高中數(shù)學(xué) 章末質(zhì)量評(píng)估(一)蘇教版選修2-1

章末質(zhì)量評(píng)估(一)(時(shí)間：120分鐘滿分：160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1．命題：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，則a＝b＝0”的逆否命題是____________解析“且”的否定為“或”，因此逆否命題為若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0.答案若a≠0或b≠0(a，b∈R)，則a2＋b2≠02．命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．解析ax2－2ax－3≤0恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，－3≤0成立；當(dāng)a≠0時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ＝4a2＋12a≤0))，解得－3≤a<0.故－3≤a≤0.答案[－3，0]3．給出下列命題：(1)命題：“若b2－4ac<0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實(shí)根”(2)命題“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC為等邊三角形”的逆命題；(3)命題“若a>b>0，則eq\r(3,a)>eq\r(3,b)>0”的逆否命題；(4)“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R”的逆命題．其中真命題的個(gè)數(shù)為____________．解析易知(1)(2)(3)正確；(4)mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0,Δ<0))?m∈?，故(4)錯(cuò)誤．答案34．如果命題“非p或非q”是假命題，則在下列各結(jié)論中，正確的有____________(填序號(hào))．①命題“p且q”是真命題②命題“p且q”是假命題③命題“p或q”是真命題④命題“p或q”是假命題解析∵“非p或非q”是假命題，∴非p和非q都是假命題，∴p和q都是真命題，故“p且q”和“p或q”都是真命題．答案①③5．在△ABC中，“sin2A＝sin2B”是“A＝B”解析由sin2A＝sin2B，得：A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，∴sin2A＝sin2B?/A＝B，而A＝B，可得sin2A＝sin2答案必要不充分6．設(shè)有四個(gè)命題：①兩條直線無公共點(diǎn)，是這兩條直線為異面直線的充分而不必要條件；②一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線是這條直線垂直于這個(gè)平面的充要條件；③空間一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊是這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)的充要條件；④a，b是平面α外的兩條直線，且a∥α，則a∥b是b∥α的必要而不充分條件；其中真命題的個(gè)數(shù)是______．解析兩條直線無公共點(diǎn)，是這兩條直線為異面直線的必要而不充分條件，①錯(cuò)；一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線不能得出這條直線垂直于這個(gè)平面，②錯(cuò)；空間兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，它們的邊可以什么關(guān)系也沒有，③錯(cuò)；a，b是平面α外的兩條直線，且a∥α，則a∥b是b∥α的充分而不必要條件，④錯(cuò)．答案07．條件甲：eq\r(1＋sinθ)＝eq\f(1,2)，條件乙：sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,2)，則甲是乙的____________條件．解析因?yàn)閑q\r(1＋sinθ)＝eq\r(sin2\f(θ,2)＋cos2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＝|sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)|，所以甲是乙的必要不充分條件．答案必要不充分8．下列四種說法中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是______．①命題“?x∈R，x2－x>0”的否定是“?x∈R，x2－x≤0②“命題p∨q為真”是“命題p∧q為真”的必要不充分條件；③“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為真；④若實(shí)數(shù)x，y∈[0，1]，則滿足：x2＋y2>1的概率為eq\f(π,4).解析③與④錯(cuò)，③中m＝0時(shí)不成立，④的概率應(yīng)為1－eq\f(π,4).答案29．已知命題p：關(guān)于x的方程x2－ax＋4＝0有實(shí)根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數(shù)．若p或q是真命題，p且q是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．解析命題p等價(jià)于Δ＝a2－16≥0，∴a≤－4或a≥4；命題q等價(jià)于－eq\f(a,4)≤3，∴a≥－12.p或q是真命題，p且q是假命題，則命題p和q一真一假．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－4，4)∪(－∞，－12)．