高中數(shù)學不等式大題強化訓(xùn)練（解析版）

專題32高等數(shù)學不等式大題強化訓(xùn)練

1.已知a,b,c￡R,且3。2+3/+4/=60.

⑴求Q+b+C的最大值

(2)若a,Z?e(O,4),cG(O,6),求，-+2+生的最小值

4—a4-06-C

【答案】(1)厚(2)5

【解析】

(1)由柯西不等式，知

(a+b+c)。=仁?Via+-y/3b+j2c)

S恃)+信)+(外〔(?產(chǎn)+(W+(2c)邛

=(；+；+；)(3加+3b?+4c2)=：60=404-15=55.

a+&+c<V55.

點時,等號成立.

當且僅當浮~=半=豐>0,即a=b

3石2

/.a+b+c的最大值為v'55.

(2)由a,?！?0,4),c￡(0,6),知a,4—a,b,4—b,c,6—c均為正數(shù),

，a(4-a)=丫=4,&(4-b)<(^)：=4,c(4-c)<(^)==9.

4-a4-h6-ca(4-a)b(4-b)c(4-c)

」(r.lr.l3a*+3b*+4c60

.>—+----1---=---------------=—=□r.

―4491212

又當a=b=2,c=3時，滿足a,?！?0,4),c￡(0,6),3?2+3Z?2+4c,2=60,且‘-+-^+*=5.

士+叁+三的最小值為5?

2.證明：(1)米+3+丸+…37cl(應(yīng)2,AGN)；

（2）分別以1,3……，二……為邊長的正方形能互不重疊地全部放入一個邊長為;的正方形內(nèi).

23n2

【答案】（1）見解析⑵見解析

【解析】

證明：（1）吃--f--F-r--F+-7-^-<吃+合+…+T=彳=1

2個

（2）由（1）知，氐+&+我+…+p^C7<1

故以邊長為支，虧，虧，…匚二的正方形可以并排放入底為1,高為士的矩形內(nèi)，而不重疊.

取k=2,3,4,...,即得底分別為全+品+…+之，或+金+…+士，親+右+…+金，-??>

高分別為3士，。.....的一系列矩形，

這些矩形的底小于1,高的和為

111.擊（1一知111

不一V=+…=Hm-----：—=lim彳（1-zr）（彳

2-2324L8.1x-oc22n2

1-2

因此，以1,：,:，…，：，…為邊長的正方形中，除了邊長為1,：,；的正方形外，其余的正方形全部可

以放入底為1,高為之的矩形中.

而邊長為1,3：的三個正方形顯然可以放入底為W高為1的矩形內(nèi).

2018

Znr左<L

【答案】見解析

【解析】

證明：由遞推式得%+1-1=*一冊=/（冊一1）所以

111

an%-1an+t-1

從而得

Z201S^-,2018,、

-=V（―-------）=1———

Va

n=lOnT：-lOn.L*/02（119—1

:

又《n+l_/=（an-D>o

得數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，所以冊之A=2.

Z20.8

-■=1--------<1

k<*2019-1

由遞推式可得冊=-士從而

On—!1

4?a：…冊==詈=M+L-1.

由均值不等式及已證結(jié)論有

n

2->1

Z“a%一々54a”

n

所以。「a2—an>n

201fl

特另U地a"、-1=a「。二-??a201B>2018

2O1?2OW

a(afc+bc)bQr+e)cCc2+ab)

4.設(shè)a,b,c>0.證明:---------------1------------------1--------------->ab±be-rca.

b+cc+aa+b

【答案】見解析

【解析】

由對稱性不妨設(shè)a<b<Cf則#-<“-<—

b+cc+aa+b

當a?^bc<b2+ca<c2+ab時，即a+bNc時，

由切比雪夫不等式3LH52(桑+裔+土)(。=+b:+c2+ab+bc+ca).

由他加前不等式知氏+會+也靈?

且易知。二+爐+”>ab4-&c+ca.

故3LHS>7,2(ab+be+ca)oLHS>afe+&c+ca.

當且僅當a=b=c時，等號成立.

2

當a+b<c時，a+b>c4-a&>c(a+b)+ab=ab+be+ca,

顯然有LHS>ab+be+ca.

綜上所述，原不等式成立.

5.設(shè)a,瓦c>0.證明：^^+^^+^^>ab+bc+ca.

b+cc+aa+b

【答案】見解析

【解析】

由對稱性不妨設(shè)a<b<Cf則b+c<-c+-a<二a+rb.

當。二+&c<&2+ca<cz+ab時，即a+bNc時，

由切比雪夫不等式3LHS>(端；+工+卷)+爐+/+ab+be+ca).

由Nesbitt不等式知/+-^-+-4>-.

b+ch+<a+b2

且易知a二+爐+c，>a&+he+ca.

