中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練(河南專用)【選擇題】必考重點01三角形與四邊形的性質(zhì)及判定(原卷版+解析)

【選擇題】必考重點01三角形與四邊形的性質(zhì)及判定近幾年江蘇中考看，在選擇題中對幾何性質(zhì)的考查一直是必考點，對于平行線的性質(zhì)一般考查比較簡單，三角形和四邊形的性質(zhì)的考查在難度上多數(shù)為中等或者較難題型較多，在解此類題型時，需要考生熟練掌握三角形、四邊形的性質(zhì)和判定定理，能夠利用判定定理判定特殊的三角形、四邊形以及三角形全等，并利用它們的性質(zhì)，求解角度的大小、角與角之間的數(shù)量關(guān)系，線段的長度以及線段之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等?！?022·江蘇泰州·中考母題】如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點D不重合的動點，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點F、G與點C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．【考點分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明等知識點?！舅悸贩治觥恳骴1＋d2＋d3的最小值，首先應(yīng)明白，只有當(dāng)A、E、F、C四點共線時，d1＋d2＋d3的值最小。先連接CF、CG、AE，證可得，得到?！?021·江蘇無錫·中考母題】如圖，D、E、F分別是各邊中點，則以下說法錯誤的是（

）A．和的面積相等B．四邊形是平行四邊形C．若，則四邊形是菱形D．若，則四邊形是矩形【考點分析】本題考查三角形中位線性質(zhì)定理和平行四邊形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！舅悸贩治觥扛鶕?jù)中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形、菱形、矩形的判定定理逐一判斷各個選項，即可得到答案．【2020·江蘇南通·中考母題】如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．3【考點分析】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵。【思路分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即可．1．（2022·江蘇揚州·一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，則∠DEF的度數(shù)是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°2．（2022·江蘇無錫·模擬）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，點F為射線CB上一動點，過點C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是(

)A． B． C．1 D．-23．（2022·江蘇無錫·模擬）已知點在線段上，分別以、為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接與相交于點，連接與相交于點，連接、，則①；②≌；③；④是等邊三角形；⑤平分；⑥；以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個4．（2022·江蘇無錫·模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，過菱形ABCD的對稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長為（

）．A． B． C． D．5．（2022·江蘇南通·一模）如圖，在中，，的平分線分別交于點E，F(xiàn)，若，，則EF的長是（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.56．（2022·江蘇南京·二模）如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD（AB＞AD）的四條邊上，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH．下列關(guān)于四邊形EFGH的說法：①存在無數(shù)個四邊形EFGH是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形EFGH是菱形；③存在無數(shù)個四邊形EFGH是矩形；④存在無數(shù)個四邊形EFGH是正方形，正確的是（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④7．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC邊的中點，過點D作DE⊥DF分別交AB、AC于E、F（不與B、C重合）．取EF的中點O，連接AO并延長交BC于G，連接EG、FG．隨著點E、F的位置的變化，有以下四個結(jié)論：①DE＝DF；②四邊形AEDF的面積始終為9；③∠EGF＝90°；④四邊形AEGF的面積有最小值為9．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④8．（2022·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中一模）如圖，ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，∠ADC的角平分線DE交BC于點E，交AC于點F，CG⊥DE，垂足為G，DG=cm，則EF的長為（

）A．2cm B．cm C．cm D．cm9．（2022·江蘇·宜興市實驗中學(xué)二模）如圖：正方形ABCD邊長為1，P是AD邊中點，點B與點E關(guān)于直線CP對稱，連接CE，射線ED與CP交于點F，則EF的值為（）A． B． C． D．10．（2022·江蘇淮安·一模）如圖，在中，點E在BC上，AE與BD相交于點F，若BE：EC=4:5，則BF：FD=（

）A． B． C． D．11．（2022·江蘇宿遷·二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在BC的延長線上取一點E，連接OE交CD于點F．已知，，則CF的長是（

