湖南省婁底市2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期期中 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024年湖南省十三市州初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試仿真訓(xùn)練數(shù)學(xué)溫馨提示：1．滿分為120分，作業(yè)時(shí)量為120分鐘．2．請你將姓名、準(zhǔn)考證號等相關(guān)信息按要求填涂在答題卡上．3．請你在答題卡上作答，答在本卷上無效．一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的）1．2024的倒數(shù)是（

）A． B． C．2024 D．-20242．流感病毒中甲型流感的致病力最強(qiáng)，該病毒的直徑大約是0.米，0.這個(gè)數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．3．如圖，是一個(gè)正方體的表面展開圖，則原正方體中與“贏”字所在的面相對的面上標(biāo)的字是（）

A．中 B．考 C．勝 D．利4．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．5．已知，則的值約為（

）A． B． C． D．6．如圖，是的直徑，弦，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A． B．函數(shù)圖象分布在第二、四象限C．函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小8．植樹節(jié)的起源可以追溯到中國古代“孟春之月，盛德在木”的傳統(tǒng)觀念，這體現(xiàn)了古人對樹木的深深敬仰．某校在“植樹節(jié)”期間帶領(lǐng)學(xué)生開展植樹活動(dòng)，甲、乙兩班同時(shí)開始植樹，甲班比乙班每小時(shí)多植3棵樹，植樹活動(dòng)結(jié)束時(shí)，甲、乙兩班同時(shí)停止植樹，甲班共植70棵樹，乙班共植50棵樹．設(shè)甲班每小時(shí)植x棵樹，依題意可列方程為（

）A． B． C． D．9．若，，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．10．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)．點(diǎn)，是拋物線上兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)最大值記為，最小值記為，設(shè)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）11．若二次根式有意義，則x的取值范圍是．12．已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是．13．有一組數(shù)據(jù)：3，5，7，6，8，8，9，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．14．因式分解：．15．分式方程的解是．16．兩個(gè)三角形如圖擺放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE與AC交于M，若，則∠DMC的大小為．

17．如圖，點(diǎn)A，C在雙曲線上，點(diǎn)B，D在雙曲線上，軸，且四邊形是平行四邊形，則的面積為．18．如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC與BD交于點(diǎn)E，若AB＝，CD＝2，則△ABE的面積為．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19．計(jì)算：．20．先化簡，再求值：，其中，．21．某校組織學(xué)生觀看“天宮課堂”第二課直播，跟著空間站的翟志剛、王亞平、葉光富三位宇航員學(xué)習(xí)科學(xué)知識，他們相互配合，生動(dòng)演示了四個(gè)實(shí)驗(yàn)：（A）微重力環(huán)境下的太空“冰雪”實(shí)驗(yàn)，（B）液橋演示實(shí)驗(yàn)，（C）水油分離實(shí)驗(yàn)，（D）太空拋物實(shí)驗(yàn)．觀看完后，該校對部分學(xué)生對四個(gè)實(shí)驗(yàn)的喜愛情況作了抽樣調(diào)查，將調(diào)查情況制成了如下的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)圖中信息，回答下列問題：(1)共調(diào)查了_________名學(xué)生，圖2中A所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為_________；(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)若從兩名男生、兩名女生中隨機(jī)抽取2人參加學(xué)校組織的“我愛科學(xué)”演講比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的學(xué)生恰好是一男一女的概率．22．為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝避陽篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷長為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當(dāng)太陽光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

