2022年高考重難點(diǎn)截面問題10類題型解題方法與技巧

第第頁(yè)2022年高考重難點(diǎn)截面問題10類題型解題方法與技巧目錄一、十大題型精講【題型一】做截面的基本功：補(bǔ)全截面方法【題型二】截面形狀的判斷【題型三】平行關(guān)系確定截面【題型四】垂直關(guān)系確定的截面【題型五】求截面周長(zhǎng)【題型六】求截面面積【題型七】球截面【題型八】截面分體積【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面）【題型十】截面最值二、最新模擬試題精練一、十大題型精講【題型一】做截面的基本功：補(bǔ)全截面方法【典例分析】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=3，點(diǎn)E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、C1平面，直線A1D1平面=P，則直線BP與直線CD1所成角的余弦值是解析：如圖，計(jì)算可得余弦值是，故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律截面訓(xùn)練基礎(chǔ)：模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖.可以先默認(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了，再改成任意等分點(diǎn)方法：兩點(diǎn)成線相交法或者平行法特征：1、三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上.本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；2、“第三點(diǎn)”是在外棱上，如C1，注意：此時(shí)合格C1點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無(wú)論它在何處，只要在棱上就可以.方法一：相交法，做法如圖方法二：平行線法.做法如圖【變式演練】1.如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、、BC的中點(diǎn)，則經(jīng)過M、N、P的平面與正方體相交形成的截面是一個(gè)（）A.三角形 B.平面四邊形C.平面五邊形 D.平面六邊形【分析】分別取、、的中點(diǎn)，連接、、、、、、、、、，先證明四點(diǎn)共面，再證明平面，平面可得答案.【詳解】如圖，分別取、、的中點(diǎn)，連接、、、、、、、、、，且M、N、P分別是棱、、BC的中點(diǎn)，所以、，且，所以，即四點(diǎn)共面，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)椋?，且平面，平面，所以平面，得平面，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?，得，又平面，平面，所以平面，得平面，所以六點(diǎn)共面，平面六邊形即為經(jīng)過M、N、P與正方體相交形成的截面，故選：D.2.如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則過三點(diǎn)A、D1、E的截面過（）A.AB中點(diǎn) B.BC中點(diǎn)C.CD中點(diǎn) D.BB1中點(diǎn)【分析】根據(jù)截面特點(diǎn)結(jié)合正方形結(jié)構(gòu)性質(zhì)求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如圖，則，所以在截面上,故選：B3.如圖正方體，棱長(zhǎng)為1，P為中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)時(shí)，為四邊形 B.當(dāng)時(shí)，為等腰梯形C.當(dāng)時(shí)，為六邊形 D.當(dāng)時(shí)，的面積為【分析】根據(jù)題意，依次討論各選項(xiàng)，作出相應(yīng)的截面，再判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，如下圖1，是四邊形，故A正確；當(dāng)時(shí)，如下圖2，為等腰梯形，B正確：當(dāng)時(shí)，如下圖3，是五邊形，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，Q與重合，取的中點(diǎn)F，連接，如下圖4，由正方體的性質(zhì)易得，且，截面為為菱形，其面積為，D正確.故選：C【變式演練】4.如圖，正四棱錐的高為12，，，分別為，的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，的截面交于點(diǎn)，截面將四棱錐分成上下兩個(gè)部分，規(guī)定為主視圖方向，則幾何體的俯視圖為（）A. B.C. D.【分析】根據(jù)主視圖所給方向即可知俯視圖中底面正方形，計(jì)算可知點(diǎn)投影位置，即可得出答案.【詳解】研究平面DPB，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，BM與EF交點(diǎn)為N,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，又因?yàn)?過點(diǎn)作，設(shè)，，，又，，,,為4個(gè)格，為8個(gè)格，故選：C【方法點(diǎn)評(píng)】研究并計(jì)算平面,確定點(diǎn)在底面上的投影的位置，是解題的關(guān)鍵.5.用一個(gè)平面去截正方體，所得截面不可能是（）A.直角三角形 B.直角梯形 C.正五邊形 D.正六邊形【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個(gè)平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個(gè)答案中的圖形進(jìn)行比照，即可判斷選項(xiàng)．