2017屆山西大學(xué)附屬高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）

太原市知達(dá)常青藤中2016~2017學(xué)年高三第一學(xué)期11月（總第五次）模塊診斷數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.3.若且，則（）A.B.C．D．4.如圖為某幾何體的三視圖，則其體積為（）A.B.C.D.5.函數(shù)的圖象大致為（）6.=()A．B.C.D.7.已知滿足，的最大值為，若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.8.拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則交點(diǎn)確定的圓的方程為（）A.B.C.D.9.錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）A.必要條件B.充分條件C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件10.已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球的球面上，若四面體中球心O恰好在側(cè)棱DA上，DC=，則這個(gè)球的表面積為（）A.B.C.D.11.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則，，…，中最大的項(xiàng)為（）A．B．C．D．12.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知函數(shù)（）為奇函數(shù)，則.14.如圖，若時(shí)，則輸出的結(jié)果為.15.從圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則到直線的距離小于的概率____.16．在中，角的對(duì)邊分別是，若，，則面積是_______.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(Ⅰ)求；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．18.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個(gè)邊長為的正三角形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值．19（本小題滿分12分）為了解某天甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素的含量（單位：毫克）．當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素滿足，且時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．已知甲廠該天生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號(hào)12345x169178166175180y7580777081(Ⅰ)求乙廠該天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（Ⅱ）用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠該天生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（Ⅲ）從乙廠抽取的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品至少有1件的概率．20.（本小題滿分12分）已知點(diǎn),橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）求的方程；（II）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象交于點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交于點(diǎn)，證明在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行.請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線(t為參數(shù))，(為參數(shù))．（Ⅰ）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（Ⅱ）過曲線的左頂點(diǎn)且傾斜角為的直線交曲線于兩點(diǎn)，求．23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．(Ⅰ)若，解不等式；（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2016~2017學(xué)年高三第一學(xué)期11月（總第五次）模塊診斷數(shù)學(xué)試題文科參考答案：1-5CBCDB6-10CBDAC11-12CA1一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【命題意圖】本題主要考查集合的交集運(yùn)算以及一元二次不等式與一次不等式的解法，考查基本的運(yùn)算能力，是容易題.【答案】C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)等，考查基本的運(yùn)算能力，是容易題.【答案】B【解析】（方法一）由已知得，故.故選B.（方法二）設(shè)，則.故由已知方程可得，即.所以，解得.所以.故選B.3.若且，則（）A.B.C．D．【命題意圖】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積的基本運(yùn)算等，考查基本的運(yùn)算能力，是容易題.【答案】C4.如圖為某幾何體的三視圖，則其體積為（）A.B.C.D.【命題意圖】本題主要考查三視圖的識(shí)別、組合體的結(jié)構(gòu)特征及其體積的求解等，考查空間想象能力和邏輯推理能力以及基本的運(yùn)算能力等，是中檔題.【答案】D【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半圓柱（所在圓柱）與四棱錐的組合體，其中四棱錐的底面為圓柱的軸截面，頂點(diǎn)在半圓柱所在圓柱的底面圓上（如圖所示），且在上的射影為底面的圓心.由三視圖數(shù)據(jù)可得，半圓柱所在圓柱的底面半徑，高，故其體積；四棱錐的底面為邊長為2的正方形，底面，且.故其體積.故該幾何體的體積.5.函數(shù)的圖象大致為（）【命題意圖】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別以及根據(jù)函數(shù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)，考查基本的邏輯推理能力，是中檔題.【答案】B文6.=()A．B.C.D.【答案】C【解析】原式===，故選D.7.已知滿足，的最大值為，若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.B.C.D.【命題意圖】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃、直線方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的邏輯推理與計(jì)算能力等，是中檔題.【答案】B【解析】如圖畫出不等式組所表示的平面區(qū)域（陰影部分）.設(shè)，顯然的幾何意義為直線在軸上的截距.由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上截距最大，即目標(biāo)函數(shù)取得最大值.由，解得；所以的最大值為，即.所以.故.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.8.拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則交點(diǎn)確定的圓的方程為（）A.B.C.D.【命題意圖】本題考查拋物線、二次方程和圓的方程，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和方程思想考查圓的方程.【答案】D9.錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）A.必要條件B.充分條件C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件答案A 解答:便宜沒好貨?如果便宜，那么不是好貨。逆否命題是，如果是好貨，那么不便宜10.已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球的球面上，若四面體中球心O恰好在側(cè)棱DA上，DC=，則這個(gè)球的表面積為（）A.B.C.D.【命題意圖】本題考查與三角形外接圓、三角形中位線和球的表面積計(jì)算公式等知識(shí)，考查考生的空間想象能力、運(yùn)算求解能力和分析問題解決問題的能力.【答案】C【解析】由可知取AC中點(diǎn)M，則OM為DA的中位線，又點(diǎn)M為外接圓圓心，球心O到面ABC的距離為，球半徑為，故球表面積為.11.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則，，…，中最大的項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】C考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).12.