第13講 等邊三角形及含30°角的直角三角形的性質(zhì)（解析版）-初中數(shù)學暑假自學課講義（8年級人教版）

第13講等邊三角形及含30°角的直角三角形的性質(zhì)【人教版】·模塊一等邊三角形的性質(zhì)和判定·模塊二含30°角的直角三角形的性質(zhì)·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一等邊三角形的性質(zhì)和判定等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【考點1等邊三角形的性質(zhì)】【例1.1】如圖是三個等邊三角形隨意擺放組成的圖形，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)為（

）A．90° B．120° C．180° D．無法確定【答案】C【分析】先根據(jù)圖中是三個等邊三角形可知三角形各內(nèi)角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵圖中是三個等邊三角形，∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝180°，故選：C．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟知等邊三角形各內(nèi)角均等于60°是解答此題的關(guān)鍵．【例1.2】已知直線a∥b，將等邊三角形△ABC按如圖所示的位置擺放，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)為（

）A．95° B．85° C．75° D．70°【答案】B【分析】如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠2=∠5，由等邊三角形的性質(zhì)得∠C=60°，再由對頂角性質(zhì)得∠3=∠1=35°，∠4=∠5，最后由三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：如圖，∵a∥b，∴∠2=∠5，∵△ABC是等邊三角形，∴∠C=60°，∵∠3=∠1=35°，∠4=∠5，∠3+∠4+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠C=180°，∴∠2=85°，故選：B．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例1.3】如圖，點C在線段AB上，△DAC和△DBE都是等邊三角形，試說明：△DAB≌△DCE．

【答案】見解析【分析】由△DAC和△DBE都是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，兩個角為60度，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證．【詳解】解：證明：∵△DAC和△DBE都是等邊三角形，∴DA=DC，DB=DE，∠ADC=∠BDE=60°，∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB，即∠ADB=∠CDE，在△DAB和△DCE中，DA=DC∴△DAB≌△DCE(SAS【點睛】此題考查了全等三角形的判定，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式1.1】如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠a＋∠β的度數(shù)是（

）A．220° B．180° C．270° D．240°【答案】D【分析】如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的定義可得∠B=∠C=60°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得．【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠a+∠β+∠B+∠C=180°×(4-2)=360°，即∠a+∠β+60°+60°=360°，∴∠a+∠β=240°，故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和、等邊三角形，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．【變式1.2】如圖，A，B，D三點在同一直線上，△ABC和△BDE均為等邊三角形，連結(jié)AE，CD，若∠BAE=39°，那么∠AEB=______．【答案】21°【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠DBE=60°，根據(jù)∠DBE=∠BAE+∠AEB可求出答案．【詳解】解：∵△BDE是等邊三角形，∴∠DBE=60°，∵∠DBE=∠BAE+∠AEB，∴∠AEB=60°-∠BAE=60°-39°=21°，故答案為：21°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1.3】如圖，在等邊△ABC中，點E為AB上一點，點F為AC上一點，且AE=CF．求證：CE=BF．

【答案】證明見解析【分析】只需要利用SAS證明△ACE≌△CBF即可證明CE=BF．【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAE=∠BCF=60°，又∵AE=CF，∴△ACE≌△CBFSAS∴CE=BF．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點2等邊三角形的判定】【例2.1】下列說法不正確的是（