【詳解】當(dāng)截面為三角形時(shí)，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；截面為四邊形時(shí)，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形；當(dāng)截面為五邊形時(shí)，不可能出現(xiàn)正五邊形；截面為六邊形時(shí)，可能出現(xiàn)正六邊形，故選：ABC．6.在正方體中，M為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含C）過M、N、P與正方體的截面記為，則下面三個(gè)判斷，其中正確判斷的序號(hào)有______．①當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，截面為六邊形；②當(dāng)時(shí)，截面為五邊形；③當(dāng)截面為四邊形時(shí)，它一定是等腰梯形；【分析】①延長(zhǎng)交于，交于，延長(zhǎng)交于，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，結(jié)合圖形即可判斷；②延長(zhǎng)交于，交于，連接交于，連接交于，此時(shí)截面為五邊形，求出即可判斷；③當(dāng)截面為四邊形時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，判斷四邊形的形狀即可.【詳解】如圖①，延長(zhǎng)交于，交于，延長(zhǎng)交于，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，所以，同理，又因，所以，同理，所以共面，此時(shí)六邊形為截面，所以截面為六邊形；故①正確；如圖②，延長(zhǎng)交于，交于，連接交于，連接交于，此時(shí)截面為五邊形因?yàn)?，所以，所以，即，所以?dāng)時(shí)，截面為五邊形；故②錯(cuò)誤；當(dāng)截面為四邊形時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，由①得，，所以四邊形即為截面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，所以，所以四邊形是等腰梯形；故③正確.故答案為：①③.【題型三】平行關(guān)系確定截面【典例分析】在三棱錐中，，截面與，都平行，則截面的周長(zhǎng)等于（）A．B．C．D．無(wú)法確定【分析】由線面平行的性質(zhì)定理確定截面的形狀，再利用三角形相似的性質(zhì)求截面的周長(zhǎng).【詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四邊形為平行四邊形，所以?因?yàn)椋?，，所以四邊形的周長(zhǎng)為.故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律平行關(guān)系確定的截面作圖，一般情況下，利用線線、線面、面面特別是線面的平行性質(zhì)定理推導(dǎo).【變式演練】7.在正方體中，與平行，且過正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面是___________和___________.【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，得出與平行，且過正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面是平面，平面．【詳解】在正方體中，與平行，且過正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面是平面，平面．，，四邊形是平行四邊形；，又平面，平面，平面；同理平面．故答案為：平面，平面．8.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有（）A.0條 B.1條C.2條 D.4條【分析】由平行四邊形的性質(zhì)有兩對(duì)邊平行且相等，再應(yīng)用線面平行的判定可確定線面平行，由線面平行的性質(zhì)、判定即可知有幾條棱與平面α平行.【詳解】如下圖示，若平面α即為面為平行四邊形，即且，且，又面，面，則面，而面，面面，∴，由線面平行判定易知：平面α；同理可得，易得平面α.∴該三棱錐與平面α平行的棱有、，共2條.故選：C9.如圖是一個(gè)以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得的幾何體，截面為ABC.已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在邊AB上是否存在一點(diǎn)O，使得OC∥平面A1B1C1.【分析】取AB的中點(diǎn)O，連接OC，可證明，即四邊形ODC1C是平行四邊形，所以O(shè)C∥C1D，由線線平行證明線面平行，即得證【詳解】存在，取AB的中點(diǎn)O，連接OC，作OD∥AA1交A1B1于點(diǎn)D，連接C1D，則OD∥BB1∥CC1.因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D=(AA1+BB1)=3=CC1，則四邊形ODC1C是平行四邊形，所以O(shè)C∥C1D.又C1D?平面C1B1A1，且OC平面C1B1A1，所以O(shè)C∥平面A1B1C1.即在邊AB上存在一點(diǎn)O，使得OC∥平面A1B1C1.【題型四】垂直關(guān)系確定的截面【典例分析】已知正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)的體積為，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過且與垂直的截面與交于點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為A．B．C．2D．【分析】由正三棱柱的體積為，，可求得，由于，所以要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設(shè)的中點(diǎn)為，作出截面如圖所示，可得點(diǎn)在以為直徑的圓上，從而可求出點(diǎn)到底面距離的最大值，進(jìn)而可求得三棱錐的體積的最小值【詳解】如圖所示，因?yàn)檎庵捏w積為，，所以，即，因?yàn)?