河南省信陽市普通高中2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測理科試題含解析

河南省信陽市一般中學(xué)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測理科試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．留意事項：1．答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號等考生信息填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號填涂在相應(yīng)位置．2．選擇題答案運(yùn)用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；非選擇題答案運(yùn)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰．3．請依據(jù)題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．4．保持卡面清潔，不折疊，不破損．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，集合，則集合等于（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A與集合B，再求交集即可?！驹斀狻坑深}得，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本運(yùn)算，函數(shù)的定義域、解不等式問題，屬于基礎(chǔ)題.2.“”是“在上恒成立”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求出在上恒成立時取值范圍，結(jié)合充分條件和必要條件即可得出答案.【詳解】在上恒成立，即在上恒成立，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，，所以.因，而推不出，所以“”是“在上恒成立”的充分而不必要條件.故選：A.3.已知命題“存在，使等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可求存在，使等式成立的實(shí)數(shù)的取值集合，求其補(bǔ)集即可.【詳解】由得，函數(shù)在上為增函數(shù)，∴，故當(dāng)命題“存在，使等式成立”是假命題時，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D4.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項解除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，解除BD；又當(dāng)時，，所以，解除C.故選：A.5.已知角終邊所在直線的斜率為，則（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再依據(jù)二次齊次式化簡代入即可求解.【詳解】由三角函數(shù)定義得，所以．故選：D6.為加強(qiáng)環(huán)境愛護(hù)，治理空氣污染，某環(huán)保部門對轄區(qū)內(nèi)一工廠產(chǎn)生的廢氣進(jìn)行了監(jiān)測，發(fā)覺該廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時間的關(guān)系為.假如在前5個小時消退了的污染物，那么污染物削減須要花的時間為（）A.7小時 B.10小時 C.15小時 D.18小時【答案】B【解析】【分析】依據(jù)前5個小時消退了的污染物，由，求得k，再設(shè)污染物削減所用的時間為t，由求解.【詳解】因為前5個小時消退了的污染物，所以，解得，所以，設(shè)污染物削減所用的時間為t，則，所以，解得，故選：B7.已知定義在上的偶函數(shù)滿意，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意,分析可得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù),由此可得，，用賦值法求出的值,由此計算即可得答案.【詳解】依據(jù)題意,函數(shù)滿意,則,又由為偶函數(shù)，則有,則有,即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù),，令可得.，，所以故選：B8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱③函數(shù)在單調(diào)遞減④該圖象向右平移個單位可得的圖象A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④【答案】A【解析】【分析】依據(jù)的圖象及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，解得函數(shù)的解析式，得到，再結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐一判定即可.【詳解】由函數(shù)的圖象可得，周期所以，當(dāng)時函數(shù)取得最大值，即，所以，則，又，得，故函數(shù)，對于①，當(dāng)時，，正確；對于②，當(dāng)時，，正確；對于③，令得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以不正確；對于④，向右平移個單位，，所以不正確；故選：A.【點(diǎn)睛】求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法:（1）代換法:就是將比較困難的三角函數(shù)處理后的整體當(dāng)作一個角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）圖象法:函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖象上是從左到右，圖象上升趨勢的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，圖象下降趨勢的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象易求它的單調(diào)區(qū)間.9.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，則函數(shù)在內(nèi)遞增，且恒大于0，可得不等式，從而可求得a的取值范圍【詳解】解：令，∵在上單調(diào)遞減，∴在內(nèi)遞增，且恒大于0，且，．故選：C．10.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換，化簡三角函數(shù)，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組，可得答案.【詳解】，由，則，由題意，，則，解得.故選：C.11.已知實(shí)數(shù)，且，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，推斷函數(shù)單調(diào)性，比大小.【詳解】由，，，得，，，又，即，同理，即，所以，即，設(shè)函數(shù)，在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域都為實(shí)數(shù)集，記若恒有成立，則正確結(jié)論共有（）（1）；（2）；（3）；（4）.A.（1）（3） B.（2）（3） C.（1）（2）（4） D.（2）（3）（4）【答案】B【解析】【分析】由題意，依據(jù)函數(shù)的對稱性，可分別得到兩個函數(shù)的對稱軸，結(jié)合利用探討極值的導(dǎo)數(shù)值，可得答案.【詳解】對于（1），由，則令，可得，即，故由題意，只知函數(shù)的對稱性，無法確定函數(shù)值，故（1）錯誤；對于（2），由，可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若函數(shù)存在極值，則必定在處取得，故，即，由，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故，依據(jù)函數(shù)的對稱性，函數(shù)在處取得極值，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在處取得極值，即，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，即函數(shù)在處取得極值，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在處取得極值，即，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，若函數(shù)不存在極值，則函數(shù)必定為常值函數(shù)，故恒成立，故（2）正確；對于（3），由，則令，可得，即，故（3）正確；對于（4），由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，故（4）錯誤.