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【命題意圖】本題主要考查分段函數(shù)與方程的解，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值等，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及基本的邏輯推理能力，是難題.【答案】A【解析】如圖，作出函數(shù)的圖象，不妨設(shè)，由可知函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，而時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，其圖象與軸交于點(diǎn)，所以.又，所以，，由，得，解得.由，即，解得；由，即，解得；記（），.所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的最小值為；而，.所以.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知函數(shù)（）為奇函數(shù)，則.【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的奇偶性以及不等式的求解等，考查函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想以及基本的運(yùn)算能力等，是簡單題.【答案】-2【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，解得.14.如圖，若時(shí)，則輸出的結(jié)果為.【命題意圖】本題主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的輸出功能以及基本的計(jì)算能力與邏輯推理能力等，是中檔題.【答案】【解析】方法一：開始，，故，因?yàn)椋蔬M(jìn)入循環(huán).第二次計(jì)算，，；因?yàn)?，故進(jìn)入循環(huán).第三次計(jì)算，；因?yàn)?，故進(jìn)入循環(huán)，第四次計(jì)算，，；因?yàn)椴怀闪?，所以輸出，即輸?故當(dāng)時(shí)，輸出的結(jié)果為.理15.如圖，在長方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為.【命題意圖】本題主要考查定積分的應(yīng)用以及幾何概型的求解，考查基本的計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想等，是中等題.【答案】【解析】由圖知在函數(shù)的圖象上，所以，即，所以.而，，所以直線的方程為.故陰影部分的面積，而長方形的面積.故所求事件的概率為.文15.從圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則到直線的距離小于的概率是_______.答案：16．在中，角的對(duì)邊分別是，若，，則面積是_______.解析：在中，，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),,又，故,則面積是1三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．解(1);,(1)(2)(1)-(2),得,,，(2),18.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個(gè)邊長為的正三角形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：平面；文(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值．（Ⅰ）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則∵，，，∴四邊形為正方形，∵為的中點(diǎn)，∴為的交點(diǎn)，F(xiàn)∵，，F(xiàn)∵，∴，，在三角形中，，∴，∵，∴平面；文(Ⅱ)方法一：,,,,，方法二：設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角，則，即，解得，令，則平面的一個(gè)法向量為，又,則，∴直線與平面所成角的正弦值為.19.（理科）（本小題滿分12分）某技術(shù)公司新開發(fā)了兩種新產(chǎn)品，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測試指標(biāo)[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（1）試分別估計(jì)產(chǎn)品，產(chǎn)品為正品的概率；（2）生產(chǎn)一件產(chǎn)品，若是正品可盈利80元，次品則虧損10元；生產(chǎn)一件產(chǎn)品，若是正品可盈利100元，次品則虧損20元，在（1）的前提下，記為生產(chǎn)1件產(chǎn)品和1件產(chǎn)品所得的總利潤，求隨機(jī)變量的分列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），；（2）分布列見解析，．試題解析：（1）產(chǎn)品為正品的概率為．產(chǎn)品為正品的概率約為．（2）隨機(jī)變量的所有取值為，；；；．所以，隨機(jī)變量的分布列為：1809060-30．考點(diǎn)：1、離散型隨機(jī)變量的期望與方差；2、列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；3、離散型隨機(jī)變量及其分布列．文科19（本小題滿分12分）為了解某天甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素的含量（單位：毫克）．當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素滿足，且時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．已知甲廠該天生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編號(hào)12345x169178166175180y7580777081（1）求乙廠該天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠該天生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽取的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品至少有1件的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．解析：（1）乙廠該天生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為．（2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠該天生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為．（3）設(shè)從乙廠抽出的5件產(chǎn)品分別為從中隨機(jī)抽取2件，則有：共10個(gè)基本事件，其中2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)至少有1件的基本事件有7個(gè)，則所求概率．20.（本小題滿分12分）已知點(diǎn),橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）求的方程；（II）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程解析：（I）設(shè)，由條件知，得，又，所以，，故的方程為（II）當(dāng)軸時(shí)不合題意，故可設(shè)，，將代入中得，當(dāng)時(shí),即,由韋達(dá)定理得從而又點(diǎn)到直線的距離為所以的面積法一：設(shè)，則，，因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，且滿足.所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的方程為或法二：令，則當(dāng)時(shí)，即，，時(shí)等號(hào)成立，且滿足.所以的面積最大時(shí)，的方程為或考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式，二次分式類函數(shù)最值的求法21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象交于點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交于點(diǎn)，證明在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行.解：（I），則因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以<0有解.又因?yàn)閤>0時(shí)，則ax2+2x－1>0有x>0的解.①當(dāng)a>0時(shí)，y=ax2+2x－1為開口向上的拋物線，ax2+2x－1>0總有x>0的解；②當(dāng)a<0時(shí)，y=ax2+2x－1為開口向下的拋物線，而ax2+2x－1>0總有x>0的解；則△=4+4