上海市崇明區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題含解析

上海市崇明區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題考生留意：1.本試卷共4頁(yè)，21道試題，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必需涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清晰地填寫(xiě)姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼等相關(guān)信息.一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，其中1~6題每題4分，7~12題每題5分）【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)干脆填寫(xiě)結(jié)果.】1.已知集合，，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故答案為：2.不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】干脆依據(jù)分式不等式計(jì)算方法進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，解得，即不等式的解集為.故答案為：3.已知復(fù)數(shù)，，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，求得，再依據(jù)為純虛數(shù)，即可求解.【詳解】，若是純虛數(shù)所以即故答案為：4.若對(duì)數(shù)函數(shù)且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)______.【答案】2【解析】【分析】干脆將點(diǎn)代入計(jì)算即可.【詳解】將點(diǎn)代入得，解得故答案為：2.5.設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)意a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．【答案】-8【解析】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于嫻熟駕馭等比數(shù)列的有關(guān)公式并能敏捷運(yùn)用，尤其須要留意的是，在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)當(dāng)要分類(lèi)探討，有時(shí)還應(yīng)擅長(zhǎng)運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.6.已知方程組無(wú)解，則實(shí)數(shù)的值等于______.【答案】【解析】【分析】方程組無(wú)解，轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，即可解決.【詳解】由題知，方程組無(wú)解，所以直線與直線平行，所以，解得，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，方程組有多數(shù)解，不滿(mǎn)意題意，當(dāng)時(shí)，兩直線平行，方程組有無(wú)解，滿(mǎn)意題意，故答案為：7.已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可得，然后利用誘導(dǎo)公式可計(jì)算出，可得答案.【詳解】把代入單位圓，可得，故，由三角函數(shù)的定義可得，因此，.故答案為：.8.將半徑為2的半圓形紙片卷成一個(gè)無(wú)蓋的圓錐筒，則該圓錐筒的高為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)圓錐側(cè)面綻開(kāi)圖即可計(jì)算.【詳解】如圖所示，圖1是圓錐(圖2)的側(cè)面綻開(kāi)圖，，則扇形弧長(zhǎng)，設(shè)圓錐底面圓半徑為，則，得，則在Rt中，圓錐的高，故答案為:.9.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是______.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)得，從而可得切線的斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程再化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，所以切線方程為：，即或.故答案為：10.設(shè)函數(shù)，若對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小取值等于______.【答案】2【解析】【分析】對(duì)隨意實(shí)數(shù)x都成立，這個(gè)條件說(shuō)明，解方程可得答案.【詳解】對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x都成立，，，又故答案為：211.在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用數(shù)量積幾何意義去求的取值范圍即可解決.詳解】正六邊形ABCDEF中，過(guò)點(diǎn)B作于，則又即，故的取值范圍為故答案為：12.已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且它們有共同的焦點(diǎn)、，P是與在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，雙曲線的離心率等于______.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)P點(diǎn)是橢圓和雙曲線的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓雙曲線的定義表示出，，在△中結(jié)合余弦定理即可列出方程求解．【詳解】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓離心率為，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線離心率為，由題可知：．設(shè)，，則，由①②得，，，代入③整理得，，兩邊同時(shí)除以得，，即，即，解得，即．故答案為：【點(diǎn)睛】本題綜合考查橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵是嫻熟應(yīng)用橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合焦點(diǎn)三角形中的余弦定理，列出方程組即可求解.二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，其中13、14題每題4分，15、16題每題5分）【每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿(mǎn)分，否則一律得零分.】13.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性以及常見(jiàn)基本函數(shù)的單調(diào)性即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A;的定義域?yàn)椋x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此不是奇函數(shù)，不符合題意，對(duì)于B;的定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，故，因此為奇函數(shù)，但是，故不是上是嚴(yán)格增函數(shù)，不符合題意，對(duì)于C;的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此不是奇函數(shù)，不符合題意，對(duì)于D,的定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，故，因此為奇函數(shù)，又依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，而，所以在上是嚴(yán)格增函數(shù)，符合題意，故選：D14.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分性、必要性的定義進(jìn)行分析推斷即可.【詳解】當(dāng)成立時(shí)，明顯，當(dāng)時(shí)，例如時(shí)，分式?jīng)]有意義，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A15.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于隨意，在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，則m的最小值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再由存在唯一確定的，使得，得，從而得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，所以.在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，所以存在唯一確定的，使得.，所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了函數(shù)與方程的思想，正確理解兩變量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16.已知曲線C：，命題p：曲線C僅過(guò)一個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)；命題q：曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是2.