）A．有一個角為60°的三角形是等邊三角形； B．三邊相等的三角形是等邊三角形C．三個角相等的三角形是等邊三角形 D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的判定方法進行判斷即可．【詳解】解：A、有一個角是60°的三角形，其他兩個角度數(shù)不能確定，這樣的三角形不一定是等邊三角形，本選項符合題意；B、三邊相等的三角形是等邊三角形，正確，本選項不符合題意；C、三個角都相等的三角形是等邊三角形，正確，本選項不符合題意；D、有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，正確，本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定方法，三條邊都相等的三角形為等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【例2.2】如圖，已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內(nèi)部，點P1與點P關(guān)于OB對稱，點P2與點P1關(guān)于OA對稱，則P1，O，A．含30°角的直角三角形 B．等邊三角形C．頂角是30°的等腰三角形 D．視點P的位置而定【答案】B【分析】點P1與點P關(guān)于OB對稱，點P2與點P1關(guān)于OA對稱，推出OP=OP1=OP【詳解】解：如圖，∵點P1與點P關(guān)于OB對稱，點P2與點P1∴OP=OP1=OP2∵∠AOB=30°，∴∠P∴△P故選：B．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運用對稱的性質(zhì)解決問題．【例2.3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AE是∠BAC的平分線，CD是AB【答案】見解析【分析】結(jié)論：△CEF為等邊三角形，想辦法證明∠AEC=∠BCD=60°即可．【詳解】解：結(jié)論：△CEF為等邊三角形，理由：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，∠B=30°∴∠CAB=60°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=1∴∠AEC=90°-∠CAE=60°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=90°-∠B=60°∴∠CEF=∠ECF=∠CFE=60°，∴△CEF是等邊三角形．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的高、等邊三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式2.1】下列圖形中，一定是等邊三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的判定可得，含有60°的等腰三角形是等邊三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵含有60°的等腰三角形是等邊三角形，A、B、C、D都是等腰三角形，只有B選項有一個內(nèi)角是60°，則B選項是等邊三角形，故選B【點睛】本題考查了等邊三角形的判定，掌握“含有60°的等腰三角形是等邊三角形”是解題的關(guān)鍵．【變式2.2】如圖，在△ABC中，∠C=60°，D為AB邊的中點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，DE=DF．求證：△ABC是等邊三角形．【答案】見解析【分析】由線段中點的性質(zhì)得出AD=BD，進而可利用“HL”證明Rt△ADE≌Rt△BDF，得出∠A=∠B，進而可證CB=CA，再結(jié)合∠C=60°【詳解】證明：∵D為AB的中點，∴AD=BD，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED=∠BFD=90°在Rt△ADE和RtAD=BD∴Rt△ADE∴∠A=∠B，∴CB=CA，∵∠C=60°，∴△ABC是等邊三角形．【點睛】本題考查線段中點的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等角對等邊，等邊三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．【變式2.3】已知，如圖，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求證：△DEC為等邊三角形．

【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠B=∠C可得∠DEC=∠C，得到DE=CD，再由EC=ED可得DE=CD=EC，即可證明．【詳解】證明：∵AB∥DE∴∠DEC=∠B，∵∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=CD，∵EC=ED，∴DE=CD=EC，∴△DEC為等邊三角形．【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定方法．【考點3等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合應用】【例3.1】如圖，△ABC中，BC=8，AD是中線，∠ADB=60°，將△ADB沿AD折疊至△ADB'，則點C到B'A．4 B．23 C．3 D．【答案】A【分析】先由中線的定義得到BD=CD=4，再由折疊的性質(zhì)得到B'D=BD=4，∠ADB【詳解】解：∵AD是中線，∴BD=CD=1由折疊的性質(zhì)可得B'∴B'∴△CDB∴B'∴點C到B'的距離是4故選A．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明△CDB【例3.2】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為線段BC上一動點（不與點B、C重合），連接AD，作∠DAE=∠BAC，且AD=AE，連接CE．若CE∥AB，∠BAD=40°，則∠DEC的度數(shù)為【答案】20°【分析】證明△ABD≌△ACE(SAS)，可得∠B=∠ACE【詳解】解：∵∠∴∠即∠BAD=在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE(SAS∴∠∵CE∥∴∠∴∠∴AC=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠∴△DAE是等邊三角形，∴∠∴∠故答案為：20°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【例3.3】如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知條件等邊三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，進一步求證∠BAD=∠CAE，從而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由點B、A、E共線，得∠CAN=60°=∠BAC，進一步求證△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等邊三角形．【詳解】（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵點B、A、E在同一直線上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∠BAM=∠CAN∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等邊三角形．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形判定和性質(zhì)；將等邊三角形的條件轉(zhuǎn)化為相等線段和等角，選擇合適的方法判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式3.1】將兩個直角三角形如圖放置，其中∠BAC=∠ECD=90°，∠D=60°，AB=AC，DA=DC，CE與AB交于點F，則∠BFC=_____．【答案】120°【分析】先證明△DAC是等邊三角形，再根據(jù)平角的定義求出∠FAE的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果．【詳解】解：∵DA=DC，∠D=60°，∴△DAC是等邊三角形，∴∠DAC=60°，∵∠BAC=90°，∴∠EAF=180°-∠BAC-∠DAC=30°，∵∠D=60°，∠ECD=90°，∴∠E=30°，∴∠BFC=∠EFA=180°-∠E-∠FAE=180°-30°-30°=120°，故答案為：120°．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明△DAC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3.2】已知：如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，延長BC至點E使CE=AD，連接DE交AC與點F．

