空間圖形及簡單幾何體的面積、體積-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)知識考點培優(yōu)講義（人教A版2019必修第二冊）【解析版】

專題05空間圖形及簡單幾何體的面積、體積

知識概栗/

知識點一棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)

多面體結(jié)構(gòu)特征

棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個面的交線都平行且相等

棱錐有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形

棱臺棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分

（二）旋轉(zhuǎn)體的形成

知識點圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)

幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸

圓柱矩形任一邊所在的直線

圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線

圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線

球半圓直徑所在的直線

知識點三空間幾何體的直觀圖

簡單幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：

（1）畫幾何體的底面

在已知圖形中取互相垂直的X軸、y軸，兩軸相交于點O,畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的X,軸、y'軸，

兩軸相交于點0',且使Nx'O,y'=45?；?35。，已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行

于一軸、＜軸.已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵?/p>

來的一半.

(2)畫幾何體的高

在已知圖形中過。點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應(yīng)的z'軸，也垂直于『O'y'平面，已知圖

形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z'軸且長度不變.

知識點四幾何體的面積

圓柱的側(cè)面積S=

圓柱的表面積S=2m(廠+/)

圓錐的側(cè)面積S=7irl

圓錐的表面積S=^r(r+/)

圓臺的側(cè)面積S-7r(r'+r)l

圓臺的表面積S=?(/2+/+r'l+ri')

球體的表面積S=4成2

柱體、錐體、臺體的側(cè)面積，就是各個側(cè)面面積之和；表面積是各個面的面積之和，即側(cè)面積與底面積之

和.

把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形，稱為它的展開圖，圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是

矩形、扇形、扇環(huán)形它的表面積就是展開圖的面積.

知識點五幾何體的體積

1」

圓柱的體積V=7ir2h

圓錐的體積V=-7rr~h

3

V=^7ih(r'2

圓臺的體積+F2+/，)

球體的體積V=-^7?3

3

正方體的體積V=a3

正方體的體積V=abc

【拓廣】

AB

圖(1)ffl⑵

1.等積變換

⑴直線a〃b(如圖(1)),c是a上一點，則對于a上任一點。，.有SAABC=SAABD.

(2)若平面a〃平面ABC,且平面a經(jīng)過點。，則對于平面a內(nèi)任一點P,有VD-ABC=VP-ABC.

(3)對于二棱錐4—BCD,有VA-BCD—VB-ACD—VC-ABD=VD-ABC-

2.割與補

當(dāng)一個幾何體的形狀不規(guī)則時，無法直接運用體積公式求解，這時一般通過分割與補形，將原幾何體分割

或補形成較易計算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積，這種方法就稱為割補法.

3.與球有關(guān)的組合體問題

(1)若一個長方體內(nèi)接于一個半徑為R的球，則2R=J""，?(人從c分別為長方體的長、寬、高),

若正方體內(nèi)接于球，則2R=V3a(a為正方體的棱長)；

(2)半徑為R的球內(nèi)切于棱長為a的正方體的每個面，則2R=a.

<---------;

考點精折/

考點01空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

【典例1】(2023?全國?高一專題練習(xí))上、下底面面積分別為36兀和49兀，母線長為5的圓臺，其兩底面之

間的距離為（）

A.4B.3V2C.26D.2瓜

【答案】D

【分析】首先根據(jù)題意得到所以圓臺上、下底面半徑分別為6和7,再畫出圖形，利用勾股定理求解即可.

【詳解】設(shè)圓臺的母線長/、高人和上、下兩底面圓的半徑r,R,

由題意可知：/=5,兀/=36兀,兀/?2=49-解得r=6,R=7,

如圖可得：AC=6,BD=7,CD=5,DE=R-r=l,AB=CE=h,

滿足關(guān)系式Cr）2=C￡：2+O爐，即25=/+1，求得/7=2卡，

即兩底面之間的距離為2面.

【典例2】（2023?高一課時練習(xí)）長、寬、高分別為3、4,5的兩個相同的長方體，把它們某兩個全等的面

重合在一起，組成大長方體，則大長方體對角線最長為.