答案(－4，4)∪(－∞，－12)10．若命題p：不等式ax＋b>0的解集為{x|x>－eq\f(b,a)}，命題q：關(guān)于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集為{x|a<x<b}，則“p且q”、“p或q”及“非p”形式的復(fù)合命題中的真命題是______．解析命題p為假命題，命題q為假命題，故只有“非p”是真命題．答案非p11．設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列四個(gè)命題：①c＝0時(shí)，f(x)是奇函數(shù)；②b＝0，c>0時(shí)，方程f(x)＝0只有一個(gè)實(shí)根；③f(x)的圖象關(guān)于(0，c)對(duì)稱；④方程f(x)＝0至多兩個(gè)實(shí)根．其中正確的命題有______(填序號(hào))．解析當(dāng)c＝0時(shí)，f(x)是奇函數(shù)，①正確；b＝0，c>0時(shí)，g(x)＝x|x|為單調(diào)函數(shù)，所以方程f(x)＝0只有一個(gè)實(shí)根，②正確；f(x)＋f(－x)＝2c，所以f(x)的圖象關(guān)于(0，c)對(duì)稱，正確；方程f(x)＝0可能有一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)實(shí)根，④錯(cuò)誤．答案①②③12．已知命題p：函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))x－logeq\s\do9(\f(1,3))x在區(qū)間(0，eq\f(1,3))內(nèi)存在零點(diǎn)，命題q：存在負(fù)數(shù)x使得(eq\f(1,2))x>(eq\f(1,3))x，給出下列四個(gè)命題①p或q，②p且q，③p的否定，④q的否定，真命題的個(gè)數(shù)是______．解析y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x在x∈(0，eq\f(1,3))為減函數(shù)，且logeq\s\do9(\f(1,3))x>1，y＝(eq\f(1,2))x在x∈(0，eq\f(1,3))為減函數(shù)，且(eq\f(1,2))x<1，所以f(x)＝(eq\f(1,2))x－logeq\s\do9(\f(1,3))x在x∈(0，eq\f(1,3))恒有f(x)<0，即f(x)在x∈(0，eq\f(1,3))不存在零點(diǎn)，命題p錯(cuò)誤．當(dāng)x<0時(shí)，(eq\f(1,2))x<(eq\f(1,3))x，即命題q錯(cuò)誤．所以只有“p的否定”是對(duì)的，“q的否定”是對(duì)的．答案213．設(shè)p：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－12>0,3－x≥0,x＋3y≤12))，(x，y∈R)，q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，若非q是非p的充分不必要條件，那么p是q______條件，r的取值范圍是______．解析由非q是非p的充分不必要條件可知，p是q的充分不必要條件；由題意得p對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域應(yīng)包含于q對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，即p表示的區(qū)域內(nèi)的所有的點(diǎn)在圓x2＋y2＝r2(x，y∈R，r>0)外，結(jié)合圖形可知r的取值范圍是(0，eq\f(12,5)]．答案充分不必要(0，eq\f(12,5)]14.若非空集合A、B、C滿足A∪B＝C，且B不是A的子集，則下列說法中正確的是______(填序號(hào))．①“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件②“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件③“x∈C”是“x∈A”的充要條件④“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”的必要條件解析由題意知，A、B、C的關(guān)系用圖來表示．若x∈C，不一定有x∈A，而x∈A，則必有x∈C，因此“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件．答案②二、解答題(本大題共6小題，共90分)15．(14分)已知p：x2－4ax＋3a2<0(a<0)，q：x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.非p是非q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a解由p：x2－4ax＋3a2<0(a<0)得：3a<x<a；即A＝(3a，a由q：x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0得x≥－2或x<－4，即B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)；因?yàn)榉莗是非q的必要不充分條件，所以等價(jià)于q是p的必要不充分條件，即集合A是集合B的真子集，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－4,a<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≥－2,a<0))，所以a≤－4或－eq\f(2,3)≤a<0.16．