(1)求證：FD=FE；(2)過點D作DG⊥AC于G，若等邊三角形ABC的邊長為6，求FG的長．【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）如圖所示，過點D作DH∥BC交AC于點H，由等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=60°，由平行線的性質(zhì)得到∠ADH=∠B=60°，∠HDF=∠E，∠DHF=∠ECF，則△ADH為等邊三角形，證明CE=DH，即可證明△DHF≌△ECF，則（2）由全等三角形的性質(zhì)得到HF=CF，由三線合一得到AG=HG，這可推出FG=1【詳解】（1）證明：如圖所示，過點D作DH∥BC交AC于點H，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=60°，∵DG∥BC，∴∠ADH=∠B=60°，∠HDF=∠E∴△ADH為等邊三角形，∴AD=DH，∵CE=AD，∴CE=DH，∴△DHF≌△ECFASA∴FD=FE．

（2）解：由（1）得△DHF≌△ECF，△ADH為等邊三角形，∴HF=CF，∵DG⊥AH，∴AG=HG，∴FG=GH+HF=AG+CF，∴FG=AG+GH+HF+CF【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)于判定條件．【變式3.3】已知△ABC是等邊三角形，點P在AB上，過點P作PD⊥AC，垂足為D，延長BC至點Q，使CQ=AP，連接PQ交AC于點E，如圖所示．如果等邊△ABC的邊長為4，那么線段DE的長為（）A．1 B．2 C．1.8 D．2.5【答案】B【分析】如圖，過點P作PF∥BC，交AC于點F，利用已知條件可以得到△APF是等邊三角形，然后可以證明【詳解】解：如圖，過點P作PF∥BC，交AC于點則∠EPF=∠Q，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠APF=∠AFP=60°，∴△APF也是等邊三角形，而CQ=AP，∴PF=AP=CQ，又∵∠PEF=∠QEC，∴△PEF≌△QEC，∴EF=EC，∵PD⊥AC于D，△APF是等邊三角形，∴AD=DF，∴AD+EC=DF+EF=DE=1∴DE=1故選：B．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，同時也利用了全等三角形的性質(zhì)于判定，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．模塊二模塊二含30°角的直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)定理在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【考點1含30°角的直角三角形的性質(zhì)】【例1.1】在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=8，則A．8 B．4 C．16 D．2【答案】B【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半計算即可．【詳解】解：∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=1∵AB=8，∴BC=4，故選：B．【點睛】本題考查了在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，此題的關(guān)鍵是熟練掌握“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”來求邊的長度和角的度數(shù)．【例1.2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BD＝1，【答案】2【分析】依據(jù)Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，可得∠BCD為30°【詳解】∵Rt△ABC中，∠ACB＝∴∠BCD+∠B∴∠BCD∴Rt△ABC中，BC故答案為：2．【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．【例1.3】如圖，△ABC是等邊三角形，D，E分別是邊AC，BC上的點，BD，AE交于點R，BF⊥AE于點F，若AD=CE．求證：BR=2FR．