，所以要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設(shè)的中點(diǎn)為，作出截面如圖所示，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以點(diǎn)到底面距離的最大值為，所以三棱錐的體積的最小值為.故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律垂直關(guān)系確定的截面，利用線面垂直定理，轉(zhuǎn)化到表面尋找線線垂直.【變式演練】10.如圖，為正方體，任作平面與對(duì)角線垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長(zhǎng)為，則（）A.為定值，不為定值B.不為定值，為定值C.與均為定值D.與均不為定值【分析】將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開，展開在一個(gè)平面上，得到一個(gè)平行四邊形，考查的位置，確定【詳解】將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開，展開在一個(gè)平面上，得到一個(gè)平行四邊形，如圖所示而多邊形的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，，所以為定值，當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形為正六邊形，而當(dāng)稱到時(shí)，為正三角形，則當(dāng)周長(zhǎng)這定值的正六邊形與正三角形面積分別為，所以不是定值，故選：B11.正方體，的棱長(zhǎng)為4，已知平面α，，則關(guān)于α?β截此正方體所得截面的判斷正確的是（）A.α截得的截面形狀可能為正三角形 B.與截面α所成角的余弦值為C.α截得的截面形狀可能為正六邊形 D.β截得的截面形狀可能為正方形【分析】首先根據(jù)已知條件確定截面，然后根據(jù)選項(xiàng)依次判斷正誤即可.【詳解】如圖因?yàn)檎襟w∴，，又∵∴平面又∵平面∴同理：又∵∴平面∴平面可以是平面，又因?yàn)椤酁榈冗吶切?，故A正確取的中點(diǎn)并依次連接易知，因?yàn)槠矫?，平面∴平面同理：平面又因?yàn)榍移矫?，平面∴平面平面∴平面可以是平面∵∴六邊形是正六邊形，故C正確以平面是平面為例計(jì)算：設(shè)A到平面的距離為等體積法求距離∵，∴又因?yàn)椋鄤t與平面所成角的正弦值為∴余弦值等于，故B正確對(duì)于D選項(xiàng)：由于直線，在正方體上任取點(diǎn)但異于，與可構(gòu)成平面，但是截面的形狀都不是正方形，故D錯(cuò)誤故選：ABC【方法點(diǎn)評(píng)】求直線與平面所成的角的方法：（1）幾何作圖①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來(lái)完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．（2）等體積法求出面外直線上的一點(diǎn)到直線的距離，所求距離÷面外直線上的點(diǎn)和交點(diǎn)之間的距離即是所求線面角的正弦值.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，平面過點(diǎn)且與垂直，則（）A. B.平面C.平面平面 D.平面截正方體所得的截面面積為【分析】分析出面，可判斷選項(xiàng)A；取AD的中點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)可知，，從而判斷出面，即平面截正方體所得的截面為梯形，從而可判斷剩余的三個(gè)選項(xiàng).【詳解】連接，則，又因?yàn)椋?所以面，又因?yàn)槊?，所以，故選項(xiàng)A正確；取AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，,在正方形中，由平面幾何知識(shí)可知，，又因?yàn)?，，所以面，所?又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?所以面，即平面截正方體所得的截面為梯形，所以顯然平面，選項(xiàng)B正確；平面與平面不平行，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在梯形中，，，,所以梯形的高為，所以梯形的面積為，即平面截正方體所得的截面面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【題型五】求截面周長(zhǎng)【典例分析】如圖，在正方體中，，為棱的中點(diǎn)，為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過點(diǎn)作該正方體的截面，則該截面的周長(zhǎng)是___________.【分析】首先根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理作出過點(diǎn)的正方體的截面，從而求截面的周長(zhǎng).【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，取上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，易證，則五邊形為所求截面.因?yàn)?，所以，則，故該截面的周長(zhǎng)是.故答案為：.【提分秘籍】基本規(guī)律1.截面周長(zhǎng)，可以利用多面體展開圖求.2.截面周長(zhǎng)，可以在各個(gè)表面各自解三角形求解.【變式演練】13.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，若過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長(zhǎng)為（）A.2+2 B. C. D.【分析】根據(jù)題意先作出截面，進(jìn)而算出截面各邊的長(zhǎng)度，最后得到答案.