故選：B.第II卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．13.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則______.【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得的值，由切點(diǎn)在切線上可得的值，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，所以，，所以，故答案為：.14.已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，，則_________．【答案】3【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)和互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)和互為反函數(shù)，則函數(shù)和關(guān)于對稱，將與聯(lián)立求得交點(diǎn)為，由直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)為，，，，則點(diǎn)，和，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，故答案為：315.如圖是某商業(yè)小區(qū)的平面設(shè)計圖，初步設(shè)計該小區(qū)為半徑是200米，圓心角是120°的扇形.為南門位置，為東門位置，小區(qū)里有一條平行于的小路，若米，則圓弧的長為___________米【答案】【解析】【分析】連結(jié)，由，可得，，在△中，由正弦定理可得，，可求出，進(jìn)而可求出，進(jìn)而依據(jù)圓弧所對應(yīng)的圓心角及半徑，可求出圓弧的長度.【詳解】連結(jié)，因為，所以，.在△中，由正弦定理可得，，即，解得，因為，且，所以，所以.故答案為：.16.已知，函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是：______.【答案】【解析】【分析】計算，得到，，探討，，三種狀況，計算得到答案.【詳解】，解得.，其中，.當(dāng)時，，故，即，化簡得到，故或；當(dāng)時，，解得或.當(dāng)時，，故，即，化簡得到，故或.綜上所述：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，設(shè)：，成立；：，成立，假如“”為真，“”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】【分析】由不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，，用配方法求函數(shù)最小值，由存在性問題，求，，利用單調(diào)性求最大值，再由“真假”或“假真”，列不等式組求解．【詳解】若為真，則對，恒成立，設(shè)，配方得，∴在上的最小值為-3，∴，解得，∴為真時，.若為真，則，成立，即成立.設(shè)，則在上是增函數(shù)，∴的最大值為，∴，∴為真時，.∵“”為真，“”為假，∴與一真一假.當(dāng)真假時，，∴.當(dāng)假真時，∴，∴.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查了恒成立問題及存在性問題及復(fù)合命題及其真假，屬于中檔題．18.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且僅有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)得對恒成立，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡可求解；（2）化簡，則，令，則命題等價于有且只有一個正根，結(jié)合判別式與韋達(dá)定理求解即可【小問1詳解】∵為偶函數(shù)，∴對隨意，有，∴對恒成立．∴對恒成立，∴對恒成立，∴．【小問2詳解】由（1）知，，∴由題意知有且只有一個實(shí)數(shù)根．令，則關(guān)于t的方程（*）有且只有一個正根．若，則，不合題意，舍去；若，則方程（*）的兩根異號或方程有兩相等正根．方程（*）有兩相等正根等價于，解得．方程（*）的兩根異號等價于，解得．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．19.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特別角的三角函數(shù)值即可確定角B的大?。唬↖I）方法二：結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最終結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.結(jié)合余弦定，∴，即，即，即，即，∵為銳角三角形，∴，∴，所以，又B為的一個內(nèi)角，故.[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角由，結(jié)合正弦定理可得：為銳角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因，并利用余弦定理整理得，即.結(jié)合，得.由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?而為銳角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化簡得故的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【整體點(diǎn)評】（I）的方法一，依據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過較困難的代數(shù)恒等變形求得，運(yùn)算實(shí)力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運(yùn)算簡潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為困難的余弦定理代入化簡，運(yùn)算較為麻煩，方法二干脆運(yùn)用三角恒等變形，簡潔明快，確定為最優(yōu)解.20.設(shè)函數(shù).（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由在有變號的解即可得．（2）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性同，得其在上的單調(diào)性，得最小值，由最小值求得參數(shù)，并得出最大值．【詳解】(1)由，當(dāng)時，的最大值為，令，得，∴當(dāng)時，在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即在上存在單調(diào)遞增區(qū)間時，的取值范圍是；(2)令，得兩根，，，∴在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，有，∴在上的最大值為，又∵，即，∴在上的最小值為，得，，從而在上的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．確定函數(shù)的單調(diào)性是解題關(guān)鍵．21.如圖，扇形區(qū)域（含邊界）是一風(fēng)景旅游區(qū)，其中P，Q分別在馬路OA和OB上．經(jīng)測得，扇形區(qū)域的圓心角，半徑為5千米．為了便利旅游參觀，準(zhǔn)備在扇形區(qū)域外修建一條馬路，分別與OA和OB交于M，N兩點(diǎn)，并且MN與相切于點(diǎn)S（異于點(diǎn)P，Q），設(shè)（弧度），將馬路的長度記為（單位：千米），假設(shè)全部馬路的寬度均忽視不計．（1）將y表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）求y的最小值，并求此時的值．【答案】（1），（2）的最小值為，此時的值為【解析】【分析】（1）由圖知，在兩個直角三角形中求得相加即可得，的范圍易得；（2）令，換元后應(yīng)用基本不等式求得最小值．【小問1詳解】因為MN與相切于點(diǎn)S，所以，在中，因為，，所以，在中，因為，，所以，所以，（）【小問2詳解】因，所以，令（），則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此，又，所以．所以馬路MN長度的最小值為，此時的值為．22.已知函數(shù)的最小值為0，其中.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若對隨意的，有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（Ⅲ）證明.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【解析】【分析】（1）對進(jìn)行求導(dǎo)，已知最小值為0，可得微小值也為0，得，從而求出的值；（2）由題意隨意的，有成立，可以令先通過，大致確定取值范圍，再利用分類探討法求出的最值；(3)由(2)知：令得：令得: