2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.2-平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【課件】

第五章平面向量、復(fù)數(shù)第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實1知識梳理1.平面向量的基本定理條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個____________結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝____________________基底若e1，e2________，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底不共線向量λ1e1＋λ2e2不共線2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個__________的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模

設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則互相垂直設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是____________.4.平面向量共線的坐標(biāo)表示x1y2－x2y1＝0常用結(jié)論1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.×解析(1)共線向量不可以作為基底.√×√D解析因為向量b與a方向相反，則可設(shè)b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，2.設(shè)向量a＝(－3，4)，向量b與向量a方向相反，且|b|＝10，則向量b的坐標(biāo)為(

)∴λ＝－2，b＝(6，－8).ABD解析各選項代入驗證，若A，B，C三點不共線即可構(gòu)成三角形.假設(shè)A，B，C三點共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三點就可構(gòu)成三角形，故選ABD.解析因為四邊形ABCD是平行四邊形，C解析易知a∥b，a與c不共線，b與c不共線，所以能構(gòu)成基底的組數(shù)為2.2KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一平面向量基本定理的應(yīng)用C解析如圖所示.∵A，M，Q三點共線，D解析如圖所示，平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，F(xiàn)是線段DC上的點，且DC＝3DF，B考點二平面向量的坐標(biāo)運算對角線AC與BD交于點O，C解析以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形邊長為1)，則A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，DA.1 B.2 C.3 D.4∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，設(shè)點B為(x，y)，則(2－x，3－y)＝－2(1，2)，(4，7)解析以O(shè)為原點，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，6角度1利用向量共線求參數(shù)考點三平面向量共線的坐標(biāo)表示解析2a＋b＝(4，2)，因為c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，例2(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，則λ＝________.所以點P的坐標(biāo)為(3，3).例3

已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O為坐標(biāo)原點，則AC與OB的交點P的坐標(biāo)為__________.角度2利用向量共線求向量或點的坐標(biāo)(3，3)所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點P的坐標(biāo)為(3，3).解

a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，訓(xùn)練2

平面內(nèi)給定三個向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k；解

設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，∴d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5，3).等和線的應(yīng)用解析法一由已知可設(shè)OA為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系.2法二如圖，連接AB交OC于點D，當(dāng)點D與點A，或點B重合時t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值為2.所以x＋y的最大值為2.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A.(2，2) B.(－2，－2)C.(1，1) D.(－1，－1)解析因為A(2，2)，B(1，1)，D解析對于A，C，D都有e1∥e2，所以只有B成立.2.在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是(

) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)BD解析∵向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，∴b≠0，c≠0，給定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即為所求的向量c，故總存在向量c，使a＝b＋c，故A正確；4.(多選)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0，關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題(向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線)，則真命題是(

) A.給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c B.給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc C.給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc D.給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μcAB當(dāng)向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時，向量b，c可作基底，由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，無論λ取何值，向量λb都平行于x軸，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量μc的縱坐標(biāo)一定為4，故找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯誤；因為λ和μ為正數(shù)，所以λb和μc代表與原向量同向的且有固定長度的向量，這就使得向量a不一定能用兩個單位向量的組合表示出來，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D錯誤.故選AB.解析根據(jù)題意，設(shè)AB邊的中點為D，D因為△ABC是等邊三角形，則CD⊥AB.B解析如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).解析因為a∥b，解析如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點的坐標(biāo)為(1，0)，C點的坐標(biāo)為(0，2)，解

ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，10.已知a＝(1，0)，b＝(2，1)， (1)當(dāng)k為何值時，ka－b與a＋2b共線，解

法一

∵A，B，C三點共線，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，解

在△ABC中，即點M是線段BC上的靠近B的四等分點，解析如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，B(1，0)，D(0，2)，C