【詳解】如圖，在正三棱柱中，延長(zhǎng)AF與CC1的延長(zhǎng)線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.過E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點(diǎn)，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，，則，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長(zhǎng)為：.故選：B.【方法點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何體的截面問題，其中根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用平面的性質(zhì)作出幾何體的截面是問題的關(guān)鍵，平常注意方法的總結(jié)和歸納.14.已知在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長(zhǎng)為________．【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)作出截面圖形，進(jìn)而算出周長(zhǎng).【詳解】如圖，延長(zhǎng)EF，A1B1，相交于點(diǎn)M，連接AM，交BB1于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FE，A1D1，相交于點(diǎn)N，連接AN，交DD1于點(diǎn)G，連接FH，EG，可得截面為五邊形AHFEG.因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為6的正方體，且E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，由中位線定理易得：EF＝，由勾股定理易得：AG＝AH＝，EG＝FH＝，截面的周長(zhǎng)為AH＋HF＋EF＋EG＋AG＝＋.故答案為：＋.15.已知直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，，.過、的中點(diǎn)、作平面與平面垂直，則所得截面周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【分析】確定平面與各棱的交點(diǎn)位置，計(jì)算出截面各邊邊長(zhǎng)，由此可得出所得截面周長(zhǎng).【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接，取的，連接，取的中點(diǎn)，連接、，，為的中點(diǎn)，則，平面，平面，，，平面，、分別為、的中點(diǎn)，則且，平面，平面，所以，平面平面，所以，平面即為平面，設(shè)平面交于點(diǎn)，在直棱柱中，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，設(shè)平面平面，平面，所以，，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，所以，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，所以，，，又，所以，，，為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，，，，，，為的中點(diǎn)，，，則，為的中點(diǎn)，，則，同理，因?yàn)橹崩庵睦忾L(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，，由勾股定理可得，同理可得，且，平面，平面，平面，，、分別為、的中點(diǎn)，則，，由勾股定理可得，同理.因此，截面的周長(zhǎng)為.故選：C.【方法點(diǎn)評(píng)】思路點(diǎn)睛：本題考查直棱柱截面多邊形周長(zhǎng)的計(jì)算，在畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可確定，作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置．【題型六】求截面面積【典例分析】已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點(diǎn)，C，E的平面截得的截面面積為______.【分析】在上取點(diǎn)，使得，連接，則四邊形平行四邊形，由勾股定理可得，再結(jié)合余弦定理與面積公式即可求解【詳解】由題意，正四棱柱中，，，可得，在上取點(diǎn)，使得，連接，則有，所以四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形的面積為，故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律求截面面積：1.判斷界面是否規(guī)則圖形2.求截面各邊長(zhǎng)度3.規(guī)則圖形，可以用對(duì)應(yīng)面積公式求4.不規(guī)則圖形，可以分割為三角形等圖形求.5.難點(diǎn)：動(dòng)態(tài)面積最值，可參考本專題10【變式演練】16.正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得的截面面積為（）A.5 B. C. D.【分析】作出示意圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，易得平面截該正方體所得的截面為，再計(jì)算其面積.【詳解】如圖所示，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由且，得是平行四邊形，則且，又且，得且，則共面，故平面截該正方體所得的截面為.又正方體的棱長(zhǎng)為2，，，，，故的面積為.故選：D.17.在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，則過、、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為（）A. B. C. D.