23．“文房四寶”是中國獨(dú)有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時(shí)期．基本中學(xué)為了落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課后服務(wù)活動(dòng)，開設(shè)了書法社團(tuán)，計(jì)劃為學(xué)生購買甲、乙兩種型號“文房四寶”，經(jīng)過調(diào)查得知：每套甲型號“文房四寶”的價(jià)格比每套乙型號的價(jià)格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元．(1)求每套甲、乙型號“文房四寶”的價(jià)格分別是多少？(2)若學(xué)校需購進(jìn)甲、乙兩種型號“文房四寶”共120套，總費(fèi)用不超過8600元，并且根據(jù)學(xué)生需求，要求購進(jìn)乙型號“文房四寶”的數(shù)量必須低于甲型號“文房四寶”數(shù)量的3倍，問有幾種購買方案？最低費(fèi)用是多少？24．如圖，在菱形中，對角線，交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)E，延長到點(diǎn)F，使，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．25．如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．(1)求證：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長．26．如圖，拋物線：與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，拋物線的頂點(diǎn)為．(1)求的值及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，記拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸的交點(diǎn)為，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（如圖1），求拋物線的表達(dá)式；(3)如圖2，在（2）的條件下，從，，中任取一點(diǎn)，，，中任取兩點(diǎn)，若以取出的三點(diǎn)為頂點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，我們就稱拋物線為拋物線的“勾股伴隨同類函數(shù)”．當(dāng)拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數(shù)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．1．A【分析】本題考查倒數(shù)的定義，根據(jù)乘積等于1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵∴的倒數(shù)是，故選：D．2．C【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)（確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位）．【詳解】解：，故選：C．3．B【分析】本題考查正方體的展開圖，解題關(guān)鍵是掌握“相對的面之間一定相隔一個(gè)正方形”．根據(jù)正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個(gè)正方形做判斷．【詳解】解：原正方體中與“贏”字所在的面相對的面上標(biāo)的字是“考”．故選：B．4．C【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．選項(xiàng)A根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則判斷即可，同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；選項(xiàng)B根據(jù)合并同類項(xiàng)法則判斷即可，合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；選項(xiàng)C根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則判斷即可，積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘；選項(xiàng)D根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則判斷即可，同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．【詳解】解：A．，故本選項(xiàng)不合題意；B．，故本選項(xiàng)不合題意；C．，故本選項(xiàng)符合題意；D．，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．5．D【分析】根據(jù)的正弦值和余弦值都是的的值，因此值相等．【詳解】∴故選：D【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角形函數(shù)值，解題關(guān)鍵是分清銳角三角函數(shù)中的對邊，鄰邊和斜邊分別是哪條邊．6．B【分析】根據(jù)垂徑定理可得，再由圓周角定理，即可求解．【詳解】解：∵是的直徑，弦，∴，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，故選項(xiàng)正確，不合題意；，此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支位于二四象限，故選選項(xiàng)正確，不合題意；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)正確，不合題意；反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支位于二四象限，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D8．A【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是列分式方程．甲班每小時(shí)植x棵樹，則乙班每小時(shí)植棵樹，甲班植70棵樹所用的時(shí)間與乙班植50棵樹所用的時(shí)間相等，可列方程，即可判斷出錯(cuò)誤的選項(xiàng)．【詳解】解：設(shè)甲班每小時(shí)植x棵樹，則乙班每小時(shí)植棵樹，根據(jù)題意，可如甲、乙兩班植樹時(shí)間相同，可列方程，故選：A．9．A【分析】本題主要考查了冪的乘方運(yùn)算及分式的化簡，解題關(guān)鍵是理解指數(shù)冪的運(yùn)算法則．逆用冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴∴，故選A．10．D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，先求出二次函數(shù)的對稱軸，結(jié)合開口方向再分類討論，當(dāng)點(diǎn)P，Q均在對稱軸左側(cè)；當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)，Q在對稱軸右側(cè)時(shí)；若點(diǎn)P距對稱軸的距離小于點(diǎn)Q距對稱軸的距離時(shí)，分別列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：拋物線對稱軸為直線，當(dāng)點(diǎn)P，Q均在對稱軸左側(cè)時(shí)，有，，，則，∵m隨t的增大而減小，，∴當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)，Q在對稱軸右側(cè)時(shí)①若點(diǎn)P距對稱軸的距離大于點(diǎn)Q距對稱軸的距離時(shí)，有，，，則，對稱軸：，在對稱軸左側(cè)m隨t的增大而減小，∴②若點(diǎn)P距對稱軸的距離小于點(diǎn)Q距對稱軸的距離時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，則，對稱軸：，在對稱軸右側(cè)m隨t的增大而增大，∴，∵，∴點(diǎn)P，Q不可能均在對稱軸右側(cè)．綜上可得：，故答案為D．11．【詳解】解：根據(jù)題意，使二次根式有意義，即x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案為：x≥2．【點(diǎn)睛】本題主要考查使二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．12．12【分析】本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，解答此類問題時(shí)要找到不變量，即多邊形的外角是這一關(guān)鍵．設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的外角和是求出n的值即可．【詳解】解：多邊形的各個(gè)內(nèi)角都等于，每個(gè)外角為，設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，則，解得．故答案為：12．13．7【分析】把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，取中間位置或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均值即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，3，5，6，7，8，8，9；∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7；故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)的求法問題，解題時(shí)應(yīng)先把數(shù)據(jù)按照從大到小，或從小到大的順序排列，再求中位數(shù)，是基礎(chǔ)題．14．【分析】先提取公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解即可求解．【詳解】解：原式＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．15．【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題關(guān)鍵．首先等號兩邊同時(shí)乘以完成去分母，再按照去括號，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)的步驟求解，檢驗(yàn)即可獲得答案．【詳解】解：，等號兩邊同時(shí)乘以，得，去括號，得，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解，所以，該分式方程的解為．故答案為：．16．110°##110度【分析】延長ED交BC于點(diǎn)G，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝30°，∠E＝40°，再利用平行的性質(zhì)求出∠EGC＝∠E=40°，再利用三角形內(nèi)角和即可求出∠DMC＝110°．【詳解】解：延長ED交BC于點(diǎn)G，