）A． B． C． D．12．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，點E為平行四邊形內(nèi)一點且∠AED＝∠BEC＝90°，若∠DEC＝45°，則AD的長為（）A．3 B．2 C． D．213．（2022·江蘇蘇州·一模）已知，矩形ABCD中，E為AB上一定點，F(xiàn)為BC上一動點，以EF為一邊作平行四邊形EFGH，點G，H分別在CD和AD上，若平行四邊形EFGH的面積不會隨點F的位置改變而改變，則應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．14．（2022·江蘇·江陰市祝塘第二中學(xué)一模）如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，點D在△ABC內(nèi)，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，過點D作直線PQ，分別交AB、AC于點P、Q，若△APQ與△ABC相似，則線段PQ的長為（）A．5 B． C．5或 D．615．（2022·江蘇·南外雨花分校一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列條件中，不能判斷這個平行四邊形是菱形的是（

）A．AB=AD B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．AC⊥BD16．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)三模）如圖，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于點D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，則tan∠CBD的值為（）A．5 B． C．3 D．17．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，點E、F分別是AB，AD邊上的中點，則sin∠ECF＝（

）A． B． C． D．18．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，在中，，．矩形的頂點、、分別在邊、、上，若，則矩形面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．19．（2022·江蘇連云港·二模）如圖，正方形ABCD的邊長是3，P、Q分別在AB、BC的延長線上，且，連接AQ、DP交于點O，分別與邊CD，BC交于點F，E，連接AE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，；其中正確的是（

）（寫出所有正確結(jié)論的序號）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④20．（2022·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校三模）如圖，在邊長一定的正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一動點，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個結(jié)論：①；②四邊形AFCE的面積是定值；③當(dāng)時，E為△ADC的內(nèi)心；④若點F在BC上以一定的速度，從B往C運動，則點E與點F的運動速度相等．其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．421．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬）是邊長為4的等邊三角形，其中點P為高AD上的一個動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE，則周長的最小值是（

）A． B． C． D．22．（2022·江蘇南通·二模）如圖，等邊三角形ABC中，點P，Q分別在邊AB，AC上，BP＝2CQ．過由Q作PQ的垂線，交邊BC于點R．若求△ABC的周長，則只需知道（

）A．四邊形APRQ的周長 B．四邊形PQCR的周長C．△BPR的周長 D．△APQ的周長23．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC、CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA延長線于點Q，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個24．（2022·江蘇蘇州·模擬）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．25．（2022·江蘇·江陰市周莊中學(xué)一模）如圖，在正方形ABCD中，點O是對角線BD的中點，點P在線段OD上，連接AP并延長交CD于點E，過點P作PF⊥AP交BC于點F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【選擇題】必考重點01三角形與四邊形的性質(zhì)及判定近幾年江蘇中考看，在選擇題中對幾何性質(zhì)的考查一直是必考點，對于平行線的性質(zhì)一般考查比較簡單，三角形和四邊形的性質(zhì)的考查在難度上多數(shù)為中等或者較難題型較多，在解此類題型時，需要考生熟練掌握三角形、四邊形的性質(zhì)和判定定理，能夠利用判定定理判定特殊的三角形、四邊形以及三角形全等，并利用它們的性質(zhì)，求解角度的大小、角與角之間的數(shù)量關(guān)系，線段的長度以及線段之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等?！?022·江蘇泰州·中考母題】如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點D不重合的動點，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點F、G與點C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．【考點分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明等知識點。【思路分析】要求d1＋d2＋d3的最小值，首先應(yīng)明白，只有當(dāng)A、E、F、C四點共線時，d1＋d2＋d3的值最小。先連接CF、CG、AE，證可得，得到?！敬鸢浮緾【詳解】解：如圖，連接CF、CG、AE，∵∴在和中，∵∴∴∴當(dāng)時，最小，∴d1＋d2＋d3的最小值為，故選：C．【2021·江蘇無錫·中考母題】如圖，D、E、F分別是各邊中點，則以下說法錯誤的是（