故3LHS>7,2(ab+be+ca)oLHS>ab^beca.

當且僅當a=b=c時，等號成立.

當。+b<c時，+產(chǎn)>c，+ab>c(a+b)+ab=ab+be+CQ,

a+b

顯然有LHS>ab-kbe-bca.

綜上所述，原不等式成立.

a(a2+bc)+b(b2+ca)+cl+ab)

6.設(shè)a,b,c>0.證明:Nab+be+ca.

b+cc+aa+b

【答案】見解析

【解析】

由對稱性不妨設(shè)awbwC,則；W上

o+cc+aa+b

當a二+6c<b2+ca<c2+ab時，即a+&>c時，

由切比雪夫不等式3LHSN(親+念+工)G+爐+/+ab+be+cd).

由Nesbitt不等式知;匕+J-+-*>-.

b+cb+ca+b2

且易知a?+&:+c:>a&+&c+ca.

故3ms>7-2(ab+be+ca)=LHS>a&+de+ca.

當且僅當。=b=c時，等號成立.

2

當a+b<c時，a+b>cab>c(a+b)+ab=ab+be+ca,

顯然有LHS>ab+bc+ca.

綜上所述，原不等式成立.

7.⑴求證：對于任意實數(shù)x、y、z都有二二+2y「+3z。2V5(xy+yz+zx).

⑵是否存在實數(shù)k>V5,使得對于任意實數(shù)x、y、z有爐+2尸+3z,之A（xy+yz+zx）恒成立？試證明你

的結(jié)論.

【答案】（1）見解析（2）見解析.

【解析】

⑴由均值不等式，可知三+小工、氏V，三+與之V5xz,三+與2、序yz.

故有x2+2y2+3z2>V3(xy+yz+zx).

(2)xz+2y2+3z2-k(xy+yz+zx)=(x-+(2-+(3-_(j+k)yz.

上式20恒成立，當且僅當2-白。且仔+2)、4(2-？)(3-9

化簡得網(wǎng)<2v2且爐+6H<24.故存在k>V5滿足要求.

8.已知正數(shù)a、b滿足a+b=L求M=11+2a=+2+」的最小值.

【答案】宅

【解析】

由柯西不等式可得(2(f+1)(1+A:)>(a+A):,

歸+償)1(1+*)2(》+為1

所以

M=71+20:+2J(-Y+b:>-^=+2--^2=.①

?1+“2

取等號的條件分別為

4a，=奈②

爐=皂.③

當—=="三時，有『=4笳+L結(jié)合②③得

后+*0+-尸

(|娟臚=第

又a+b=L所以爐+高?=仁)〔整理得

144b&-288b3+263b=+50&-25=0,

故

(4b-1)(36產(chǎn)-63爐+50b+25)=0.④

記/'(b)=36b3-63b2+50b+25,則

f(b)=108b2-126b+50=108僅一白一+羊>0,

所以f(b)在(0,1)上為增函數(shù)，故當0<b<1時，

f(b)>/(0)=25>0.

于是，由④可得!>=；,從而a=:.

代入②③求得，=],〃=；.

代入①式，整理得M2些，因此M的最小值為書.

1212

9.設(shè)x,y,z》0,且至多有一個為0,求f（x,y,z）=母等+第+段的最小值?

【答案】12

【解析】

不妨設(shè)x>y>z.

情形一：當256y?2Kz時，因為乎臥一弓=與衿/20；

戶+產(chǎn)y2?廣+戶）產(chǎn)

y2+ZSbzxy2式256尸一尸0j

-------------=------------>UA：

三+/x2B+X2）短一

/+二564?_二56*尸_Z2.八

產(chǎn)+產(chǎn)一/+產(chǎn)=/+產(chǎn)—5

+腐『+16孱

所以f(%y,z)>

x-+y-孫』之3/=】2

=----—+8.:+8

xyx-+y-

當且僅當x：y=(2+<1)：L且z=0時，f(x,y,z)取到12.

情形二：當256y'C/z時，又Kzw爐y,故256）"<x:y,從而256產(chǎn)<K.

故f（u，z）=e箸+J昔*第

x-+256yz256產(chǎn)+256yz

>―—:+0+0>

J"+z~y2+z2

=16辟。>12.

綜上，f(x,y,z)min=12.

10.若a、b、c為正數(shù)且a+6+c=3,證明：ab+be+ca《+\歷+\后43

【答案】見解析

【解析】

因為v'a+va+n2>3Vo^=3。,

同理、0+、仿+爐>3v^=36

Vc+歷+c，>3=3c

三式相加得2(V0+\'rb+yF)+。二+b二+c，>3(a+b+c)=9=(a+b+c)二

所以2(y￡+、仿+Vc)>(a+&+c)2-a2-&2-c2=2(ab+be+ac)

占攵ab+be+ac<、萬+v&+&

又(口+小+、￡>《(a+b+c)(l+l+l)=9,所以、&+、吊+、E43

綜上可得ab+be+ac(y'a+\!b+\c<3.