【答案】5石

【分析】分類討論求解大長方體的體對角線即可.

【詳解】當(dāng)大長方體的長、寬、高分別為3、4、10時，

體對角線為5/32+42+102=V125=5石-

當(dāng)大長方體的長、寬、高分別為3、5、8時，

體對角線為5/32+52+82=眄=70.

當(dāng)大長方體的長、寬、高分別為6、4、5時，

體對角線為后==丁方.

因為后＞回＞折，所以大長方體對角線最長為5不.

故答案為：5石

【典例3】(2023?高一課時練習(xí))若正四棱錐底面邊長為“，側(cè)棱與底面成60。角，求正四棱錐的側(cè)棱長和

斜高.

【分析】在正四棱錐P—ABCD中，。是底面中心，尸。/底面ABCD,則/P3O=60°,從而尸8=2OB=-Jia，

取BC中點”，則。PM1BC,則即為正四棱錐的斜高，由此能求出正四棱錐的側(cè)棱長和斜

高.

【詳解】如圖所示，在正四棱錐尸-ABCD中，

連接AC,8。交于。，則。是底面中心，「。工底面4臺。，

NPBO為側(cè)棱心與底面ABC。所成的角，故ZPfiC>=60°.

:.PB=2OB=y[2a.PO=-a,

2

取8c中點連接?！?，PM,則OM_L8C,PMIBC.

PM即為正四棱錐的斜高，

在RJPOM中，OM=-,po=^-a,則

222

二正四棱錐的側(cè)棱長為亞a,斜高為立a.

2

【總結(jié)提升】

解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧

1.關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征題目的判斷方法：

(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.

（2）直接法

棱錐棱臺

定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點

2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用I好軸截面中各元素的關(guān)系.

3.既然棱（圓）臺是由棱（圓）錐定義的，所以在解決棱（圓）臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.

考點02空間幾何體的直觀圖

【典例4】（2023?高一■課時練習(xí)）直角梯形AD1AB,DC//AB,CD=2cm,AB=4cm,AD=4cm,

則水平放置的直觀圖中ACD的形狀是.

【答案】等腰三角形

【分析】根據(jù)斜二測畫法的原則，“橫不變，縱減半”畫出平面圖形，即可得出結(jié)果.

【詳解】在直角坐標(biāo)系中，如圖1所示，以A為坐標(biāo)原點O,作出直角梯形A8CD,

如圖2所示，再作出坐標(biāo)系x'O'y',使Nx'O'y'=45,以A為坐標(biāo)原點O',在x軸上作從9=4?=4,在V軸

上作A^=；AL>=2,作。且。"=OC=2,連結(jié)B'C',則△ACT）'為等腰三角形.

則ABCO水平放置的直觀圖中AC。的形狀是等腰三角形.

故答案為：等腰三角形.

【典例5】（2023?高一課時練習(xí)）如圖所示是水平放置的為pc邊的中線）的直觀圖，試按此圖判

斷原-"C中最長邊是,最短邊是

【分析】根據(jù)“斜二測”畫法的原理還原直觀圖對應(yīng)的原aABC,根據(jù)圖象即可判斷最長邊和最短邊.

【詳解】如圖為該直觀圖對應(yīng)的原4ABC

則易知AABC為直角三角形，A力為BC邊上的中線，

則AABC中最長的邊為AC,最短的邊為BC.

故答案為：AC；BC.

【特別提醒】

1.用斜二測畫法畫直觀圖的技巧

在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與/軸或V軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可

以先畫出線段的端點再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點，作出在直觀圖中的相應(yīng)點后，用平

滑的曲線連接而畫出.

2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：

近

S直觀圖=---SS2V2sMa.

4

3.解決有關(guān)“斜二測畫法”問題時，一般在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡量運用圖形中原有的垂直直線

或圖形的對稱軸為坐標(biāo)軸，圖形的對稱中心為原點，注意兩個圖形中關(guān)鍵線段長度的關(guān)系.