【答案】見解析【分析】先根據(jù)SAS證明△ABD≌△CAE得到∠ABD=∠CAE，進而利用三角形外角的性質(zhì)得到∠BRF=60°，由此求出∠RBF=30°，即可證明BR=2FR．【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，又∵AD=CE，∴△ABD≌△CAESAS∴∠ABD=∠CAE，∴∠BRF=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，∵BF⊥AE，∴△BRF為直角三角形，∴∠RBF=30°，∴BR=2FR．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確求出∠BRF=60°是解題的關(guān)鍵．【變式1.1】如圖，∠AOB=60°，以點O為圓心，以適當長為半徑作弧交OA于點C，交OB于點D；分別以C，D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點P；畫射線OP，在射線OP上截取線段OM=8，則點M到A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】過點M作ME⊥OB于點E，由角平分線的定義可得∠MOB=12∠AOB=30°，在Rt【詳解】解：過點M作ME⊥OB于點E，由題意得，OP為∠AOB的平分線，∴∠MOB=1在Rt△EOM中，OM=8，∠EOM=30°∴ME=1即點M到OB的距離為4．故選：C．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、角平分線的定義、含30°角的直角三角形，熟練掌握角平分線的定義以及作圖步驟是解答本題的關(guān)鍵．【變式1.2】如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=16，點M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=________．【答案】7【分析】作PC⊥MN于C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出MC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OC，計算即可．【詳解】解：過點P作PC⊥OB，垂足為C，∵PM=PN，∴MC=NC=12MN=1∵∠AOB=60°，∴∠OPC=30°，∴OC=12OP=8∴OM=OC-MC=7，故答案為：7．【點睛】本題考查的是含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意添加適當輔助線是解本題的關(guān)鍵．【變式1.3】如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD，DF⊥BE，垂足為點F．

(1)求證：CE=2CF；(2)若CF=2，求△ABC的周長．【答案】(1)見解析(2)24【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠ACB=60°，再由DF⊥BE可知∠DFC=90°，（2）由CF=2可得出DC=2CF=4，故可得出AC的長，進而可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC=90°，∴DC=2CF．∵CE=CD∴CE=2CF；（2）解：∵CF=2，由（1）知CE=2CF，∴DC=2CF=4．∵△ABC為等邊三角形，BD是中線，∴AB=BC=AC=2DC=8，∴△ABC的周長=AB+AC+BC=8+8+8=24．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°是解題的關(guān)鍵．【考點2含30°角的直角三角形的性質(zhì)的應用】【例2.1】如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖．其中AB、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC=150°，BC的長是8m，則乘電梯從點B到點C上升的高度h是（

A．833m B．4m C．【答案】B【分析】過C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根據(jù)含30度的直角三角形性質(zhì)求出CM即可．【詳解】解：過C作CM⊥AB于M，則CM=h，∠CMB=90°，∵∠ABC=150°，∴∠CBM=30°，∴h=CM=1故選：B．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)的應用，構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵所在，題目比較好，難度也不大．【例2.2】如圖，CD是平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)CD上點O反射后照射到點B，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且∠α=60°，OB=10，則BD=______．【答案】5【分析】根據(jù)反射角等于入射角可知∠β=∠α=60°，進而得出∠BOD=90°-∠β=30°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由題意知∠β=∠α=60°，∵BD⊥CD，∴∠BOD=90°-∠β=30°，∵OB=10，∴BD=1故答案為：5．【點睛】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半．【例2.3】如圖，早上8:00，一艘輪船以20海里/小時的速度由南向北航行，在A處測得小島P在北偏西15°方向上，到上午10:00，輪船在B處測得小島P在北偏西30°方向上，在小島P周圍18海里內(nèi)有暗礁，若輪船繼續(xù)向前航行，有無觸礁的危險？【答案】輪船繼續(xù)向前航行，無觸礁的危險【分析】過點P作PD⊥AC于點D，利用三角形外角可求出∠P，利用角的度數(shù)可判斷△PAB為等腰三角形，利用時間和速度可求出AB的長度，也就求出PB的長，再利用PD=12PB即可求得PD【詳解】解：輪船繼續(xù)向前航行，無觸礁的危險．過點P作PD⊥AC于D，依題意得AB=2×20=40海里，∠PAB=15°，∠PBC=30°，∴∠APB=∠PBC-∠PAB=15°，∴∠A=∠APB=15°，∴PB=AB=40(海里)．在Rt△PBD中，∠PBD=30°，∴PD=12PB=20(海里)>18(∴輪船繼續(xù)向前航行，無觸礁的危險．【點睛】本題考查了含30°的直角三角形，行船遇暗礁問題，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)來解決．【變式2.1】如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校A與河對岸農(nóng)場B之間的距離，在學校附近選一點C，用測量儀器測得∠A=60°，∠C=90°，AC=2km，則學校與農(nóng)場之間的距離AB為（