）A．和的面積相等B．四邊形是平行四邊形C．若，則四邊形是菱形D．若，則四邊形是矩形【考點分析】本題考查三角形中位線性質(zhì)定理和平行四邊形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！舅悸贩治觥扛鶕?jù)中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形、菱形、矩形的判定定理逐一判斷各個選項，即可得到答案．【答案】C【詳解】解：∵點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，∴DE、DF為△ABC得中位線，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四邊形AEDF一定是平行四邊形，故B正確；∴，∴，，∴和的面積相等，故A正確；∵，∴DF＝AB=AE，∴四邊形不一定是菱形，故C錯誤；∵∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形，故D正確；故選：C．【2020·江蘇南通·中考母題】如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．3【考點分析】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵。【思路分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即可．【答案】A【詳解】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵點D為BC中點，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當(dāng)直線l⊥AC時，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為．故選：A．1．（2022·江蘇揚州·一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，則∠DEF的度數(shù)是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【分析】首先證明△DBE≌△ECF，進而得到∠EFC＝∠DEB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠CFE＋∠FEC的度數(shù)，進而得到∠DEB＋∠FEC的度數(shù)，然后可算出∠DEF的度數(shù)．【詳解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC＝∠DEB，∵∠A＝50°，∴∠C＝（180°?50°）÷2＝65°，∴∠CFE＋∠FEC＝180°?65°＝115°，∴∠DEB＋∠FEC＝115°，∴∠DEF＝180°?115°＝65°，故選：B．2．（2022·江蘇無錫·模擬）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，點F為射線CB上一動點，過點C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是(

