北師版八上數(shù)學(xué)1.1 探索勾股定理（第一課時(shí)）（課件）

第一章勾股定理1探索勾股定理（第一課時(shí)）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊BS版01課前預(yù)習(xí)

1.

勾股定理.直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用

a

，

b

和

c

分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么

?.注意：（1）運(yùn)用勾股定理的前提是直角三角形；（2）要分清

直角邊和斜邊.a2＋

b2＝

c2

2.

若將以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積分別

記為

Sa

，

Sb

，以斜邊為邊長的正方形的面積記為

Sc

，則

Sa

，

Sb

，

Sc

三者之間的關(guān)系是

?.Sa

＋

Sb

＝

Sc

數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊BS版02典例講練

在△

ABC

中，已知∠

C

＝90°，∠

A

，∠

B

，∠

C

的對(duì)邊分別為

a

，

b

，

c

.（1）若

a

＝8，

b

＝15，則

c

＝

?；（2）若

a

＝9，

c

＝15，則

b

＝

?；17

12

（3）若

a

∶

b

＝3∶4，

c

＝10，則

a

＝

，

b

＝

?.6

8

【思路導(dǎo)航】在直角三角形中，已知任意兩邊的長，利用勾股

定理可求第三邊的長.【解析】（1）在Rt△

ABC

中，根據(jù)勾股定理，得

c2＝

a2＋

b2＝82＋152＝289.所以

c

＝17（負(fù)值舍去）.故答案為17.（2）在Rt△

ABC

中，根據(jù)勾股定理，得

b2＝

c2－

a2＝152－92＝144.所以

b

＝12（負(fù)值舍去）.故答案為12.（3）由已知

a

∶

b

＝3∶4，可設(shè)

a

＝3

k

，

b

＝4

k

（

k

＞0）.在Rt△

ABC

中，根據(jù)勾股定理，得（3

k

）2＋（4

k

）2＝102，即9

k2＋16

k2＝25

k2＝100.解得

k

＝2（負(fù)值舍去）.所以

a

＝3

k

＝6，

b

＝4

k

＝8.故答案為6，8.【點(diǎn)撥】利用勾股定理求直角三角形的邊長的基本方法：（1）

首先要分清楚哪條邊是斜邊，哪兩條邊是直角邊；（2）正確代

入

a2＋

b2＝

c2（其中

a

，

b

為直角邊長，

c

為斜邊長）；（3）

“知二求一”，計(jì)算出第三邊的長.像本例第（3）題中給出比

例式

a

∶

b

＝3∶4，解本題的基本方法是設(shè)出參數(shù)

k

（即設(shè)出新

的未知數(shù)），并用含

k

的式子把

a

，

b

表示出來，再利用勾股定

理建立方程，求出參數(shù)

k

的值，進(jìn)而求出

a

，

b

的值.

1.

求下列直角三角形中未知邊

AB

的長度.（1）

解：在Rt△

ABC

中，∠

B

＝90°，根據(jù)勾股定理，得

AB2＋

BC2＝

AC2.所以

AB2＝

AC2－

BC2＝202－122＝256.因?yàn)?/p>

AB

＞0，所以

AB

＝16.（2）

解：在Rt△

ACB

中，∠

C

＝90°，根據(jù)勾股定理，得

AB2＝

AC2＋

BC2＝72＋242＝625.因?yàn)?/p>

AB

＞0，所以

AB

＝25.2.

（2021·成都）如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則

A

所代

表的正方形的面積為

?.100

（1）如圖，在△

ABC

中，已知

AB

＝15

cm，

AC

＝13

cm，

BC

＝14

cm，求△

ABC

的面積.【思路導(dǎo)航】結(jié)合圖形作△

ABC

邊

BC

上的高構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出△

ABC

邊

BC

上的高，再利用三角形的面積公式即可解答.解：如圖，過點(diǎn)

A

作

AD

⊥

BC

于點(diǎn)

D

，則∠

ADB

＝∠

ADC

＝90°.設(shè)

BD

＝

x

cm，則

CD

＝（14－

x

）cm.在Rt△

ABD

中，∠

ADB

＝90°，由勾股定理，得

AD2＝

AB2－

BD2＝152－

x2.在Rt△

ACD

中，∠

ADC

＝90°，由勾股定理，得

AD2＝

AC2－

CD2＝132－（14－

x

）2.所以152－

x2＝132－（14－

x

）2，解得

x

＝9.所以

AD2＝152－92＝144.所以

AD

＝12

cm（負(fù)值舍去）.