A．8km B．6km C．4km【答案】C【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)得出∠B=30°，進而利用直角三角形中30°所對直角邊是斜邊的一半，即可得出答案．【詳解】解：∵∠A=60°，∠C=90°，AC=2km∴∠B=30°，∴AB=2AC=4km故選：C．【點睛】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，正確掌握含30度的直角三角形的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式2.2】如圖，某山的山頂E處有一個觀光塔EF，已知該山的山坡面與水平面的夾角∠EAB為30°，山高EB為120米，點C距山腳A處180米，CD∥AB，交EB于點D，在點C處測得觀光塔頂端F的仰角∠FCD為60°，則觀光塔EF的高度是【答案】60【分析】根據(jù)∠EAB=30°，可得∠AEB=60°，AE=2EB，即可得AE=2EB=240，進而有CE=AE-AC=60，根據(jù)CD∥AB，可得∠ECD=∠EAB=30°，即可得【詳解】解：根據(jù)題意有：∠ABE=90°，∵∠EAB=30°，∴∠AEB=60°，AE=2EB，∵EB=120，∴AE=2EB=240，∵AC=180，∴CE=AE-AC=60，∵CD∥∴∠CDE=∠ABE=90°，∠ECD=∠EAB=30°，∵∠FCD=60°，∠FCE=∠FCD-∠ECD=30°，∴∠FCE=∠CFE=30°，∴EF=CE=60，即塔高60米，故答案為：60．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式2.3】如圖，海岸邊有A，B兩個觀測點，點B在點A的正東方，海島C在觀測點A的正北方，海島D在觀測點B的正北方．如果觀測點A看海島C，D的視角∠CAD與從觀測點B看海島C，D的視角∠CBD相等．(1)請說明海島C，D到觀測點A，B所在海岸的距離CA，DB相等嗎？(2)若測得從A到C距離1200m，∠ABC=30°，求C，B兩點間的距離．【答案】(1)相等，理由見解析(2)2400m【分析】（1）證明△ABC≌△BAD即可得出結(jié)論；（2）利用30°的直角三角形的特點得出BC=2AC即可得出答案．【詳解】（1）證明：由題意CA⊥AB，DB⊥AB，∠CAD=∠CBD，∴∠CBA=∠DAB，∠CAB=∠DBA=90°，在△ABC與△BAD，∵∠CBA=∠DABAB=BA∴△ABC≌△BAD（ASA），∴CA=DB；（2）解：∵∠ABC=30°，AC=1200m，∴BC=2AC=2×1200=2400m，故C，B兩點間的距離為2400m．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及30°的直角三角形的特點，熟練掌握30°的直角三角形所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．模塊三模塊三課后作業(yè)1．在△ABC中，AB=AC=6，∠B=60°，則△ABC的周長為（A．24 B．18 C．12 D．6【答案】B【分析】先判定△ABC是等邊三角形，進而即可求解．【詳解】解：∵在△ABC中，AB=AC=6，∠B=60∴△ABC是等邊三角形，∴△ABC的周長=6×3=18．故選B．【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定，掌握有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形是關(guān)鍵．2．若一個三角形的每一個外角都等于一個不相鄰的內(nèi)角的2倍，那么這個三角形是（）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】直接根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】解：∵三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，∴若一個三角形的每一個外角都等于一個不相鄰的內(nèi)角的2倍，則與之不相鄰的兩個內(nèi)角相等，∴這個三角形是等邊三角形．故選：A．【點睛】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟知三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形，∠1=40°，則

