎn)意解得或,當(dāng)時(shí)，兩條直線(xiàn)重合，所以舍去.故得反之亦可得當(dāng)時(shí)，因此“”是“”的充要條件.故選：C9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為且滿(mǎn)意，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，代入可求得，從而得到，代入求得結(jié)果.【詳解】由題意得：令得：，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)賦值的方式求得，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視為常數(shù)，導(dǎo)致求導(dǎo)錯(cuò)誤.10.已知函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和最小值，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，結(jié)合選項(xiàng)，可得時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件.故選：A.11.若曲線(xiàn)存在垂直于y軸的切線(xiàn)，則a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】問(wèn)題等價(jià)于f(x)導(dǎo)數(shù)在x＞0時(shí)有零點(diǎn)，再參變分別轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題.【詳解】依題意，f(x)存在垂直與y軸的切線(xiàn)，即存在切線(xiàn)斜率的切線(xiàn)，又，，∴有正根，即有正根，即函數(shù)y＝－2a與函數(shù)的圖像有交點(diǎn)，令，則g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，∴－2a≥，即a≤.故選：C.12.已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算律可得，依據(jù)正方體的特點(diǎn)確定最大值和最小值，即可求解【詳解】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則,,因?yàn)镸N是正方體內(nèi)切球的一條直徑，所以，，所以，又點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)為正方體頂點(diǎn)時(shí)，最大，且最大值為；當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，最小，且最小為；所以，所以的取值范圍為，故選：B第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線(xiàn)上．13.命題“若實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則且”的否命題是________命題（填“真”或“假”）.【答案】真【解析】【分析】先求逆命題及其真假，再依據(jù)逆否命題等價(jià)性確定否命題真假.【詳解】命題“若實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則且”的逆命題是“若且，則”,是真命題，所以命題“若實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則且”的否命題是真命題.故答案為：真【點(diǎn)睛】本題考查四種命題關(guān)系及其真假，考查基本分析推斷實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.14.與向量同向的單位向量是___________．【答案】【解析】【分析】向量的同向的單位向量.【詳解】的模為，所以的同向的單位向量是.故答案：.15.如圖，在空間四邊形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，則異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大小是________．【答案】【解析】【分析】先求出，再利用公式求異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大小.【詳解】依題意可知CD＝＝，.設(shè)直線(xiàn)AB與CD所成角為α，則cosα＝＝，因?yàn)?，故α?故答案為：16.定義在的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為且，則不等式的解集為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則所要求解的不等式可化為，利用題設(shè)條件推斷的單調(diào)性即可求解【詳解】構(gòu)造函數(shù)當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減；由不等式得且;

原不等式的解集為.故答案為：三、解答題：共6個(gè)小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)：實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，：實(shí)數(shù)滿(mǎn)意.（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先分別求出、為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再由為真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依題意是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，即可得到不等式組，解得即可；【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，解得，即為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，即，解得：，即為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．因?yàn)?，所以，即；【小?wèn)2詳解】解：由，即，所以，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，則，解得；18.如圖，直三棱柱中，四邊形是正方形，．．、分別是、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)取的中點(diǎn)，連接、，依據(jù)正方形的性質(zhì)與中位線(xiàn)的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得出，結(jié)合線(xiàn)面平行的判定定理即可證明；(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出和平面的法向量，依據(jù)向量數(shù)量積即可求得結(jié)果.小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接、，∵四邊形為正方形，則且，為的中點(diǎn)，且，分別為、的中點(diǎn)，則且，且，故四邊形為平行四邊形，從而．而平面，平面，平面；【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則、、、．從而，，．設(shè)平面的法向量為，由得，取，則，，∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．19.已知函數(shù).（1）若，求在處的切線(xiàn)方程；（2）若有3個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）時(shí)，函數(shù)已知，求出和即可得到切線(xiàn)方程（2）函數(shù)由三個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于導(dǎo)數(shù)有三個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以探討導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可【小問(wèn)1詳解】依題意得，，又，，則切線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】若有3個(gè)極值點(diǎn)，則有3個(gè)零點(diǎn)（且零點(diǎn)左右值異號(hào)），所以有3個(gè)不同的根，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以的微小值為，極大值為.由有3個(gè)不同的根可得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間；（2）先用分別參數(shù)法得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出，得到，解得a的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】由，整理得，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，解得，故a的取值范圍是．21.如圖所示，三棱錐中，平面，，平面經(jīng)過(guò)棱的中點(diǎn)，與棱，分別交于點(diǎn)，，且平面，平面．（1）證明：平面；（2）若，點(diǎn)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)得，，進(jìn)一步可得，，再由直線(xiàn)與平面垂直的判定得平面；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值，即可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值的最大值．【小問(wèn)1詳解】證明：平面，平面，且平面平面，，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又平面，同理可得，且為的中點(diǎn)，平面，平面，，則，，，，而，、平面，平面；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC所在直線(xiàn)為x，y軸，過(guò)點(diǎn)B且與AP平行的直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，則，則，令，則，所以為平面PBC的一個(gè)法向量.設(shè)平面MAC與平面PBC所成的銳二面角為θ，則.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，取得最大值，最大值為.所以平面MAC與平面PBC所成銳二面角的余弦值的最大值為.22.