考點03空間幾何體的面積

【典例6】（2023.高一課時練習(xí)）若圓柱軸截面周長C為定值，則表面積最大值為（）

A.TT.C2B.--C2C.--C2D.--C-

248

【答案】D

【分析】設(shè)圓柱底面半徑為「，高為〃，由已知及圓柱的表面積公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得到表面積的最

大值.

【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為r,高為人，

因為圓柱的軸截面周長為4r+2/?=C(C為定值)，所以27?=C-4r,

所以圓柱的表面積為j=S1M+2s底=2nrh+2nr

7T

=?tr(C-4r)+2兀產(chǎn)=-27t(r--)2+—C2,

當(dāng)，=1C時，圓柱的表面積有最大值為TTC2.

48

故選：D.

【典例7】(2022春?貴州貴陽?高一統(tǒng)考期末)如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如

圖②,已知圓柱的底面直徑AB=16米,母線長4)=4米，圓錐的高2。=6米，則該蒙古包的側(cè)面積約為()

，?i'、

圖①圖②

A.336兀平方米B.272兀平方米C.2087c平方米D.144兀平方米

【答案】D

【分析】首先根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為長方形求出圓柱的側(cè)面積,再根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為扇形求出圓

錐的側(cè)面積，進(jìn)而得到蒙古包的側(cè)面積.

【詳解】依題意得，

圓柱的側(cè)面積A=2兀x(gAB)xAD=2nx-ixl6x4=647t,

DC=AB=16,：.QC=-DC=-xl6=8,

22

在RtPQC中，PC=JPQ2+QC2=V62+82=10-

二圓錐的側(cè)面積52=；xPCx2兀xQC=gxl0x2兀x8=8()兀，

該蒙古包的側(cè)面積S=S]+S2=64兀+80兀=144兀,

故選：D.

【典例8】(2023?全國?高一專題練習(xí))已知側(cè)面積為27的正三棱柱的側(cè)棱恰好是某個圓柱的三條母線，且

這個圓柱的底面半徑是2,則此圓柱的表面積為。

【答案】(8+6々)兀

【分析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為“，側(cè)棱長為人由已知及正三棱柱與圓柱的內(nèi)接關(guān)系，求出。與力的值，

再根據(jù)圓柱的表面積計算公式代入計算即可.

【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為側(cè)棱長為3

由題意知，正三棱柱是圓柱的內(nèi)接三棱柱，

所以正三棱柱的側(cè)棱長〃即為圓柱的母線長，

又因為正三棱柱底面三角形是圓柱底面圓的內(nèi)接一角形，且圓柱底面半徑為2,

所以三角形邊長為a=2百，

又因為正三棱柱的側(cè)面積S=3ah=3義2+xh=27,所以人=土叵，

2

所以圓柱的表面積為27tx2x工￥+2x7tx22=(65/3+8)71,

所以圓柱的表面積為(6石+8)w.

故答案為：(66+8)兀

【總結(jié)提升】

幾類空間幾何體表面積的求法

(1)多面體：其表面積是各個面的面積之和.

(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和.

(3)簡單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補.

(4)若以三視圖形式給出，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖，想象出原幾何體及幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)

量關(guān)系.

考點04空間幾何體的體積

【典例9】(2023?高一課時練習(xí))已知三棱柱ABC-4用弓的體積為1,P、Q、R分別為側(cè)棱⑨、BB、、CC,

上的點且AP+CR=AV則％-AC.=()

A.gB.-C.一D.—

2346

【答案】B

【分析】山題意，根據(jù)線段的等量關(guān)系，可得面積的等量關(guān)系，結(jié)合棱錐的體積公式，進(jìn)行等積變換，根

據(jù)同底同高的棱柱與棱錐之間的體積關(guān)系，可得答案.