)A． B． C．1 D．-2【答案】C【分析】取AC的中點T，連接DT，MT．利用三角形的中位線定理求出DT，利用直角三角形的中線的性質(zhì)求出MT，再根據(jù)，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，取AC的中點T，連接DT，MT．∵，，∴．∵，∴，∴，∴點M的運動軌跡是以T為圓心，TM為半徑的圓，∴，∴DM的最小值為1，故選：C．3．（2022·江蘇無錫·模擬）已知點在線段上，分別以、為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接與相交于點，連接與相交于點，連接、，則①；②≌；③；④是等邊三角形；⑤平分；⑥；以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，判定△BCD≌△ACE，△ACN≌△BCM，△BCF≌△ACO，再分別依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊上的高相等，即可得到正確的結(jié)論．【詳解】解：∵三角形ABC和三角形DCE都是等邊三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE=120°，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE=BD，故①正確；∴∠CBM=∠CAN，又∵∠BMC=∠AMO，∴∠AOB=∠ACB=60°，∴∠BOE=180°?60°=120°，故③正確；∵∠CBM=∠CAN，∠BCM=∠ACN=60°，BC=AC，∴△ACN≌△BCM(ASA)，故②正確；∴CM=CN，又∵∠MCN=60°，∴△MCN是等邊三角形，故④正確；如圖，過C作CG⊥BD，CH⊥AE，∵△BCD≌△ACE，∴△BCD中BD邊上的高與△ACE中AE邊上的高對應(yīng)相等，即CG=CH，∴點C在∠BOE的角平分線上，即CO平分∠BOE，故⑤正確；如圖，在BO上截取OF=OC，則△COF是等邊三角形，∴CO=CF=OF，∠BFC=120°=∠AOC，又∵∠CAO=∠CBF，AC=BC，∴△BCF≌△ACO(AAS)，∴BF=AO，∴BO=BF+OF=AO+CO，故⑥正確；故選：D．4．（2022·江蘇無錫·模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，過菱形ABCD的對稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】證明△BEF是等邊三角形，求出EF，同法可證△DGH，△EOH，△OFG都是等邊三角形，求出EH，GF，F(xiàn)G即可．【詳解】解：如圖，連接BD，AC．∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAO=∠DAO=60°，BD⊥AC，∴∠ABO=∠CBO=30°，∴OA=AB=1，OB=OA=，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO=∠BFO=90°，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE=OF，BE=BF，∵∠EBF=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴EF=BE=×=，同法可證，△DGH，△OEH，△OFG都是等邊三角形，∴EF=GH=，EH=FG=，∴四邊形EFGH的周長=3+，故選：A．5．（2022·江蘇南通·一模）如圖，在中，，的平分線分別交于點E，F(xiàn)，若，，則EF的長是（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明DF=CD，AE=AB，進而可得AF和ED的長，然后可得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AB=CD=3，AD=BC=4，∴∠DFC=∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC=3，同理可證：AE=AB=3，∴AF=DE∵AD=4，∴AF=4-3=1，∴EF=4-1-1=2．故選：A．6．（2022·江蘇南京·二模）如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD（AB＞AD）的四條邊上，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH．下列關(guān)于四邊形EFGH的說法：①存在無數(shù)個四邊形EFGH是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形EFGH是菱形；③存在無數(shù)個四邊形EFGH是矩形；④存在無數(shù)個四邊形EFGH是正方形，正確的是（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】連接AC，BD交于點O，過點O的直線EG和HF分別交AB，BC，CD，AD于點E，F(xiàn)，G，H，則，，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形，逐項判斷即可．【詳解】解：如圖，連接AC，BD交于點O，過點O的直線EG和HF分別交AB，BC，CD，AD于點E，F(xiàn)，G，H．①因為ABCD是矩形，有無數(shù)種情況使得，，即存在無數(shù)個四邊形EFGH是平行四邊形，故①正確；②當(dāng)時，四邊形EFGH是菱形，故存在無數(shù)個四邊形EFGH是菱形，故②正確；③當(dāng)時，四邊形EFGH是矩形，故存在無數(shù)個四邊形EFGH是矩形，故③正確；④當(dāng)四邊形EFGH是正方形時，,,易證，可知,,結(jié)合可推出,與已知條件矛盾，故不存在四邊形EFGH是正方形，故④錯誤；綜上，①②③正確，故選：C．7．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC邊的中點，過點D作DE⊥DF分別交AB、AC于E、F（不與B、C重合）．取EF的中點O，連接AO并延長交BC于G，連接EG、FG．隨著點E、F的位置的變化，有以下四個結(jié)論：①DE＝DF；②四邊形AEDF的面積始終為9；③∠EGF＝90°；④四邊形AEGF的面積有最小值為9．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】證明△BDE≌△ADF，即可判斷①正確；根據(jù)①的結(jié)論判斷②正確；以點O為圓心，OE為半徑作圓O，由∠BDA=90°，證得AG為圓O的直徑，即點G在圓O上，即可判斷③正確；設(shè)AF=x，則BE=AF=x，AE=6-x，證明四邊形AEGF是矩形，利用矩形面積公式求出四邊形AEGF的面積=，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到四邊形AEGF的面積有最大值為9，即可判斷④錯誤．【詳解】解：∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC邊的中點，∴AD=BD=CD，∠B=∠CAD=45°，∠ADB=90°，∵∠EDF=90°，∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF，∴∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF，故①正確；∴四邊形AEDF的面積==，∴四邊形AEDF的面積始終為9，故②正確；以點O為圓心，OE為半徑作圓O，連接OD，∵∠EDF=90°，點O為EF的中點，∴OD=OE=OF=OA，∵∠ADG=90°，∴∠GAO+∠AGD=∠ADO+∠GDO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠AGD=∠ODG，∴OA=OD=OA，∴AG為圓O的直徑，即點G在圓O上，∴∠EGF=90°，故③正確；設(shè)AF=x，則BE=AF=x，AE=6-x，∵OA=OG=OE=OF，∴四邊形AEGF是平行四邊形，∵∠EAF=90°，∴四邊形AEGF是矩形，∴四邊形AEGF的面積=，∴當(dāng)x=3時，四邊形AEGF的面積有最大值，最大值為9，故④錯誤；正確的有①②③．故選：A．8．（2022·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中一模）如圖，ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，∠ADC的角平分線DE交BC于點E，交AC于點F，CG⊥DE，垂足為G，DG=cm，則EF的長為（

