高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)突破 第一部分 專題三 第一講 等差 等比數(shù)列的計(jì)算與證明 理

專題三數(shù)列第一講等差、等比數(shù)列的計(jì)算與證明一、選擇題1．(·全國(guó)Ⅱ)如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35解析：由等差數(shù)列性質(zhì)得a3＋a4＋a5＝3a4由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋…＋a7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝7a4＝28.答案：C2．(·福建)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于()A．6B．7C．8解析：∵{an}是等差數(shù)列，∴a4＋a6＝2a5則a5＝－3，d＝eq\f(a5－a1,5－1)＝eq\f(－3＋11,4)＝2，得{an}是首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列，所有的非正項(xiàng)之和最?。遖6＝－1，a7＝1，∴當(dāng)n＝6時(shí)，Sn取最?。蔬xA.答案：A3．等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為Tn，若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13T17，T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是()A．T10B．T13C．T17D．解析：a3a6a18＝aeq\o\al(3,1)q2＋5＋17＝(a1q8)3＝aeq\o\al(3,9)，即a9為定值，所以與a1下標(biāo)和為18的項(xiàng)積為定值，可知T17為定值．答案：C4．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于()A．80B．26C．30D．16解析：eq\f(S3n,Sn)＝eq\f(14,2)＝eq\f(1－q3n,1－qn)，∴qn＝2.∴S4n＝Sn·eq\f(1－q4n,1－qn)＝30.故選C.答案：C5．(·遼寧)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4＝1，S3則S5＝()A.eq\f(15,2)B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4)D.eq\f(17,2)解析：an>0，a2a4＝aeq\o\al(2,1)q4＝1①S3＝a1＋a1q＋a1q2＝7②解得a1＝4，q＝eq\f(1,2)或－eq\f(1,3)(舍去)，S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32))),1－\f(1,2))＝eq\f(31,4)，故選B.答案：B二、填空題6．(·福建)在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.解析：∵{an}是等比數(shù)列，q＝4，S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.答案：4n－17．(·遼寧理)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且6S5－5S3＝5，則a4＝________.解析：由題意知6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5a1＋\f(5×4,2)d))－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d))＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5，故a4＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．?dāng)?shù)列{an}滿足：an＋1＝an(1－an＋1)，a1＝1，數(shù)列{bn}滿足：bn＝anan＋1，則數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和S10＝________.解析：由題可知an＋1＝an(1－an＋1)，整理可得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝1，則eq\f(1,an)＝1＋(n－1)＝n，所以an＝eq\f(1,n)，bn＝anan＋1＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝1－eq\f(1,11)＝eq\f(10,11).答案：eq\f(10,11)9．已知數(shù)列{an}(n∈N*)滿足：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(nn＝1，2，3，4，5，6,－an－6n≥7，且n∈N*))則a2007＝________.解析：由an＝－an－6(n≥7，且n∈N*)知an＋12＝－an＋6＝an從而知當(dāng)n≥7時(shí)有an＋12＝an于是a2007＝a167×12＋3＝a3＝3.答案：3三、解答題10．如圖給出了一個(gè)“等差數(shù)陣”：其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．(1)寫出a45的值；(2)寫出aij的計(jì)算公式．解：(1)該等差數(shù)陣的第1列是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列，a41＝4＋3×(4－1)＝13，第2列是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列，a42＝7＋5×(4－1)＝22.∵a41＝13，a42＝22，∴第4行是首項(xiàng)為13，公差為9的等差數(shù)列．∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.(2)∵a1j＝4＋3(j－1)，a2j＝7＋5(j－1)，∴第j列是首項(xiàng)為4＋3(j－1)，公差為2j＋1的等差數(shù)列．∴aij＝4＋3(j－1)＋(2j＋1)·(i－1)＝i(2j＋1)＋j.11．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．(1)解：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r.這與p≠r相矛盾．所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．12．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)的和Sn＝eq\f(an＋12,4)，(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b，公比為2，前n項(xiàng)的和為Tn.若對(duì)任意n∈N*，Sn≤Tn均成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解：(1)由a1＝eq\f(a1＋12,4)，解得a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝Sn－Sn－1＝eq\f(an＋12－an－1＋12,4)，得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.又因?yàn)閍n>0，所以an－an－1＝2.因此{(lán)an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即an＝2n－1(n∈N*)．(2)因?yàn)镾n＝n2，Tn＝b(2n－1)，所以Sn≤Tn對(duì)任意n∈N*恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,b)≤eq\f(2n－1,