第二章　§2.9　指、對、冪的大小比較-2025高中數(shù)學大一輪復習講義人教A版

§2.9指、對、冪的大小比較重點解讀指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置．題型一直接法比較大小命題點1利用函數(shù)的性質(zhì)例1設，則a，b，c的大小關系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．b>c>a答案C解析因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x為增函數(shù)，所以，即a<b，又因為函數(shù)y＝為增函數(shù)，所以，即b<c，故c>b>a.命題點2找中間值例2(2023·昆明模擬)設a＝，b＝lneq\r(2)－eq\f(1,3)ln3，c＝，則a，b，c的大小關系是()A．a(chǎn)>c>b B．c>a>bC．c>b>a D．a(chǎn)>b>c答案B解析因為b＝lneq\r(2)－eq\f(1,3)ln3＝eq\f(ln2,2)－eq\f(ln3,3)＝eq\f(3ln2－2ln3,6)＝eq\f(ln\f(8,9),6)<eq\f(ln1,6)＝0，而a＝>0，c＝>0，所以b最小．又lna＝＝eq\f(1,π)<eq\f(1,e)，lnc＝＝eq\f(1,e)lnπ>eq\f(1,e)，所以lnc>lna，即c>a，因此c>a>b.命題點3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<eq\f(1,2)，則下列結論正確的是()A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc答案C解析取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝eq\f(1,4)，則，∴ac>bc，故A錯誤；abc＝4×，bac＝2×，∴abc>bac，故B錯誤；logac＝log4eq\f(1,4)＝－1，logbc＝log2eq\f(1,4)＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正確，D錯誤．思維升華利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，eq\f(1,2)，1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進而可估計log23是一個1～2之間的小數(shù)，從而便于比較．跟蹤訓練1(1)(2023·龍巖模擬)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝log0.33，則a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a答案C解析由y＝0.3x為減函數(shù)，得0<a＝0.30.2<0.30.1＝b<0.30＝1，由y＝log0.3x為減函數(shù)，得c＝log0.33<log0.31＝0，∴c<a<b.(2)(2023·哈爾濱模擬)已知a＝sineq\f(5π,6)，b＝lneq\r(3)，c＝20.2，則a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．a(chǎn)<c<b答案A解析因為a＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，且b＝lneq\r(3)>lneq\r(e)＝eq\f(1,2)＝a，b＝lneq\r(3)<lne＝1，且c＝20.2>1，所以a<b<c.題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質(zhì)化簡比較大小命題點1作差法例4(1)設a＝log62，b＝log123，c＝log405，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a(chǎn)<c<b答案D解析∵eq\f(1,b)＝log312＝1＋log34＝1＋eq\f(lg4,lg3)＝1＋eq\f(2lg2,lg3)，eq\f(1,c)＝log540＝1＋log58＝1＋eq\f(lg8,lg5)＝1＋eq\f(3lg2,lg5)，∴eq\f(1,b)－eq\f(1,c)＝eq\f(2lg2,lg3)－eq\f(3lg2,lg5)＝eq\f(2lg2×lg5－3lg2×lg3,lg3×lg5)＝eq\f(lg22lg5－3lg3,lg3×lg5)＝eq\f(lg2lg25－lg27,lg3×lg5)<0，∴eq\f(1,b)<eq\f(1,c)，又b>0，c>0，∴b>c；∵eq\f(1,c)＝1＋log58<1＋log5eq\r(125)＝1＋＝eq\f(5,2)，∴c>eq\f(2,5)，∵eq\f(1,a)＝log26＝1＋log23>1＋log2eq\r(8)＝1＋＝eq\f(5,2)，∴a<eq\f(2,5)，∴a<c.∴a<c<b.(2)(2024·宿州模擬)已知3m＝4，a＝2m－3，b＝4m－5，則()A．a(chǎn)>0>b B．b>0>aC．a(chǎn)>b>0 D．b>a>0答案B解析由3m＝4，得m＝log34，∵log23－log34＝eq\f(lg3,lg2)－eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(lg32－lg2×lg4,lg2×lg3)>eq\f(lg32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2＋lg4,2)))2,lg2×lg3)＝eq\f(4lg32－lg82,4lg2×lg3)＝eq\f(lg92－lg82,4lg2×lg3)>0，∴l(xiāng)og23>log34，log34－log45＝eq\f(lg4,lg3)－eq\f(lg5,lg4)＝eq\f(lg42－lg3×lg5,lg3×lg4)>eq\f(lg42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3＋lg5,2)))2,lg3×lg4)＝eq\f(4lg42－lg152,4lg3×lg4)＝eq\f(lg162－lg152,4lg3×lg4)>0，∴l(xiāng)og34>log45，∴b＝4m－5＝－5＝0，a＝2m－3＝－3＝0，∴b>0>a.命題點2作商法例5已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b答案B解析由eq\f(b,c)＝eq\f(log53,log85)＝eq\f(ln3×ln8,ln52)<eq\f(ln3＋ln82,4ln52)＝eq\f(ln\r(24)2,ln52)<1，得b<c，又∵c<1<a＝0.8－0.4，∴b<c<a.命題點3乘方法例6已知a＝log35，b＝log57，c＝eq\f(4,3)，則()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．a(chǎn)>c>b答案D解析因為53＝125>＝81，所以5>，所以log35>＝eq\f(4,3)，即a>c.因為73＝343<＝625，所以7<，所以log57<＝eq\f(4,3)，即b<c.所以a>c>b.命題點4對數(shù)法例7已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2023)))2023，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2024)))2024，則a，b的大小關系為________________．答案a<b解析構建函數(shù)f(x)＝xlneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(x>0)，則f′(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))－eq\f(1,1＋x)，令g(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))－eq\f(1,1＋x)(x>0)，則g′(x)＝－eq\f(1,x1＋x2)<0，可知f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又當x→＋∞時，f′(x)→0，所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(2024)>f(2023)，即a<b.