）A．2cm B．cm C．cm D．cm【答案】C【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠CDE=∠CED，進而求出CE的長，再證明△AFD∽△CFE，最后利用相似三角形的性質(zhì)求出EF的長即可．【詳解】解：∵在?ABCD中，∠ADC的平分線DE交BC于點E，∴∠ADE=∠EDC，∠ADE=∠DEC，AB=DC，∴∠CDE=∠CED，∵AB=4cm，AD=6cm，∴EC=DC=AB=4cm，∵CG⊥DE，DG=cm，∴EG=DG=cm，∴DE=4cm，∵AD∥BC，∴△AFD∽△CFE，∴，則，解得：EF=．故選C．9．（2022·江蘇·宜興市實驗中學(xué)二模）如圖：正方形ABCD邊長為1，P是AD邊中點，點B與點E關(guān)于直線CP對稱，連接CE，射線ED與CP交于點F，則EF的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BE交CF于H，交CD于N，連接BF，由“SSS”可證△CFB≌△CFE，可得∠FBC＝∠FEC，∠BFC＝∠EFC，通過證明點C，點D，點F，點B四點共圓，可得∠BFD+∠BCD＝180°，即∠BFD＝90°，由“AAS”可證△BCN≌△CDP，可得CN＝PD＝，由銳角三角函數(shù)可求BH的長，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求EF的長．【詳解】解：如圖，連接BE交CF于H，交CD于N，連接BF，∵正方形ABCD邊長為1，P是AD邊中點，∴BC＝CD＝1，PD＝，∠PDC＝∠BCD＝90°，∵點B與點E關(guān)于直線CP對稱，∴CP垂直平分BE，∴BC＝CE，BF＝EF，CF⊥BE，BH＝EH，又∵CF＝CF，∴△CFB≌△CFE（SSS），∴∠FBC＝∠FEC，∠BFC＝∠EFC，∵CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE，∴∠CDE＝∠FBC，∴點C，點D，點F，點B四點共圓，∴∠BFD+∠BCD＝180°，∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝∠EFC＝45°，∵CP⊥BE，∴∠CBH+∠HCB＝90°，又∵∠BCH+∠DCP＝90°，∴∠HBC＝∠DCP，又∵BC＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴△BCN≌△CDP（ASA），∴CN＝PD＝，∴BN＝，∵cos∠NBC＝，∴BH＝，∴EH＝BH＝，∵CF⊥BE，∠CFE＝45°，∴EF＝HE＝，故選：D．10．（2022·江蘇淮安·一模）如圖，在中，點E在BC上，AE與BD相交于點F，若BE：EC=4:5，則BF：FD=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由平行四邊形的性質(zhì)得，AD=BC，從而∠ADF=∠EBF，結(jié)合對頂角相等，可證，再利用相似三角形的性質(zhì)得比例式，然后結(jié)合已知比例式求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，AD=BC，∴∠ADF=∠EBF，又∵∠AFD=∠EFB，∴，∴，∵BE：EC=4：5，∴BE：BC=4：9，∴BF：FD=4：9，故選：D．11．（2022·江蘇宿遷·二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在BC的延長線上取一點E，連接OE交CD于點F．已知，，則CF的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作OGCD交BC于點G，根據(jù)平行線分線段成比例定理證明BG＝CG，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OB＝OD，則GO是△BCD的中位線，可求出BG、CG和OG的長，再求出GE的長，由CFGO可得△ECF∽△EGO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CF的長．【詳解】解：如圖，作OGCD交BC于點G，∵四邊形ABCD是菱形，且AB＝5，∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，∴，∴BG＝CG＝，∴GO是△BCD的中位線∴GO＝CD＝，GOCD∵CE＝1，∴GE＝CG+CE＝+1＝，∵CFGO，∴∠ECF=∠EGO∵∠E=∠E∴△ECF∽△EGO，∴，∴CF＝，∴CF的長為，故選：D．12．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，點E為平行四邊形內(nèi)一點且∠AED＝∠BEC＝90°，若∠DEC＝45°，則AD的長為（）A．3 B．2 C． D．2【答案】B【分析】取AD，BC的中點M，N，連接MN，ME，NE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得EM=AD=MD，EN=BC=NC，過點E作EPAD交CD于點P，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明△MEN為等腰直角三角形，進而可得結(jié)果．【詳解】如圖，取AD，BC的中點M，N，連接MN，ME，NE，則MN=AB=2，在平行四邊形ABCD中，AD=BC，ADBC，AD，BC的中點為M，N，∠AED=∠BEC=90°，EM=AD=MD，EN=BC=NC，EM=EN，∠MED=∠MDE，∠CEN=∠NCE，過點E作EPAD交CD于點P，EPBC，∠MDE=∠DEP，∠NCE=∠PEC，∠MED=∠DEP，∠CEN=∠PEC，∠MED+∠CEN=∠DEP+∠PEC=∠DEC=45°，∠MEN=90°，△MEN為等腰直角三角形，AD=2ME=2×MN＝2，故選：B．13．（2022·江蘇蘇州·一模）已知，矩形ABCD中，E為AB上一定點，F(xiàn)為BC上一動點，以EF為一邊作平行四邊形EFGH，點G，H分別在CD和AD上，若平行四邊形EFGH的面積不會隨點F的位置改變而改變，則應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，，，由于四邊形EFGH為平行四邊形且四邊形ABCD是矩形，所以，，根據(jù)，化簡后得，F(xiàn)為BC上一動點，x是變量，是x的系數(shù)，根據(jù)平不會隨點F的位置改變而改變，為固定值，x的系數(shù)為0，bc為固定值，，進而可得點E是AB的中點，即可進行判斷．【詳解】解：∵四邊形EFGH為平行四邊形且四邊形ABCD是矩形，∴，，設(shè)，，，，∴∵F為BC上一動點，∴x是變量，是x的系數(shù)，∵不會隨點F的位置改變而改變，為固定值，∴x的系數(shù)為0，bc為固定值，∴，∴，∴E是AB的中點，∴，故選：C．14．（2022·江蘇·江陰市祝塘第二中學(xué)一模）如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，點D在△ABC內(nèi)，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，過點D作直線PQ，分別交AB、AC于點P、Q，若△APQ與△ABC相似，則線段PQ的長為（）A．5 B． C．5或 D．6【答案】B【分析】當(dāng)PQ∥BC時，△APQ∽△ABC，如圖1，根據(jù)角平分線的定義得到∠PBD＝∠CBD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PB＝PD，同理，DQ＝CQ，設(shè)AP＝4x，AQ＝3x，根據(jù)勾股定理得到PQ＝5x，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；當(dāng)∠APQ＝∠ACB時，△APQ∽△ACB，由勾股定理得到BC＝10，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF＝DG，根據(jù)三角形的面積公式得到DE＝＝2，四邊形AEDF是正方形，推出△PED∽△DFQ∽△CAB，求得＝＝＝，得到PE＝，F(xiàn)Q＝，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)PQ∥BC時，△APQ∽△ABC，如圖1，∵DB平分∠ABC，∴∠PBD＝∠CBD，∵PD∥BC，∴∠PDB＝∠DBC，∴∠PBD＝∠PDB，∴PB＝PD，同理，DQ＝CQ，∵∠APQ＝∠ABC，∴tan∠APQ＝tan∠ABC＝＝＝，∴設(shè)AP＝4x，AQ＝3x，∴PQ＝5x，∵PB＝PD＝8﹣4x，PQ＝CQ＝6﹣3x，∴8﹣4x+6﹣3x＝5x，∴x＝，∴PQ＝5x＝；當(dāng)∠APQ＝∠ACB時，△APQ∽△ACB，∵AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，∴BC＝10，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，∴DE＝DF＝DG，∵S△ABC＝DE（AB+AC+BC）＝AB?AC，∴DE＝＝2，四邊形AEDF是正方形，∴DF∥AP，∴∠EPD＝∠FDQ，同理∠EDP＝∠FQD，∴△PED∽△DFQ∽△CAB，∴＝＝＝，∴PE＝，F(xiàn)Q＝，∴PD＝＝＝，DQ＝＝＝，∴PQ＝PD+DQ＝+＝，綜上所述，若△APQ與△ABC相似，則線段PQ的長為，故選：B．15．（2022·江蘇·南外雨花分校一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列條件中，不能判斷這個平行四邊形是菱形的是（