【詳解】解：在三棱柱ABC-A8C中，易知側(cè)面ACGA為平行四邊形，設(shè)其面積為S1,A4上的高為〃,

在平行四邊形ACGA中，易知四邊形ACRP為梯形或平行四邊形，設(shè)其面積為S,且其高為/7,

則S=g/-（AP+CR）=g.〃-AA=：S],

在三棱柱ABC-AB￡中，易知四〃平面ACGA，點。到平面ACGA的距離與點8到平面ACCA的距離,

設(shè)該距離為d,

連接AGA8,作圖如下：

則%-*=345=§4了5]=§dS,A5=%A5=!_MC，

設(shè)三棱柱ABC-A8C的體積V=l,由圖可知，VAi.ABC=^V=^,即％

故選：B.

【典例10]（2022?高一課時練習(xí)）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為G，則這個圓錐的體積為

【答案】2##叵

33

【分析】設(shè)圓錐的半徑為，高為人根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合面積公式可得/'=1,再根據(jù)錐體體積公式

求解即可.

【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，高為h,因為其面積為B故4（24=百，解得E,高為力="?=6,

故該圓錐體積為!

33

【典例11］（2023?高一課時練習(xí)）在三棱臺ABC-44G中，三棱錐8-ABC體積為1，三棱錐ABC體

積為4,則該三棱臺體積為.

【答案】7

【分析】設(shè)三棱臺ABC-48。的高為/?,山錐體體積公式可得出％型2=%3S*弋12,再利用臺體的

體積公式可計算出該三棱臺的體積.

13

【詳解】設(shè)三棱臺ABC-A4G的高為九，則％一4附=5%的6人=1，可得5Mglc=%，

1I?

VC,-AHCSAABCh=4，可得S^=—,

13BCh

所以匕8C-AS1cl=2（S,A5C+S"G+JSABCSAMG，?

故答案為：7.

【典例12］（2023?高一課時練習(xí)）在球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，截面圓的面積分別為49萬cn?和

400^cm2,求該球的體積.

62500

【答案】4cm'

3

【分析】根據(jù)截面圓的面積分別求出對應(yīng)的半徑，然后求出球的半徑即可求球的體積.

【詳解】解：①當(dāng)兩個平行截面在球心同一側(cè)，作出球的截面圖，如圖:

.截面圓的面積分別為497rcm2和400ncm2，

，對應(yīng)的半徑30=7cm,AC=20cm,

且AB=9cm,

設(shè)球半徑為廣，

則OA=〃一400,OB=〃-49，

又，,-49=9+1,一400，

解得〃=25cm,

山2Ax.E、,4?！?362500兀③

*'?的彳本秒［為x25cm=———cm；

②當(dāng)兩個平行截面在球心兩側(cè)時，作出球的截面圖，如圖:

截面圓的面積分別為《gitcm?和4007tcm2,

對應(yīng)的半徑比＞=7cm,AC=20cm,

且AB=9cm,

設(shè)球半徑為，

則OA=〃-400.OB=〃_49，無解.

綜上，球的體積為

【總結(jié)提升】

求體積的兩種方法：①割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成己知體積公式的幾何體

進(jìn)行解決.②等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等體積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體

積）通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解兒何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高

和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形（或三棱錐）的高，而通過直接計算得到高的數(shù)

值.

考點05幾何體的展開、折疊、切、截、接問題

【典例13］（2022?高一單元測試）己知正三棱錐V-A8C中，側(cè)面與底面所成角的正切值為正，AB=6,

這個三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）

A.B.立二1C.2D,1

3333

【答案】B

【分析】根據(jù)正三棱錐底面邊長為6,且側(cè)面與底面所成角的正切值為夜，求出三棱錐的高和側(cè)高，利用

勾股定理求出外接球半徑，再利用等體積法求出內(nèi)切圓半徑即可.

【詳解】因為三棱錐V-ABC為正三棱錐，底面邊長為6,

且側(cè)面與底面所成角的正切值為正，所以可得正三棱錐的高〃=",側(cè)面的高3；

設(shè)正三棱錐底面中心為。，其外接球的半徑為R,內(nèi)切球半徑為，

貝IJ有Or>2+￡）A2=R2,也即（指一R）2+i2=R2,解得：R=巫,

2

正三棱錐的體積丫=gsMc/=3x；x6x3xgxr+gS"c"，

也即，x96x"=9r+36r,解得：r=9近=3近-瓜,

39+3^2

r-r-piI'3\/2-,^6V3—1

所以二=----7=—

R3763

故選：B.

