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第10章無(wú)窮級(jí)數(shù)§10.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)§10.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法§10.3冪級(jí)數(shù)§10.4函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)§10.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)
一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念
二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念圖
10-1第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction圖
10-1圖
10-1
如果內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增多,即
n無(wú)限增大,那么和的極限就是所要求的圓面積A.這時(shí)和式中的項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多,于是出現(xiàn)了無(wú)窮多個(gè)數(shù)量依次相加的數(shù)學(xué)式子.
從這個(gè)例子我們可以看出,無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加可能得到一個(gè)確定的有限常數(shù),也就是說(shuō),在一定條件下無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加是有意義的.
為了研究無(wú)窮多項(xiàng)依次相加的問(wèn)題,我們引入無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction設(shè)
,,(10-2)例10.1.1判定是否發(fā)散.
解該級(jí)數(shù)的部分和為顯然因此所給的級(jí)數(shù)是發(fā)散的.例10.1.2判定級(jí)數(shù)的斂散性.
解因?yàn)樗詮亩?0.1.3級(jí)數(shù)解稱為等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù)),其中
叫做級(jí)數(shù)的公比.試討論該級(jí)數(shù)的斂散性.因?yàn)樗砸虼说缺燃?jí)數(shù)發(fā)散.等比級(jí)數(shù)前項(xiàng)的和為兩端同乘以得將上式兩端對(duì)應(yīng)相減并加以整理得例10.1.4判定級(jí)數(shù)的斂散性.
解因?yàn)樗詮亩床糠趾蛿?shù)列
發(fā)散,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.例10.1.5證明調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性.
證明即因此調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.取調(diào)和級(jí)數(shù)的前
項(xiàng)部分和
二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)
這說(shuō)明:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以一個(gè)不為零的常數(shù)后,它的斂散性不改變.注:兩個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加或相減得到的級(jí)數(shù)斂散性不確定.仍收斂,且其和不變.
這說(shuō)明:收斂的級(jí)數(shù)滿足加法結(jié)合律.
注:①但發(fā)散的級(jí)數(shù)卻未必滿足加法結(jié)合律.例如,級(jí)數(shù)因?yàn)椴糠趾?/p>
,,所以部分和數(shù)列
發(fā)散,因而級(jí)數(shù)發(fā)散.但級(jí)數(shù)自第一項(xiàng)開(kāi)始相鄰兩項(xiàng)均加括號(hào)后形成的級(jí)數(shù)卻收斂.②如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂,不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂.例如,級(jí)數(shù)收斂于零,但級(jí)數(shù)卻是發(fā)散的.
性質(zhì)10-4增加、去掉或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng),不改變級(jí)數(shù)的斂散性.這說(shuō)明:例10.1.6判定級(jí)數(shù)的斂散性.
解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)因?yàn)樗裕尚再|(zhì)10-5級(jí)數(shù)收斂的必要條件知,該級(jí)數(shù)發(fā)散.1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念(1)理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念(2)理解級(jí)數(shù)的和及級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念(3)會(huì)用級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念判斷級(jí)數(shù)的斂散性2.無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)(1)理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性
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