）A．AB=AD B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．AC⊥BD【答案】C【分析】根據(jù)菱形的判定定理分別進行分析即可．【詳解】由鄰邊相等的平行四邊形是菱形，A選項可以判斷這個平行四邊形是菱形由AB//CD可得∠BAC=∠DCA，及∠BAC=∠DAC可得∠DAC=∠DCA，可得AD=CD，由鄰邊相等的平行四邊形是菱形，B選項可以判斷這個平行四邊形是菱形由∠BAC=∠ABD可得OA=OB，則AC=BD，可得這個四邊形是矩形，C選項不可以判斷這個平行四邊形是菱形由對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，D選項可以判斷這個平行四邊形是菱形故答案選：C16．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)三模）如圖，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于點D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，則tan∠CBD的值為（）A．5 B． C．3 D．【答案】B【分析】延長BD交AC于點E，先證明，從而求出BE的長，再利用等腰三角形的判定求出AE，利用線段的和差關(guān)系求出CE，得用勾股定理求出CD，最后求出的正切．【詳解】解：延長BD交AC于點E，如圖，∵DC平分，于點D，∴，，在和中，，∴，∴BD=ED=1，∵，∴AE=BE=2，∵AC=7∴CE=AC-AE=5，∴，∴．故選：B．17．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，點E、F分別是AB，AD邊上的中點，則sin∠ECF＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接AC，EF，過點E作EN⊥CF于點N，證明△ABC≌△ADC，得到，，再證明△BEC≌△DFC，得到，設(shè)，，再求出BC、CE、CF，設(shè)，則也可表示出，在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得，，求出NF的長，再解出EN的長，最后求出所求角的正弦值即可．【詳解】如圖，連接AC，EF，過點E作EN⊥CF于點N，∵在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（HL），∴，，又∵，∴，∵E、F分別是AB、AD的中點，∴，∵在△BEC和△DFC中，，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴，設(shè)，，∵，，∴，∵在Rt△BEC中，由勾股定理可得，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，∵在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得，，∴，∴，解得，則，∵，∴，∴，故選：D．18．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，在中，，．矩形的頂點、、分別在邊、、上，若，則矩形面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】過點作，垂足為，根據(jù)已知可得，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可證一線三等角模型相似三角形，從而可得，然后設(shè)，，，，利用勾股定理可得，，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義表示出，從而根據(jù)，可得，最后根據(jù)矩形的面積公式進行計算可得矩形的面積，從而利用二次函數(shù)的最值進行計算即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，矩形的面積，當(dāng)時，矩形的面積最大值為：，故選：C．19．（2022·江蘇連云港·二模）如圖，正方形ABCD的邊長是3，P、Q分別在AB、BC的延長線上，且，連接AQ、DP交于點O，分別與邊CD，BC交于點F，E，連接AE．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，；其中正確的是（