【點睛】內(nèi)切球的球心到各面的距離是相等的，球心和各面可以組成四個等高的三棱錐，那么內(nèi)切球的半

徑乘以正三棱錐的表面積就等于體積，通常用等體積法求解內(nèi)切球的半徑.

【典例14］（2021春?山東聊城?高一山東聊城一中?？计谥校┮阎比庵鵄BC-AAG的底面為直角三角

形，如圖所示，N84C=90。，45=1,AC=2,AAt=3,則四面體A-A^C的體積為,四棱錐

A-BCC、B、的外接球的表面積為

c

【答案】114兀

【分析】直接根據(jù)錐體的體積公式代入計算即可得到結(jié)果；根據(jù)題意找出球心所在位置為的中點位置,

然后求得半徑，根據(jù)球的表面積公式即可得到結(jié)果.

由題意可得=gx|ABHAC|=gx2xl=l,且〃=44],則匕2c=：5丫詆=；*以3=1

因為.ABC外接圓的圓心即為BC中點，設(shè)為。，

△A耳G外接圓的圓心即為BG中點,設(shè)為Q,

則。。|的中點到六個頂點的距離相等,

則。。的中點”為外接球的球心，即|C"|為半徑，

兇=眄3時+|碼=4,|OA/|=1|M|=|

LL2.乙乙

所以|CM=J|OC|2+|OM|2=J|Z[=當(dāng)，

即外接球的表面積為4成2=4兀X4=14兀

4

故答案為：1,14K

【典例15]（2022春.福建三明.高一統(tǒng)考期末）如圖，在中空的圓臺容器內(nèi)有一個與之等高的實心圓柱，圓

柱的底面與圓臺的下底面重合.已知圓臺的上底面半徑與高均為40cm,下底面半徑為10cm.現(xiàn)要在圓柱

側(cè)面和圓臺側(cè)面的間隙放置一些金屬球，則能完全放入的金屬球的最大半徑為cm,這樣最大半徑的

金屬球最多可完全放入

【答案】106

【分析】(1)作出圓臺容器的縱切圖，則邊間隙為直角三角形，由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑即為金屬

球的最大半徑：

(2)作出金屬球心的水平切面圖，金屬球間相切時可放最多金屬球，通過求兩相切金屬球心與實心圓柱軸

心形成的夾角，即可知道一周可最多放金屬球的數(shù)量

【詳解】由題，下圖為圓臺容器的縱切圖，圓0內(nèi)切于,ABC時金屬球。的半徑最大，易得

AB=40cm,AC=30cm,BC=A/AB2+AC2=50cm，由等面積法得g(AB+AC+3C)r=gAB-AC,解得

尸=10cm,故金屬球的最大半徑為10cm；

下圖為上圖O點高度的水平切面，圓M、圓。|、圓。2兩兩相切，此時可放最多金屬球，因為r=10cm,

則Mq=Ma=OQ=20,故NOIMO2=60。，則金屬球最多可放嚶=6個，

故答案為：10;6

【典例16](2023?高一課時練習(xí))圓錐的全面積為27兀cm"側(cè)面展開圖是一個半圓.

(1)圓錐母線與底面所成的角；

(2)圓錐的體積.

【答案】（嗚

（2）9\/37icm3

【分析】（D設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為/,進(jìn)而結(jié)合題意得;二;’再求解即可;

（2）結(jié)合（1）得圓錐的高為九=3有，再計算體積即可.

【詳解】（1）解：設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為/,

因為圓錐的全面積為2771cm2,側(cè)面展開圖是一個半圓,

27兀=nr2+nrl27=產(chǎn)+rl

所以即

2nr=nl2r=l

所以，圓錐的軸截面為等邊三角形，如圖△S43,

所以，圓錐母線與底面所成的角為

（2）解：由（1）知圓錐的底面半徑為r=3,母線長為/=6,

所以，圓錐的高為〃==

所以，圓錐的體積為V=gx9兀*36=96兀

【總結(jié)提升】

1.常見的切與接問題：

（1）球內(nèi)切于旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）或旋轉(zhuǎn)體內(nèi)接于球，解題的關(guān)鍵是抓住軸截面中各幾何量.

