陜西省西安市鄠邑區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市鄠邑區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷一、選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意得，則．故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以的虛部為．故選：B3.已知橢圓的離心率為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知離心率，則，又，所以，即，所以.故選：D.4.若過(guò)點(diǎn)可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓，即圓，則，解得．過(guò)點(diǎn)有兩條切線，則點(diǎn)P在圓外，1-02+2-12>5-故．故選：C5.已知和是兩個(gè)平面，a，b，c是三條不同的直線，且，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，，所以，又，，所以成立，當(dāng)時(shí)，若a與c相交，則b與c異面，不能推導(dǎo)出，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.6.已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（）A.12 B.14 C.16 D.18〖答案〗B〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為q，可得，則，所以．故選：B.7.已知，函數(shù)，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，，即為最大值或最小值，即為函?shù)的一條對(duì)稱軸，所以，解得，又，所以當(dāng)時(shí)取得最小值.故選：B.8.在研究變量與之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)沒(méi)剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)前的平均數(shù)分別為，，剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)后的平均數(shù)分別為，，因?yàn)椋?，，則，所以，又因?yàn)?，所以，解?故選：C.9.已知函數(shù)則在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以，．則所求的切線方程為，即．故選：B10.方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為（）A.40 B.28 C.22 D.12〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以的因?shù)有個(gè)，故方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為40．故選：A11.如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且只有1個(gè)球；第2堆有2層4個(gè)球，其中第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球；…；第n堆有n層共個(gè)球，第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，第3層有6個(gè)球，…．已知，則（）A.2290 B.2540 C.2650 D.2870〖答案〗D〖解析〗在第堆中，從第2層起，第n層的球的個(gè)數(shù)比第層的球的個(gè)數(shù)多n，記第n層球的個(gè)數(shù)為，則，得，其中也適合上式，則，在第n堆中，，當(dāng)時(shí)，，解得.故選：D.12.已知定義在R上的函數(shù)滿足．若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（）A.0 B.50 C.2509 D.2499〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，從而，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．由，可得．令，得，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則有，所以，，兩式相減得，故是以4為周期函數(shù)．因?yàn)?，，，，所以．故選：D.第Ⅱ卷二、填空題13.已知向量，，，則______．〖答案〗〖解析〗，解得．故〖答案〗為：14.若x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗9〖解析〗表示直線在軸的截距，由可得，即，畫(huà)出可行域知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，且最大值為9．故〖答案〗為：.15.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線的左支于A，B兩點(diǎn)，，，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題可設(shè)，，由余弦定理可得，即，解得，因?yàn)椋?，即，在中，，，，所以，即，解得，則所求雙曲線的離心率為．故〖答案〗為：．16.在長(zhǎng)方體中，，平面平面，則截四面體所得截面面積的最大值為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗平面截四面體的截面如圖所示，設(shè)，則，所以四邊形為平行四邊形，且，在矩形中，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求角的大?。唬?）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．解：（1）依題意，，在中，由正弦定理得，因此，而，則，又，所以.（2）由的面積為，得，解得，由余弦定理得，而，則，解得，，所以的周長(zhǎng)為.18.在四棱錐中，平面平面，∥，，，．（1）證明：；（2）若為等邊三角形，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值．（1）證明：因?yàn)?，，可知，，則，即．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且，可知平面PAD，且平面PAD，所以．（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別，的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫嫫矫妫芍獄軸在平面內(nèi)，則，，，，可得，，．設(shè)平面PBD的法向量為，則，令，則，可得．設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為，則，所以直線PC與平面PBD所成角的正弦值為．19.假設(shè)某同學(xué)每次投籃命中的概率均為.（1）若該同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率；（2）該同學(xué)參加投籃訓(xùn)練，訓(xùn)練計(jì)劃如下：先投個(gè)球，若這個(gè)球都投進(jìn)，則訓(xùn)練結(jié)束，否則額外再投個(gè).試問(wèn)為何值時(shí)，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大？解：（1）記該同學(xué)投籃4次，投中次數(shù)為，則，所以恰好投中2次的概率.（2）記該同學(xué)的投籃次數(shù)為，則的可能取值有，，所以，由題知，，得，所以，記，則，所以，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大.20.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值為6.（1）求拋物線的方程.（2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且是線段的中點(diǎn)，試判斷直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.解：（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即，得,故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則方程為，方程為,聯(lián)立與拋物線的方程可得，即,因此點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，則點(diǎn)坐標(biāo),同理可得點(diǎn)坐標(biāo)為,因此直線的斜率為,代入點(diǎn)坐標(biāo)可以得到方程為,整理可以得到,因此經(jīng)過(guò)定點(diǎn).21.已知函數(shù)．（1）是否存在實(shí)數(shù)，使得和在上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）已知是的零點(diǎn)，是的零點(diǎn)．①證明：，②證明：．（1）解：由題意得，當(dāng)時(shí)，，所以和在上都單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，若和在上的單調(diào)區(qū)間相同，則和有相同的極值點(diǎn)，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以無(wú)解，綜上，當(dāng)時(shí)，和在上的單調(diào)區(qū)間相同；（2）證明：①由題意，有兩個(gè)零點(diǎn)，，若，則，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意，若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，得證；②令，得，即，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，它們有公共點(diǎn)，如圖，故，且有，由，得，即，又，所以，由，得，即，又，所以，由，得，即，故.（二）選考題［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線和曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求．解：（1）消去參數(shù)，可得直線的直角坐標(biāo)方程為．由,可得的直角坐標(biāo)方程為，即．（2）由（1）可知，是以為圓心，為半徑的圓．因?yàn)橹本€和曲線恰有一