【分析】取中點(diǎn)，連接、、、、，證明出，故四點(diǎn)、、、共面，所以過、、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，根據(jù)已知，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，連接、、、、，因?yàn)榍遥?，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，，故、、、四點(diǎn)共面，所以過、、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，其中，，，過點(diǎn)、在平面內(nèi)分別作的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，

因?yàn)椋?，，所以，，故，在平面?nèi)，因?yàn)椋?，，所以，四邊形為矩形，則，所以，，所以，梯形的高，梯形的面積.故選：B.18.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)在線段上，且，平面經(jīng)過點(diǎn)，則正方體被平面截得的截面為___________，其面積為___________.【分析】第一空，先畫出所在平面，由平面平面得出，，四點(diǎn)共面，即為所求截面；第二空由已知條件可求出，再求出的面積，再乘以2可得截面的面積.【詳解】如圖所示：確定一個(gè)平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，同理，所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)椋?，即所以由余弦定理得：，所以，所?故答案為：四邊形【題型七】球截面【典例分析】正三棱錐中，，點(diǎn)在棱上，且，已知點(diǎn)都在球的表面上，過點(diǎn)作球的截面，則截球所得截面面積的最小值為___________.【分析】通過補(bǔ)體把正三棱錐補(bǔ)成正方體，則正方體的體對(duì)角線為外接球直徑；求出，當(dāng)平面時(shí)，平面截球O的截面面積最小，此時(shí)截面為圓面，從而可計(jì)算截面的半徑，從而推導(dǎo)出截面的面積.【詳解】，，，，同理，故可把正三棱錐補(bǔ)成正方體（如圖所示），其外接球即為球，直徑為正方體的體對(duì)角線，故，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則且.所以，當(dāng)平面時(shí)，平面截球O的截面面積最小，此時(shí)截面為圓面【提分秘籍】基本規(guī)律計(jì)算球截面1.確定球心和半徑2.尋找做出并計(jì)算截面與球心的距離3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中點(diǎn)”這個(gè)性質(zhì)4.強(qiáng)調(diào)弦的中點(diǎn)，不一定是幾何體線段的中點(diǎn).【變式演練】19.已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，平面經(jīng)過棱，，的中點(diǎn)，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（）A. B. C. D.【分析】根據(jù)平面截三棱錐所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面積，即可求解.【詳解】設(shè)平面截三棱錐所得正三角邊長(zhǎng)為a，截面圓的半徑為r，則，由正弦定理可得，，，故選：B20.某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點(diǎn)都在半徑為的球上，當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面正方形所在平面截球的截面面積是（）A. B. C. D.【分析】作出圖形，可知四棱錐為正四棱錐，由勾股定理可得出，分析得出，可設(shè)，，其中，可得出，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，求出的值，可得出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，可知四棱錐為正四棱錐，設(shè)，則球心在直線上，設(shè)，，則，由勾股定理可得，即，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，則點(diǎn)在線段上，則，可設(shè)，，其中，，令，，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，此時(shí)，，則，因此，當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面正方形所在平面截球的截面面積是.故選：C.21.已知球O是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=3，AB=，點(diǎn)E在線段BD上，且BD=3BE．過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（）A. B. C. D.【分析】如圖，O1是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，利用余弦定理求出O1E=1，當(dāng)截面垂直于OE時(shí)，截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.【詳解】如圖，O1是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圓半徑；由勾股定理得棱錐的高AO1；設(shè)球O的半徑為R，則，解得，所以O(shè)O1=1；在△BO1E中，由余弦定理得所以O(shè)1E=1；所以在△OEO1中，OE=；當(dāng)截面垂直于OE時(shí)，截面面積最小，此時(shí)半徑為，截面面積為.故選：A來(lái)求【變式演練】22.