（2）多面體（長方體、正方體、正四面體、正三棱錐、正四棱錐、正三棱柱等）內(nèi)接于球.關(guān)鍵抓住球大圓

及球小圓與多面體的頂點位置關(guān)系.

（3）球內(nèi)切于多面體，主要抓住球心到多面體各面的距離都等于球半徑.

2.常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略：

（1）與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，

球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為

平面問題.

（2）若球面上四點P,A,B,C中PA,PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正

方體確定直徑解決外接問題.

（3）處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問題時，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系，一般情況下，由

于球的對稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對角線的中點等.

囊熏題探秘/

,—_____________________J

1.（2021?全國?高考真題）已知圓錐的底面半徑為灰，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2近C.4D.4A/2

【答案】B

【分析】

設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

【詳解】

設(shè)圓錐的母線長為力,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則T/=2%x應(yīng)，解得/=2五.

故選：B.

2.（2021?全國?高考真題）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）

A.20+12&B.28&C.乎D.”也

33

【答案】D

【分析】

由四棱臺的兒何特征算出該兒何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】

作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，

因為該四棱臺上下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,

所以該棱臺的高/i=,22-卜夜-忘了=叵,

下底面面積$=16,上底面面積$2=4,

所以該棱臺的體積V=gMS|+S2+7^T）=gx&x（16+4+A/^）=g0.

故選：D.

3.（2020?全國高考真題（理））已知A氏。為球。的球面上的三個點，0a為，A3C的外接圓，若。。|

的面積為4兀，A6=BC=AC=。。，則球。的表面積為（）

A.647rB.48兀C.367tD.32兀

【答案】A

【解析】

設(shè)圓a半徑為「，球的半徑為R,依題意，

得萬，=4肛.?）=2,.ABC為等邊三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=273，

:.OOX=AB=26根據(jù)球的截面性質(zhì)。。1，平面ABC.

OO,±OlA,R=OA="G+QT="第+戶=4,

「?球。的表面積S=4TTR2=64萬.

故選：A

一、單選題

1.（2015秋?遼寧沈陽?高一東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）正方體與其外接球的表面積之比為（）

A.y/3:itB.2:兀C.3:兀D.6:兀

【答案】B

【分析】由正方體的體對角線的長就是外接球的直徑的大小，因此可得到外接球的直徑，進(jìn)而求得半徑R,

再代入球的表面積公式可得球的表面積，最后結(jié)合正方體的表面積公式，求出比值即可.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為。，不妨設(shè)。=1,正方體外接球的半徑為R,

則由正方體的體對角線的長就是外接球的宜徑的大小可知：2R=島，即尺=叵=且；

22

所以外接球的表面積為：S球=4成2=3兀.

則正方體的表面積與其外接球表面積的比為：6:3兀=2:兀.

故選：B

2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若一個圓柱和一個圓錐的底面積相等，圓柱的體積是圓錐體積的2倍，則圓

柱的高是圓錐高的（）

A.1B.-C.|D.-

2334

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可圓柱的底面積乘以圓柱的高=圓柱的底面積乘以圓錐的高xgx2,由此解答.

【詳解】圓柱的體積=圓錐的體積x2,

即圓柱底面積x圓柱的高=圓錐的底面積x圓錐的高+3x2,

山此推出：圓柱的底面積x圓柱的高=圓柱的底面積x圓錐的高xgx2,

22

整理得，圓柱的高二圓錐的高圓柱的高：圓錐的高=5，

所以，圓柱的高是圓錐高的：.

故選：C.