【點(diǎn)撥】勾股定理只能在直角三角形中應(yīng)用，對(duì)于一般的三角

形，常常作垂線（或作高）來構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股

定理求得未知線段的長.在構(gòu)造直角三角形時(shí)，盡量不要破壞已

知條件中的特殊角和已知的邊.（2）已知直角三角形的兩邊長分別為3和4，求第三邊長的

平方.【思路導(dǎo)航】本題沒有說明3和4是否都是直角邊的長，需要分

類討論求解.解：①當(dāng)3和4都是直角邊的長時(shí)，根據(jù)勾股定理，得32＋42＝

25.所以第三邊長的平方為25.②當(dāng)4為斜邊的長時(shí)，根據(jù)勾股定理，得42－32＝7.所以第三邊長的平方為7.綜上所述，第三邊長的平方為25或7.【點(diǎn)撥】若題目中明確給出斜邊的長和一條直角邊的長（或給

出兩條直角邊長），則直接運(yùn)用勾股定理求解；若題目中沒有

明確指出給出的邊長是直角邊的長還是斜邊的長時(shí)，就要分為

兩邊都是直角邊或較長的一邊是斜邊，另一邊為直角邊兩種情

況討論.

1.

如圖，在△

ABD

中，∠

D

＝90°，點(diǎn)

C

是

BD

上一點(diǎn).若

BC

＝9，

AB

＝17，

AC

＝10，則

AD

的長為

?.8

【解析】設(shè)

CD

＝

x

，則

BD

＝

BC

＋

CD

＝9＋

x

.在△

ACD

中，∠

D

＝90°，由勾股定理，得AD2＝

AC2－

CD2.在△

ABD

中，∠

D

＝90°，由勾股定理，得AD2＝

AB2－

BD2.所以

AC2－

CD2＝

AB2－

BD2，即102－

x2＝172－（9＋

x

）2，解得

x

＝6.所以

AD2＝102－62＝64.所以

AD

＝8（負(fù)值舍去）.故答案為8.2.

如圖，在Rt△

ABC

中，已知∠

C

＝90°，

AD

平分∠

CAB

，

DC

＝1.5，

BD

＝2.5，求

AC

的長.

答圖

如圖，在長方形

ABCD

中，已知

AB

＝8

cm，

BC

＝10

cm.在

CD

上取一點(diǎn)

E

，將△

ADE

沿

AE

折疊，使點(diǎn)

D

恰好落在邊

BC

上的

點(diǎn)

F

處，求

CE

的長.【思路導(dǎo)航】結(jié)合折疊的性質(zhì)，在Rt△

CEF

中，利用勾股定理

列出方程進(jìn)行求解即可.解：因?yàn)樗倪呅?/p>

ABCD

是長方形，所以

CD

＝

AB

＝8

cm，

AD

＝

BC

＝10

cm，∠

D

＝90°.由折疊的性質(zhì)，得△

AFE

≌△

ADE

.

所以∠

AFE

＝∠

D

＝90°，

AF

＝

AD

＝10

cm，

EF

＝

DE

.

設(shè)

CE

＝

x

cm（

x

＞0），則

EF

＝

DE

＝

CD

－

CE

＝（8－

x

）cm.在Rt△

ABF

中，∠

B

＝90°，由勾股定理，得

AB2＋

BF2＝

AF2，即82＋

BF2＝102.所以

BF

＝6

cm（負(fù)值舍去）.所以

CF

＝

BC

－

BF

＝10－6＝4（cm）.在Rt△

ECF

中，∠

C

＝90°，由勾股定理，得

EF2＝

CE2＋

CF2，即（8－

x

）2＝

x2＋42，解得

x

＝3.故

CE

的長為3

cm.【點(diǎn)撥】本題是軸對(duì)稱（折疊、翻折等）的性質(zhì)與勾股定理

的綜合應(yīng)用，解決這類問題的基本方法是先分清折疊前后哪

些線段相等，哪些角相等，再根據(jù)勾股定理建立方程求出所

需線段的長.利用勾股定理建立方程求線段長是解決折疊問

題的常用方法.

如圖，在長方形

ABCD

中，已知

AB

＝8，

BC

＝6，點(diǎn)

P

為

AD

上

一點(diǎn)，將△

ABP

沿

BP

翻折至△

EBP

，

PE

，

BE

分別與

CD

相交

于點(diǎn)

O

，

G

，且

OE

＝

OD

.

（1）試說明：

DG

＝

EP

；（2）因?yàn)樗倪呅?/p>

ABCD

是長方形，所以∠

D

＝∠

A

＝∠

C

＝90°，

AD

＝

BC

＝6，

CD

＝

AB

＝8.由折疊的性質(zhì)，得△

EBP

≌△

ABP

.

所以

EP

＝

AP

，∠

E

＝∠

A

＝90°，

BE

＝

BA

＝8.由（1）知，△

ODP

≌△

OEG

，

DG

＝

EP

，所以

PD

＝

GE

.

設(shè)

AP

＝

EP

＝

DG