正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則正方體被截面分成兩部分的體積之比為___________.【分析】如圖，正方體被截面所截的一部分為棱臺(tái)，求出棱臺(tái)的體積，然后用正方體的體積減去棱臺(tái)的體積可得另一部分的體積，從而可求得結(jié)果【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的體積為8，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，所以棱臺(tái)的體積為，所以另一部分的體積為，所以正方體被截面分成兩部分的體積之比為17：7或7：17，故答案為：17：7或7：1723.如圖所示，在長(zhǎng)方體中，用截面截下一個(gè)棱錐則棱錐的體積與剩余部分的體積之比為（）A.1：5 B.1：4 C.1：3 D.1：2【分析】由長(zhǎng)方體的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式、長(zhǎng)方體的體積公式求及剩余部分的體積，進(jìn)而求其比例即可.【詳解】由圖知：，，而，∴剩余部分的體積為，∴棱錐的體積與剩余部分的體積之比為1：5.故選：A24.三棱錐中，E、F、G、H分別是棱DA、DB、BC、AC的中點(diǎn)，截面EFGH將三棱錐分成兩個(gè)幾何體：、，其體積分別為、，則（）A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4【分析】如圖，連接，設(shè)的面積為，到平面的距離為，故可計(jì)算幾何體的體積為，從而可得兩個(gè)幾何體的體積之比.【詳解】如圖，連接，設(shè)的面積為，到平面的距離為，則，而，又，故幾何體的體積為，而三棱錐的體積為，故幾何體的體積與棱錐的體積之比為，故兩個(gè)幾何體、的體積之比為1:1.故選：A.【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面）【典例分析】如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，當(dāng)為時(shí)，這個(gè)橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)幾何關(guān)系用圓柱的地面半徑表示橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，再計(jì)算橢圓的離心率即可.【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，半焦距為c根據(jù)題意可知，所以橢圓的離心率，選項(xiàng)A正確.故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律不規(guī)則截面，會(huì)產(chǎn)生截面圖像為圓錐曲線，可參考專題8-1立幾中的軌跡專題【變式演練】25.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究曲線，如圖①，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和高均為的圓錐中，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該曲線為____________，是該曲線上的兩點(diǎn)且，若經(jīng)過點(diǎn)，則__________.【分析】根據(jù)圓錐曲線的定義直接判斷即可，再根據(jù)拋物線通徑的性質(zhì)直接得出答案即可.【詳解】由已知底面半徑和高均為，得，又為中點(diǎn)，，且，所以平面，根據(jù)圓錐曲線的定義可知截面與圓錐母線平行時(shí)，曲線為拋物線，又為中點(diǎn)，故，，又底面，故，由，，故平面，，又，故為拋物線的通徑，.26.如圖，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，.過橢圓上一點(diǎn)作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn).由球和圓的幾何性質(zhì)可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為_______________.【分析】設(shè)兩球的球心距離為，通過圓錐的軸截面進(jìn)行分析，根據(jù)兩球半徑可求得；利用三角形相似可求得，進(jìn)而得到；利用橢圓離心率可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】作出圓錐的軸截面如圖所示，圓錐面與兩球相切于兩點(diǎn)，則，，過作，垂足為，連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，設(shè)兩球的球心距離為，在中，，，；，，，，解得：，，；由已知條件，知：，即軸截面中，又，，解得：，即兩球的球心距離為.故答案為：.【方法點(diǎn)評(píng)】本題以圓錐為載體，考查了橢圓的定義和幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能夠通過作出圓錐的軸截面，利用軸截面中的線段垂直關(guān)系、長(zhǎng)度關(guān)系，根據(jù)橢圓離心率構(gòu)造出關(guān)于球心距離的方程.27.如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發(fā)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行過研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家Germinaldandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性．在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于E，F(xiàn)，在截口曲線上任取一點(diǎn)A，過A作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于C，B，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓．如圖②，一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知是橢圓的長(zhǎng)軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為__________．【分析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來(lái)源來(lái)理解切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求出，得出離心率.【詳解】切于,切于E，，球半徑為2，所以，，，中，，，故,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)知：球O與相切的切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且，,c=4，橢圓的離心率為.故答案為：【方法點(diǎn)評(píng)】本題要求有一定的空間圖形辨別能力，能從整體上認(rèn)識(shí)圖形，并且對(duì)圓錐曲線的來(lái)源有一定的認(rèn)識(shí)，借助平面圖形來(lái)求解.【題型十】截面最值【典例分析】已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在線段上，，平面過線段的中點(diǎn)以及點(diǎn)，若平面截長(zhǎng)方體所得截面為平行四邊形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為M，平面與交于點(diǎn)G，連接GE，由已知得四邊形是平行四邊形，所以，隨著點(diǎn)E從C向移動(dòng)，則點(diǎn)G沿著向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G仍在線段上時(shí)，面截長(zhǎng)方體所得截面始終是平行四邊形，臨界狀態(tài)為點(diǎn)E為的中點(diǎn)，由此可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，設(shè)線段的中點(diǎn)為M，平面與交于點(diǎn)G，連接GE，若平面截長(zhǎng)方體所得截面為平行四邊形，即四邊形是平行四邊形，所以，隨著點(diǎn)E從C向移動(dòng)，則點(diǎn)G沿著向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G仍在線段上時(shí)，面截長(zhǎng)方體所得截面始終是平行四邊形，則點(diǎn)G從的中點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)E與重合，直到點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D為止，此時(shí)點(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以臨界狀態(tài)為點(diǎn)E為的中點(diǎn)，此時(shí)，所以，故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律截面有關(guān)的最值計(jì)算，多從這三方面1.極限法，可通過動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到兩端，計(jì)算截面最值（要注意判斷是否單調(diào)性）2.坐標(biāo)法，可通過建系設(shè)坐標(biāo)，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)求最值.3.化歸法，可以通過圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，尋找平面圖形中最值計(jì)算【變式演練】28.在棱長(zhǎng)為的正方體中，是線段上的點(diǎn)，過的平面與直線垂直，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（）A. B. C. D.【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，分、、三種情況討論，確定截面與各棱的交點(diǎn)，求出截面面積關(guān)于的表達(dá)式，由此可解得截面面積的最小值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中.①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，所以，，，則，，，平面，此時(shí)平面即為平面，截面面積為；②當(dāng)時(shí)，同①可知截面面積為；③當(dāng)時(shí)，，，，，則，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，，可得，不合乎題意.設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，，可得，合乎題意，即，同理可知，平面交棱于點(diǎn)，，且與不重合，故四邊形為平行四邊形，，，，則，所以，截面面積為.綜上所述，截面面積的最小值為.故選：C.【方法點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體截面面積最值的求解，解題的關(guān)鍵在于確定截面與各棱交點(diǎn)的位置，這里可以利用空間向量法，將線線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零來(lái)處理，確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而將截面面積的最值利用函數(shù)的最值來(lái)求解.29.在如圖所示的直三棱柱中，，，過點(diǎn)作平面分別交棱，于點(diǎn)，，且，，則截面面積的最小值為（）A. B. C. D.