3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作《幾何原本》中，把軸截面為等腰直角三角

形的圓錐稱為直角圓錐.在直角圓錐S。中，點S與底面圓。都在同一個球面上，若球的表面積為16兀，則圓

錐的側(cè)面積為（）

A.4&兀B.2叵1C.4兀D.2兀

【答案】A

【分析】由直徑所對的圓周角為直角，可得圓錐底面半徑為球的半徑，利用球的表面積即可求解.

【詳解】圓錐的軸截面為等腰直角三角形AS8,如圖所示：

s

在直角圓錐SO中，點S與底面圓O都在同一個球面上，由NAS5=90,所以AB為球的直徑,

若球的表面積為16兀，由4兀/?2=16兀，球的半徑R=2,

則圓錐底面半徑r=2,圓錐母線長/=2血，

所以圓錐的側(cè)面積為S=nrl=4夜無■

故選：A

4.（2022春?湖北恩施?高一恩施土家族苗族高中?？计谀┤鐖D，一個底面半徑為2〃的圓錐，其內(nèi)部有一

個底面半徑為。的內(nèi)接圓柱，且此內(nèi)接圓柱的體積為Km?，則該圓錐的體積為（）.

na3C.D.8后片

【答案】B

【分析】作出該幾何體的軸截面，求出內(nèi)接圓柱的高，利用三角形相似求出圓錐的高，即可求的其體積.

【詳解】作出該幾何體的軸截面如圖示：A3為圓錐的高,

設(shè)內(nèi)接圓柱的高為兒而8c=2a,3￡>=r=a,

因為內(nèi)接圓柱的體積為百兀/,即na2h=6依3,

則h=y/3a,

山丁AB〃瓦）故△CABs/iCED,貝ij上=空,

ABBC

即嚕=等‘故"=2島，

所以圓錐體積杵京（2心2島考荷

故選：B

5.（2021秋?陜西咸陽?高一咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形

為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，

共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長為2,

則其外接球的表面積為（）

啊C32TI

A.16兀B.87rC.D.——

33

【答案】A

【分析】根據(jù)其外接球為正四棱柱的外接球，再結(jié)合球的表面積公式，即可得到結(jié)果.

由題意可得鉆=2,根據(jù)該兒何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為2,側(cè)棱長為2a的

正四棱柱的外接球，即（2R）2=22+22+（2&[

所以R=2,貝ij該正多面體外接球的表面積S=4TTR2=471x2,=16兀

故選:A

6.（2023?高一課時練習(xí)）棱長為1的正四面體內(nèi)切球的體積為（）

A.典B.在C.-D.瓜

8126216

【答案】D

【分析】設(shè)該正四面體的內(nèi)切球半徑為「，求出該四面體的體積，利用等體積法求出廠的值，再利用球體的

體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】將棱長為1的正四面體ABC。補成正方體則該正方體的棱長為也,

2

㈤一夜

一，

I212

設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為，正四面體ABCO每個面的面積均為1x『=正,

44

=

由等體積法可得匕_叱7）==J廠（S/M6c+^/\ACD+S/\ABD+）廣，解得廠=，

因此，該正四面體的內(nèi)切球的體積為v=2兀=￡K.

故選：D.

二、填空題

7.（2023?高一課時練習(xí)）已知圓臺上底面積乃，下底面積4萬，體積7萬，則圓臺的高為.

【答案】3

【分析】由圓臺體積公式求解.

【詳解】設(shè)圓臺高為力，則由已知得g（%+J乃?4乃+4乃）3=7萬,h=3.

故答案為：3.

8.（2023.高一課時練習(xí)）如果圓柱、圓錐的底面直徑和高都等于一個球的直徑，則圓柱、球、圓錐的體積

的比是.

【答案】3:2:1

【分析】設(shè)球的半徑為,，利用球體、柱體以及錐體的體積公式計算可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的體積為％兀/,圓柱的體積為/柱=萬產(chǎn)-2r=2口3,

1O-irr342

圓錐的體積為1維=3”、2,=學(xué)，因此，?柱：%:%錐=2:§:§=3:2:1.

故答案為：3:2:1.

9.（2023?高一課時練習(xí)）正四棱錐的所有棱長均為1,則它的體積是.

【答案】亞