）（寫出所有正確結(jié)論的序號）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】C【分析】由四邊形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠P＝∠Q，根據(jù)余角的性質(zhì)得到AQ⊥DP；故①正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AO2＝OD?OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE?OP；故③錯誤；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，即S△AOD＝S四邊形OECF；故②正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP與△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ（SAS），∴∠P＝∠Q，∵∠Q＋∠QAB＝90°，∴∠P＋∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴AQ⊥DP；故①正確，符合題意；∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO＋∠P＝∠ADO＋∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠P，∴△DAO∽△APO，∴，∴AO2＝OD?OP，∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE?OP；故③錯誤，不符合題意；在△CQF與△BPE中，∴△CQF≌△BPE（AAS），∴CF＝BE，∴DF＝CE，在△ADF與△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，即S△AOD＝S四邊形OECF；故②正確，符合題意；∵BP＝1，AB＝3，∴AP＝4，∵△PBE∽△PAD，∴，∴BE＝，∴QE＝，∵△QOE∽△PAD，∴，∴QO＝，OE＝，∴AO＝5－QO＝，∴tan∠OAE＝，故④正確，符合題意；故答案為：①②④．20．（2022·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校三模）如圖，在邊長一定的正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一動點，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個結(jié)論：①；②四邊形AFCE的面積是定值；③當(dāng)時，E為△ADC的內(nèi)心；④若點F在BC上以一定的速度，從B往C運動，則點E與點F的運動速度相等．其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)得：∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=45°，從而可判定①正確；由已知及①可得△CAF∽△DAE，由△CAF∽△DAE可得∠ADE=∠CDE=45°，，由正方形的性質(zhì)可證明△ADE≌△CDE，可得AE=CE，即可判斷②；即有∠EAC=∠ECA，再由∠AEC=135°可得∠EAC=∠ECA=22.5°，從而CE、AE分別平分∠ACD、∠CAD，即可判定③正確；連接BD交AC于點O，由∠ADE=∠CDE=45°知，點E的運動軌跡為線段OD，而點F的運動軌跡為線段BC，由知，點F的運動速度是點E的運動速度的倍，即④錯誤，因而可確定答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴AD=CD，∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=∠ACB=45°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠FAE=∠DAC=45°，∵∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=∠DAC=45°，∴∠CAF=∠DAE，故①正確；∵△AEF、△DAC都是等腰直角三角形，∴即，∵∠CAF=∠DAE，∴△CAF∽△DAE，∴∠ADE=∠ACB=45°，，∵∠ADC=90°，∴∠ADE=∠CDE=45°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴AE=CE，，∴∠EAC=∠ECA，，∴四邊形AECF的面積是定值，故②正確；∵∠AEC=135°，∴，∵∠DAC=∠DCA=45°=2∠EAC=2∠ECA，∴CE、AE分別平分∠ACD、∠CAD，∵∠ADE=∠CDE=45°，∴DE平分∠ADC即點E是△ADC角平分線的交點，從而是△ADE的內(nèi)心，故③正確；如圖，連接BD交AC于點O，∵∠ADE=∠CDE=45°，當(dāng)點F與點B重合時，點E與點O重合；當(dāng)點F與點C重合時，點E與點D重合，∴點E的運動軌跡為線段OD，而點F的運動軌跡為線段BC，∵，且點F與點E的運動時間相同，∴，即點F與點E的運動速度不相同，故④錯誤故選：C．21．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·模擬）是邊長為4的等邊三角形，其中點P為高AD上的一個動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE，則周長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，作關(guān)于的對稱點，連接，根據(jù)對稱性可得周長，當(dāng)三點共線時，取得最小值，據(jù)此即可求解．【詳解】將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，△BPE是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC=4，∠BAC=∠ABC=60°，∵AD⊥CB，∴BD=CD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，∵∠PBE=∠ABC=60°，∴∠ABP=∠CPE，∵BA=BC，BP=BE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BAP=∠BCE=30°，AP=CE∴點E的運動軌跡是射線CE（∠BCE=30°），如圖，作關(guān)于的對稱點，連接，，，是等邊三角形，周長當(dāng)三點共線時，取得最小值，最小值為故選A22．（2022·江蘇南通·二模）如圖，等邊三角形ABC中，點P，Q分別在邊AB，AC上，BP＝2CQ．過由Q作PQ的垂線，交邊BC于點R．若求△ABC的周長，則只需知道（