則下列說(shuō)法正確的是（）A.p、q都是真命題 B.p是真命題，q是假命題C.p是假命題，q是真命題 D.p、q都是假命題【答案】A【解析】【分析】結(jié)合均值不等式得到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，以及，從而可推斷命題q的真假性，檢驗(yàn)點(diǎn)是否在曲線上即可推斷命題p的真假性.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，因此曲線C所圍成的區(qū)域的在圓上或者內(nèi)部，即，故曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是2，因此命題q為真命題，圓上以及內(nèi)部橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有，其中點(diǎn)明顯在曲線C上，但是不在曲線上，故曲線C僅過(guò)一個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，因此命題p為真命題，故選：A.三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分）【解答下列各題必需在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.】17.如圖，長(zhǎng)方體中，，與底面ABCD所成的角為.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得長(zhǎng)方體高的值，進(jìn)而求得四棱錐的體積；（2）先作出異面直線與所成角，再利用余弦定理求其大小即可解決.【小問(wèn)1詳解】連接AC，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以是與底面ABCD所成的角.所以，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】聯(lián)結(jié)BD，則，所以就是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）中，，，所以，又，則所以異面直線與所成角的大小為.18.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中,為角的對(duì)邊，且滿(mǎn)意，且，求的取值范圍.【答案】（1）（）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)可得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）依據(jù)正弦定理及二倍角的余弦公式可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【小問(wèn)1詳解】由題知，由（），解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為（）；【小問(wèn)2詳解】依題意，由正弦定理，，因?yàn)樵谌切沃?，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，∴，，由于，所以，則，則，又，所以，由，所以的取值范圍是.19.某公園有一塊如圖所示的區(qū)域，該場(chǎng)地由線段及曲線段圍成.經(jīng)測(cè)量，，米，曲線是以為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線的一部分，點(diǎn)到、的距離都是米.現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個(gè)矩形游樂(lè)場(chǎng)，其中點(diǎn)在線段或曲線段上，點(diǎn)、分別在線段、上，且該游樂(lè)場(chǎng)最短邊長(zhǎng)不低于米.設(shè)米，游樂(lè)場(chǎng)的面積為平方米.（1）試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段的方程；（2）求面積關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）試確定點(diǎn)的位置，使得游樂(lè)場(chǎng)的面積最大.（結(jié)果精確到0.1米）【答案】（1）（2）（3）當(dāng)點(diǎn)在曲線段上且其到的距離約為米時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的面積最大【解析】【分析】（1）先以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后依據(jù)題意求解析式即可；（2）分別求出在不同線段的解析式，然后計(jì)算面積；（3）在不同狀況計(jì)算最大值，然后比較兩個(gè)最大值就可以得到面積最大值，然后確定的位置.【小問(wèn)1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)曲線段所在拋物線的方程為，由題意可知，點(diǎn)和在此拋物線上，代入可得：，.所以曲線段BC的方程為：.【小問(wèn)2詳解】由題意，線段的方程為，當(dāng)點(diǎn)在曲線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，所以.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，令，得，（舍去）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，是極大值，也是最大值.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，是最大值.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以當(dāng)點(diǎn)在曲線段上且其到的距離約為米時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的面積最大.20.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，左右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l過(guò)點(diǎn)B且與x軸垂直，點(diǎn)P是橢圓上異于A、B的點(diǎn)，直線AP交直線l于點(diǎn)D.（1）若E是橢圓的上頂點(diǎn)，且是直角三角形，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，，求的面積；（3）推斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明.【答案】（1）（2）（3）以BD為直徑的圓與直線PF相切，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得，然后利用列方程得到，再結(jié)合，解方程得到即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）依據(jù)得到橢圓方程，依據(jù)得到直線AP的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求面積即可；（3）設(shè)，得到直線AP的方程為，跟直線的方程聯(lián)立得到，BD中點(diǎn)，然后依據(jù)點(diǎn)到直線的距離和半徑的關(guān)系推斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，，，，由題意，，，，故，所以，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，橢圓方程為，則，，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸上方，則直線AP的方程為，代入橢圓方程，得，解得（舍去），，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，則，直線AP方程為，令則，所以，BD中點(diǎn)，當(dāng)直線PF的斜率不存在時(shí)，方程為；當(dāng)直線PF的斜率不存在時(shí)，方程為即，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)意，故直線PF方程為，點(diǎn)M到直線PF的距離，所以以BD為直徑的圓與直線PF相切.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽視直線斜率為0或不存在等特別情形．強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算實(shí)力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．21.已知數(shù)列滿(mǎn)意.（1）若數(shù)列的前4項(xiàng)分別為4，2，，1，求的取值范圍；（2）已知數(shù)列中各項(xiàng)互不相同.令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列是常數(shù)列；（3）已知數(shù)列是m（且）個(gè)連續(xù)正整數(shù)1，2，…，m的一個(gè)排列.若，求m的全部取值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）4或5【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，找到關(guān)于的不等關(guān)系，即可求解.（2）分別從充分性、必要性?xún)蓚€(gè)角度證明即可.（3）對(duì)取不同的值進(jìn)行推斷，再對(duì)分狀況探討即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，，令，得，即，則或，此時(shí)解得或；令，得，即，兩邊同時(shí)平方解得.則求交集可得，，即【小問(wèn)2詳解】必要性：若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，所以數(shù)列是常數(shù)列.充分