思維升華求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的形式．跟蹤訓練2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930，則a，b，c的大小關系是(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a答案B解析因為a＝2100，所以lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，因為b＝365，所以lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，因為c＝930＝360，所以lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，所以b>a>c.(2)已知x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．3y<2x<5z B．2x<3y<5zC．3y<5z<2x D．5z<2x<3y答案A解析令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，則x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以eq\f(2x,3y)＝eq\f(2log2k,3log3k)＝eq\f(2lgk,lg2)·eq\f(lg3,3lgk)＝eq\f(lg9,lg8)>1，則2x>3y，eq\f(2x,5z)＝eq\f(2log2k,5log5k)＝eq\f(2lgk,lg2)·eq\f(lg5,5lgk)＝eq\f(lg25,lg32)<1，則2x<5z.所以3y<2x<5z.課時精練一、單項選擇題1．設，則a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．b>a>c答案D解析因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x為減函數(shù)，則0<a＝<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1，因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))x為增函數(shù)，則b＝>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))0＝1，因為函數(shù)y＝為減函數(shù)，則c＝＝0，因此b>a>c.2．(2021·新高考全國Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.3．設a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，則a，b，c的大小關系為()A．b<c<a B．c<b<aC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c答案A解析c＝2－log32＝log39－log32＝log3eq\f(9,2)>log34＝2log32＝b，即c>b，a－c＝log23＋log32－2>2eq\r(log23×log32)－2＝2－2＝0，所以a>c，所以b<c<a.4．(2023·宣城模擬)若3x＝4y＝10，z＝logxy，則()A．x>y>z B．y>x>zC．z>x>y D．x>z>y答案A解析因為3x＝4y＝10，則x＝log310>log39＝2,1＝log44<y＝log410<log416＝2，即1<y<2，所以x>y>1，從而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.5．已知a＝log32，b＝log43，c＝sineq\f(π,6)，則a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．b＞c＞a D．b＞a＞c答案D解析c＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，因為函數(shù)y＝log3x，y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則a＝log32>log3eq\r(3)＝eq\f(1,2)，b＝log43>log42＝eq\f(1,2).a－b＝eq\f(ln2,ln3)－eq\f(ln3,ln4)＝eq\f(ln2×ln4－ln32,ln3×ln4)，因為ln2>0，ln4>0，則ln2＋ln4>2eq\r(ln2×ln4)?ln2×ln4<eq\f(1,4)×(ln8)2<eq\f(1,4)×(ln9)2＝(ln3)2.故a<b，綜上，b>a>c.6．已知log4m＝eq\f(9,20)，log12n＝eq\f(1,4)，0.9p＝0.8，則正數(shù)m，n，p的大小關系為()A．p>m>n B．m>n>pC．m>p>n D．p>n>m答案A解析由log4m＝eq\f(9,20)，得m＝<2，由log12n＝eq\f(1,4)，得n＝，，因此2>m>n；由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n，所以正數(shù)m，n，p的大小關系為p>m>n.7．已知a＝810，b＝99，c＝108，則a，b，c的大小關系為()A．b>c>a B．b>a>cC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c答案D解析令f(x)＝(18－x)lnx，x≥8，則f′(x)＝－lnx＋eq\f(18,x)－1，f′(x)＝－lnx＋eq\f(18,x)－1在[8，＋∞)上單調(diào)遞減，且f′(8)＝－ln8＋eq\f(9,4)－1＝eq\f(5,4)－ln8<eq\f(5,4)－lne2＝eq\f(5,4)－2<0，所以f′(x)＝－lnx＋eq\f(18,x)－1<0在[8，＋∞)上恒成立，故f(x)＝(18－x)lnx在[8，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(8)>f(9)>f(10)，即10ln8>9ln9>8ln10，即ln810>ln99>ln108，所以810>99>108，即a>b>c.二、多項選擇題8．若a＝log45，b＝，c＝eln2，則下列a，b，c的大小關系表達正確的為()A．a(chǎn)<bB．b<aC．c<bD．b<c答案AD解析a＝＝eq\f(1,2)log25＝log2eq\r(5)，b＝＝log23，所以根據(jù)對數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖象與單調(diào)性知log22<a<b<log24，即1<a<b<2，c＝eln2＝2，所以a<b<c.9．(2023·邯鄲模擬)已知log2m＝eq\f(1,2)，a＝log3m－eq\f(1,3)，b＝log5m－eq\f(1,5)，則下列判斷正確的是()A．a(chǎn)>0B．a(chǎn)<0C．b>0D．b<0答案BC解析由log2m＝eq\f(1,2)，可得m＝>1，因為，所以，則a＝log3m－eq\f(1,3)<－eq\f(1,3)＝0，A錯誤，B正確；又因為，所以，b＝log5m－eq\f(1,5)>－eq\f(1,5)＝0，C正確，D錯誤．10．已知大于1的三個實數(shù)a，b，c滿足(lga)2－2lgalgb＋lgblgc＝0，則a，b，c的大小關系可能是()A．a(chǎn)＝b＝c B．a(chǎn)>b>cC．b>c>a D．b>a>c答案ABC解析方法一∵三個實數(shù)a，b，c都大于1，∴l(xiāng)ga>0，lgb>0，lgc>0，∵(lga)2－2lgalgb＋lgblgc＝0，即lga(lga－lgb)＋lg