11.設(shè)無、y、z為正實數(shù)，求(x+：+&)(y+：+在)(z+：+0)的最小值.

【答案】20+14在

【解析】

記T=(x+j+V2)(y+：+&)(z+；+V2),當x=y=z=l時，T有最小值

(2+V2)1=20+14V2.

下證：T>20+14^.

解法一

rT=(xyz+亡)+V2(xy+yz+zx+標+^+習+3(x+y+z+；+：+：)+々(：+?+1+

S>/222+V2x6"/xy-yz?zx?--,—,--+3x6blx?y?z?-?—,-+V2x33—+5v?=2+6V2+

y，/xyyzzxX，xyzy^zxy

3x6+V2x3+5y/2=20+14\^2,

當X=y=Z=1時，可取到等號.

所以，7的最小值為20+14&.

解法二:

=20+14V2.

當X=y=Z=1時，可取到等號.

所以，T的最小值為20+14G.

解法三：注意到

2+732+732+V3y2+VIb”

于是，

(r+1+V2)(y+1+V2)(z+1+V2)

(2+V2)3

x+1+&y+~+V2z+[+在

-2+V22+V22+V2

故(x++V2)(y+G+在)(z+j+在)>(2+V7)3.

當X=y=Z=l時，可取到等號.

所以，T的最小值為(2+V2)3=20+14Vl

12.設(shè)aeR,且對任意實數(shù)人均有蜀蕊|r+ax+b|之L求〃的取值范圍.

【答案】aw-3

【解析】

解1：/(x)=x2+ax+b,對于|b|21=|f(0)|21,

所以只要考慮叫<1.

(1)當一三三0時，即a20,此時函數(shù)f(x)的最值在拋物線的左右端點取得，對任意仍|<1有

f(l)=l+a+b</(0)=b,所以/'(1)=1+a+b>1,

解得a>1

(2)當0<-]w軻，即一1<a<0,此時函數(shù)f(x)的最值在拋物線的頂點和右端點取得，

而對6=0有If(1)1=11+a|<1,|f(-=|9|<1.

(3)當=<一三±1時，即一2wa<—l時，此時函數(shù)f(x)的最值在拋物線的頂點和左端點取得，而對斤0有

1〃0)1=同<1,/3/用<i.

(4)當一自21時，即as—2,此時函數(shù)f(x)的最值在拋物線的左右端點取得，對任意

\b\<1有|f(0)|=|&|<1，所以/'(1)=L+a+b<-1,解得a<-3.

綜上或a<-3.

解2：設(shè)max\x2+ax+b|>1,則有m>|b|,m2|1+a+b|=2?n>|b|+|1+a4-h|>|1+a|依題意,

x€[O,l]

匕抖N1=>aNL或a三一3.

13.已知實數(shù)a、b>c滿足屐+b，+c，=L求M=a，bc++abc，的最大值和最小值.

【答案】見解析

【解析】

由均值不等式和柯西不等式可得

|a2dc+ab2cabc2\<label+(|a|+\b\+|c|)

《業(yè)產(chǎn)”a+W+舊)

^p3(a:+b:+c=)]=：.

當。=5=。=4時取等號，故M的最大值為上

v33

要使M取最小值，只需考慮6b>0,c<0,且a+b>0的情形,令c=-3貝ij

a2+fe2+12=1,a+&-1>0,此時由于

M=abc(a+b+c)=-abt(a+b—t)

>_￡l±Lt^2(a=+&=)-t]

=—

當a=b=月時取等號，令

fM=J2(l._x)一崗，0<x

若M0為/(x)在[0用上的最大值，則一,也為M的最小值.由于/XO)=f0=0,則/Xx)在(0,5內(nèi)取到最大

值,因此在廣6。=0)的9處取到,由于

—Qr

f'(x)=—=z[v/l-x(l-4x)+(2x-l)V2x]

2V2x(1-x)

令VT^I(l-4x)=(l-2x)疹，兩邊平方，整理可得

(l-3x)(8x:-8x+l)=0

此方程有根x=Jx=:士二.又因為：+匹〉三，且是增根，故x°=：-三是f(x)的最大值點.因此，

324243324

-/(%)=-彳是M的最小值.

14.已知在正整數(shù)n的各位數(shù)字中，共含有七個1,a：個2,冊個n.證明：2a，xx…x10的Wn+1

并確定使等號成立的條件.

【答案】見解析

【解析】

對正整數(shù)n的位數(shù)使用數(shù)學歸納法.