A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及外角性質(zhì)可求∠3，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∵∠1=40°，∴∠3=∠1+∠A=40°+60°=100°，∵直線l1∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=80°，故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．在△ABC中，∠A=60°，若使△ABC為正三角形，請你再添一個條件：___________．【答案】AB=AC（答案不唯一【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理解答即可．【詳解】解：添加的條件是：AB=AC（答案不唯一）故答案為：AB=AC（答案不唯一）【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定，熟知三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°,BC=18cm．AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E；AC的垂直平分線交AC于點G，交BC于點F．EF的長為_____【答案】6cm/6【分析】連接AE,AF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=AE,CF=AF，從而得到∠EAB=∠B,∠CAF=∠C，再由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C=30°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠AEF=∠AFE=60°，從而得到△AEF是等邊三角形，進而得到BE=EF=FC，即可求解．【詳解】解：連接AE,AF，∵AB垂直平分BC，AC垂直平分線BC，∴BE=AE,CF=AF，∴∠EAB=∠B,∠CAF=∠C，∵∠BAC=120°,AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAE+∠CAF=60°，∴∠AEF=∠AFE=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=AF=EF，∴BE=EF=FC，∵BC=18cm∴EF=6cm故答案為：6cm【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°，將△ABC沿射線BC方向平移2個單位后得到△DEF，連接DC，則DC的長為【答案】6【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得DE=AB=6，EC=BC-BE=8-2=6，∠B=∠DEC=60°，然后根據(jù)等邊三角形的定義列式計算即可得解．【詳解】解：∵△ABC沿射線BC方向平移2個單位后得到△DEF，∴DE=AB=6，EC=BC-BE=8-2=6，∵∠B=∠DEC=60°，∴△DEC是等邊三角形，∴DC=6，故答案為：6．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，熟記平移的性質(zhì)得到相等的線段是解題的關(guān)鍵．7．已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分線，點D為OC上一點，過D作直線DE⊥OA，垂足為點E，且直線DE交OB于點F，如圖所示．若DE=2，則DF=______________．

【答案】4【分析】過點D作DM⊥OB，垂足為M，則DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出【詳解】解：過點D作DM⊥OB，垂足為M，如圖所示．∵OC是∠AOB的平分線，DE⊥OA，∴DM=DE=2．在Rt△OEF中，∠OEF=90°，∠EOF=60°∴∠OFE=30°，即∠DFM=30°．在Rt△DMF中，∠DMF=90°，∠DFM=30°∴DF=2DM=4．故答案為：4．

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分線的性質(zhì)及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出DF的長是解題的關(guān)鍵．8．如圖，∠ABC=60°,AB=4，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC運動，設點P的運動時間為t秒t>0，當△ABP為銳角三角形時，t的取值范圍是_____．【答案】2<t<8【分析】根據(jù)找出臨界值∶當∠APB=90°時，當∠BAP=90°時，結(jié)合直角三角形中30度角的性質(zhì)求出BP的長，即可求解．【詳解】解：當∠APB=90°時，如圖：在Rt△ABP中，∠ABC=60°,AB=4∴∠BAP=30°，∴BP=1當∠BAP=90°時，如圖：在Rt△ABP中，∠ABC=60°,AB=4∴∠BPA=30°，∴BP=2AB=8，∴當2<BP<8時，△ABP為銳角三角形，∴2<t<8，故答案為：2<t<8．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握30度角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高，若AB=4，求CD的長度．【答案】2【分析】先求出∠DAC=30°，在直角△ACD中，根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半解得CD的長．【詳解】解：在△AB