∵∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，∴∠C＝30°，∠E＝40°，∵，∴∠EGC＝∠E=40°，∴∠DMC＝180°-∠EGC-∠C=110°．故答案為：110°【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出∠C＝30°，∠E＝40°，證明∠EGC＝∠E=40°．17．8【分析】本題考查了已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積，由平行于y軸的直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形面積公式求解即可．【詳解】解：設(shè)，，軸，四邊形是平行四邊形，軸，，，，，，，邊上的高，的面積，故答案為：8．18．【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根據(jù)三角形的面積公式求得DF，由勾股定理求得AF，再證明△DEF∽△BEC，求得EF，進(jìn)而求得AE，最后由三角形面積公式求得結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴，∵∠ADC＝90°，CD=2，∴，∵，∴，∴，∴，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，解得：，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形與直角三角形．19．【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)、絕對值及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．根據(jù)60度角的正切值、絕對值及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義即可求得結(jié)果．【詳解】解：．20．，100．【分析】按分式的運(yùn)算法則先化簡分式，再代入求值．【詳解】解：原式．當(dāng)，時(shí)．原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本運(yùn)算法則．21．(1)50，；(2)詳見解析；(3)，詳見解析．【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識，（1）由的人數(shù)除以所占百分比得出共調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，即可解決問題；（2）求出的人數(shù)，即可解決問題；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的學(xué)生恰好是一男一女的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．從統(tǒng)計(jì)圖中獲取數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）共調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（名），∴圖2中A所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為：，故答案為：；（2）（2）由圖知，D的人數(shù)為：（人），∴C的人數(shù)為：（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的學(xué)生恰好是一男一女的結(jié)果有8種，∴抽到的學(xué)生恰好是一男一女的概率為．22．米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

依題意，，（米）在中，（米），（米），則（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．23．(1)每套甲、乙型號“文房四寶”的價(jià)格分別是100元，60元(2)有5種購買方案；最低費(fèi)用是8440元【分析】（1）每套甲、乙型號“文房四寶”的價(jià)格分別是x元，y元，根據(jù)每套甲型號“文房四寶”的價(jià)格比每套乙型號的價(jià)格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元，列出方程組，求解即可；（2）設(shè)學(xué)校需購進(jìn)甲型號“文房四寶”m套，則購買乙型號“文房四寶”套，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式組，求出，根據(jù)m取正整數(shù)，得出有5種購買方案，根據(jù)甲型號“文房四寶”的價(jià)格大于乙型號“文房四寶”的價(jià)格，得出當(dāng)甲型號“文房四寶”購買數(shù)量最少時(shí)，費(fèi)用最少，當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用最少，求出最少費(fèi)用即可．【詳解】（1）解：每套甲、乙型號“文房四寶”的價(jià)格分別是x元，y元，根據(jù)題意得：，解得：，答：每套甲、乙型號“文房四寶”的價(jià)格分別是100元，60元；（2）解：設(shè)學(xué)校需購進(jìn)甲型號“文房四寶”m套，則購買乙型號“文房四寶”套，根據(jù)題意得：，解得：，∵m取正整數(shù)，∴，，，，，∴有5種購買方案，∵甲型號“文房四寶”的價(jià)格大于乙型號“文房四寶”的價(jià)格，∴當(dāng)甲型號“文房四寶”購買數(shù)量最少時(shí)，費(fèi)用最少，∴當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用最少，且最少費(fèi)用為：（元），答：有5種購買方案；最低費(fèi)用是8440元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組和不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程組和不等式組．24．(1)見解析(2)【分析】（1）證明，且，，可得，證明四邊形是平行四邊形，結(jié)合，可得結(jié)論；（2）證明，，，可得，求解，可得，結(jié)合，再求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，且，∵，∴，即，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．（2）∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴，在中，由勾股定理可得：∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．25．(1)見解析(2)AI=4【分析】（1）欲證明EB=EI，只要證明∠EBI=∠EIB；（2）連接EC，過點(diǎn)E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延長線于N，證明△AEM≌△AEN和△BME≌△CNE，再利用勾股定理計(jì)算即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵I是△ABC的內(nèi)心，∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠IBE=∠IBD+∠EBD，∵∠CBE=∠CAE，∴∠BIE=∠EBI，∴EB=EI；（2）解：連接EC，過點(diǎn)E作EM⊥AB，EN⊥AC交AC的延長線于N，則EM=EN，∵∠BAE=∠CAE，∴=，∴BE=EC=4．∵AE=AE，EM=EN，∴△AEM≌△AEN，∴AM=AN．∵BE=EC，EM=EN，△BME≌△CNE(HL)，∴BM=CN．設(shè)BM為x，則8-x=6+x，解得x=1，即BM=1，∴AM=7．又∵BE=4，由勾股定理得，EM==．∴AE==8，∵EI=BE=4，∴AI=