）A．四邊形APRQ的周長 B．四邊形PQCR的周長C．△BPR的周長 D．△APQ的周長【答案】C【分析】取的中點，連接，過點作交于點，過點作，交于點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與判定可知是等邊三角形，進而證明是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，計算的周長為，即可求解．【詳解】如圖，取的中點，連接，過點作交于點，過點作，交于點，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，同理可得是等邊三角形，，則，即，是的中點，則，中，是斜邊上的中線，，，，，即為的中點，，，，又，，三點共線，是等邊三角形，，四邊形是平行四邊形，，，．△BPR的周長等于，等邊三角形的周長等于．故選C．23．（2022·江蘇無錫·一模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC、CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA延長線于點Q，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】①先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，再利用正方形的性質(zhì)得到，通過角的等量代換得出，得到；②根據(jù)正方形的性質(zhì)、線段中點的定義可得到，，，證明出，之后利用等角的余角相等可得出結(jié)果；③用相似的定理證明，再根據(jù)對應(yīng)邊的比值相等求出；④設(shè)正方形邊長為，，然后在中利用勾股定理求出的值，由此利用余弦的定義即可得出結(jié)果；⑤先利用勾股定理求出AE的長，再利用面積法求出的長，再利用勾股定理求出的長，然后分別求出和即可得出其關(guān)系．【詳解】解：①∵△BCF沿BF對折，得到△BPF，∴,∴,∵正方形ABCD，∴，∴，∴，∴，故結(jié)論①是正確的，符合題意；