(14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1，已知對(duì)?x∈[eq\f(3,2)，＋∞)，不等式f(eq\f(x,m))－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解依據(jù)題意得eq\f(x2,m2)－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)對(duì)?x∈[eq\f(3,2)，＋∞)恒成立，即eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1對(duì)?x∈[eq\f(3,2)，＋∞)恒成立．因?yàn)楫?dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)函數(shù)y＝－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1取得最小值－eq\f(5,3)，所以eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(5,3)，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－eq\f(\r(3),2)或m≥eq\f(\r(3),2).17．(14分)已知命題p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命題q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x2＋2ax＋2a≤0；若命題“p或q”是真命題，而命題“p且q”是假命題，且綈q是真命題，求a解對(duì)于命題p：由a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解，當(dāng)a＝0時(shí)，不符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，方程可化為：(ax＋2)(ax－1)＝0，解得：x＝－eq\f(2,a)或x＝eq\f(1,a)，因?yàn)閤∈[－1，1]，∴－1≤－eq\f(2,a)≤1或－1≤eq\f(1,a)≤1，解得：a≥1或a≤－1，對(duì)于命題q：由只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x2＋2ax＋2a≤得拋物線y＝x2＋2ax＋2a與x所以Δ＝4a2－8a＝0，∴又因命題“p或q”是真命題，而命題“p且q”是假命題，且綈p是真命題，則命題p是真命題，命題q是假命題，所以a的取值范圍為(－∞，－1]∪[1，2)∪(2，＋∞)．18．(16分)設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0.))(1)若a＝1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－又a>0，所以a<x<3a當(dāng)a＝1時(shí)，1<x<3，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0,x2＋2x－8>0))，得2<x≤3，若p∧q為真，則p真且q真，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|2<x<3}；(2)設(shè)A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，aB＝{x|eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0,x2＋2x－8>0))}，則BA，又A＝{x|a≤x≤3a}，B＝{x|2<x≤則0<a≤2，且3a≥3，(a－1)＋(3a－3)2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|1<a≤2}．19．(16分)已知m∈R，命題p：對(duì)?x∈[0，8]，不等式logeq\s\do9(\f(1,3))(x＋1)≥m2－3m恒成立；命題q：對(duì)?x∈(0，eq\f(2,3)π)，不等式1＋sin2x－cos2x≤2mcos(x－eq\f(π,4))恒成立．(1)若p為真命題，求m的取值范圍；(2)若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍．解(1)令f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,3))(x＋1)，則f(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，因?yàn)閤∈[0，8]，所以當(dāng)x＝8時(shí)，f(x)min＝f(8)＝－2.不等式logeq\s\do9(\f(1,3))(x＋1)≥m2－3m恒成立，等價(jià)于－2≥m2－3m，解得1≤m≤2.(2)不等式1＋sin2x－cos2x≤2mcos(x－eq\f(π,4))，即2sinx(sinx＋cosx)≤eq\r(2)m(sinx＋cosx)，所以m≥eq\r(2)sinx，因?yàn)閤∈(0，eq\f(2,3)π)?0<sinx≤1，m≥eq\r(2)；即命題q：m≥eq\r(2).若p且q為假，p或q為真，則p與q有且只有一個(gè)為真．若p為真，q為假，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤m≤2，,m<\r(2)，))則1≤m<eq\r(2)；若p為假，q為真，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1或m>2，,m≥\r(2)，))則m>2.綜上所述，1≤m<eq\r(2)或m>2，即m的取值范圍是[1，eq\r(2))∪(2，＋∞)．20．(16分)已知關(guān)于x的絕對(duì)值方程|x2＋ax＋b|＝2，其中a，b∈R.(1)當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，方程的解集M中恰有3個(gè)元素？(2)試求以方程解集M中的元素為邊長(zhǎng)的三角形，恰好為直角三角形的充要條件．解(1)原方程等價(jià)于x2＋ax＋b＝2，①或x2＋ax＋b＝