當n是一位數(shù)，即lVn<10時，所證式顯然成立，

這是因為，此時”的十進制表達式中只有一位數(shù)字”，

即=L其余%=0。H??),所以，左邊=(n+1)1=右邊.

假設(shè)當正整數(shù)n不超過k位，即“<10"時，結(jié)論皆成立.

現(xiàn)考慮n為k+1位數(shù),即10、<n<10/+工時的情形.

設(shè)n的首位數(shù)字為r.貝M=”0k+%(0S%S10*-1).①

若“1=0,則在數(shù)”的各位數(shù)字中，ar=1,其余%=0。h?-).

顯然，6+1)冊<n+1.

k

<nt<10-1,記八的各位數(shù)字中含有4個1,a?個2,…，4個r,…，個9.

則n的各位數(shù)字中,含有冊+1個r、勺個j(l<j<9,Jhr).

注意到，正整數(shù)&不超過k位.

由歸納法假設(shè)，對心有

2a,x3a2x…x10%<n+1

=>2a,x3a2x???x(r+1)/+1x???x10的

<(r+l)(nt+1)=r(n，+1)++1

k

<rlO+nx+1=7i+1.②

則當“為k+1位數(shù)時，結(jié)論也成立.

故由數(shù)學歸納法，知對一切正整數(shù)”，結(jié)論皆成立.

欲使等號成立，由證明過程，知要么n為一位數(shù)；要么在n的位數(shù)大于或等于2時，由式②，必須%+1=10%

此時，由式①得四="0"+10"-l(lwr三9),

即兀可表示為二’(k>0,1<r<9)的形式.

上述條件也是充分的，當”能夠表成以上形式時，有％=1?9=匕其余%=().

柏2alx3%x-x(r+1)0Tx—x10%

=(r+l)110k=n+1.

15.一次競賽共有n道判斷題，統(tǒng)計八名考生的答題后發(fā)現(xiàn)：對于任意兩道題，恰有兩名考生答“T,T”；

恰有兩名考生答“F,F”；恰有兩名考生答“T,F”；恰有兩名考生答“F,T”.求n的最大值.

【答案】7

【解析】

記“T”為1,“F”為0,從而，得到一個8行n列的數(shù)表.

顯然，交換同一列的0和1,此表的性質(zhì)不改變.因此，不妨設(shè)數(shù)表第一行全為0.

設(shè)第i行共有2個0(i=l,2,…，8).

則A=n,Qf=4n-n=3?i.

下面考慮同一行中的“00”的對數(shù)，則

9\,S<,S

Z1=11=■1=_

由柯西不等式

"G泡皿，

知：(雪=1-￡：=/；<n:-n=>1(3n)2-3n<n:-n=?n<7.

表1為n取最大值的情形.

表1

0000000

0111100

0110011

0001111

1010101

1011010

1100110

1101001

從而，n的最大值為7.

-<z<min(xy)

16.正實數(shù)x、y、z滿足qxz>^,求三+三+?的最大值。

J15Kyz

【答案】13

【解析】

由;Wzwmm{x,y},得

又由XZ*,得上卓?亞

類似地，由,三、q.ajwL得

/299

n+<

=飛

\2~-2-

故二十二+三=（2+二）+2（二+二）＜4+2x-=13,

xyz\xz/\yzf2

當萬=：4=32=：時，以上各式等號成立

所以，二+二+'的最大值為13.

XyZ

17.設(shè)函數(shù)f(x)=爐一(H-5ak+3)x+7(a、kwH)。對于任意的kc[0,2],若修、也滿足

xx6[k,k+a],x2e[k+2a,k+4a],則fCq)NfGJ。求正實數(shù)a的最大值。

【答案】n>

【解析】

依題意，函數(shù)/"(X)的對稱軸為x=三"三.從而，題設(shè)條件等價于對于任意的kc[02],均有

.5U-k2-"+3

>fc+-ac=>5a<-----------.

2-------------2k+l

又？：：>+'1=(fc+1)+-4>24-1)^7—4=2^6—4,當且僅當k=、另—1時，上式等號成立.從

而，正實數(shù)a的最大值為咨之

a+b+c

18.已知a、b、c為正實數(shù).證明:abc>>(a+5-c)(b+c—Q)(C+Q—b).

【答案】見解析

【解析】

先證明:abc>a+b+c上式等價于證明:

r+A?

二a?+^b￡一

(ab)。+(be)2+(ca)-a&c(a+b+c).

令x=ab,y=be,z=ca.

由不等式犬+y2+z2>xy+yz+zx,知結(jié)論成立.

再證明：a+b+c2(n(a+b-c))(￡￡),①其中，表示輪換對稱積，表示輪換對稱和.

注意到，不等式是輪換對稱的.

不妨設(shè)a=max{a,fe,c).

則a