【分析】設(shè)，由等面積法可知，推導(dǎo)出平面，，從而，即可求解.【詳解】在中，由，，可得，，設(shè)，在中，，由等面積法可知，因?yàn)?，，，，平面，所以平面，又由平面，所以，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選：B.30.如圖所示，在長(zhǎng)方中，，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面交棱于點(diǎn)F，則四棱錐的體積為___________，截面四邊形的周長(zhǎng)的最小值為___________.【分析】根據(jù)錐體的體積計(jì)算，利用切割法可得四棱錐的體積；將幾何體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線最短，即可求出最短周長(zhǎng)的截面，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，利用切割法可得；將長(zhǎng)方體展開，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)、點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，截面周長(zhǎng)最小，此時(shí)截面的周長(zhǎng)為，而在中，，所以截面周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：20；.二、最新模擬試題精練1.如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列說法中，錯(cuò)誤的為（）A. B.截面C. D.異面直線與所成的角為45°【分析】根據(jù)線線、線面平行判定和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)榻孛媸钦叫危?，又平面，所以平面，又平?平面平面，截面，故B正確；同理可證因?yàn)?，所以，故C正確，又，所以異面直線與所成的角為，故D正確和不一定相等，故A錯(cuò)誤；故選：A.2.如圖：為圓錐的軸截面，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作既與直線平行又與平面垂直的截面，該平面與圓錐底面上的圓周交于F，G兩點(diǎn)，記直線與圓錐底面所成的角為，記直線與截面所成的角為，則與的關(guān)系為（）A. B. C. D.以上都有可能【分析】先作出平面EFG，再作出角，分別求出，即可比較大小.【詳解】過點(diǎn)E作截面EFG，其中FG為過O且垂直與AB的直徑，下面進(jìn)行證明：如圖示：連結(jié)EO.因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，所以EO為三角形PAB的中位線，所以.又面EFG，面EFG，所以面EFG.連結(jié)PO.在圓錐中，PO⊥底面，所以PO⊥FG.又AB⊥FG,，所以面PAB.又面EFG，所以面PAB⊥面EFG，綜上所述，平面EFG即為所求平面.取AO的中點(diǎn)為K，連結(jié)EK、FK,則即為；過A作AH⊥面EFG于H,則即為,所以.因?yàn)?所以,,所以，所以，所以，所以.故選：A3.如圖，在正方體中，、、、分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.點(diǎn)、到平面的距離相等B.與為異面直線C.D.平面截該正方體的截面為正六邊形【分析】利用中點(diǎn)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用三角形全等可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)的正誤；確定截面與各棱的交點(diǎn)以及截面多邊形邊長(zhǎng)與各角的大小，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，為的中點(diǎn)，故點(diǎn)、到平面的距離相等，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，，，所以，，則，同理可知，則，即點(diǎn)、重合，故、相交，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，同理，所以，為等邊三角形，因?yàn)?，由余弦定理可得，所以，，故，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面分別交棱、于點(diǎn)、，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，則，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，，故四邊形為平行四邊形，則，，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，同理可知為的中點(diǎn)，所以，、、、、、分別為棱、、、、、的中點(diǎn)，由勾股定理可知六邊形的邊長(zhǎng)為，且，同理易知，故六邊形為正六邊形，D對(duì).故選：B.4.如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形且，則在下列說法中，錯(cuò)誤的為（）A. B.截面PQMNC. D.異面直線PM與BD所成的角為45°【分析】A由題設(shè)易得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證；B由線面平行的判定可證截面PQMN；C：為特殊位置的點(diǎn)時(shí)成立；D將異面直線平移到截面上即可知夾角大小.【詳解】A：由題設(shè)，易知，又，，即有，正確；B：由，截面PQMN，截面PQMN，則截面PQMN，正確；C：僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，故錯(cuò)誤；D：由A知：異面直線PM與BD所成的角為，正確.故選：C5.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面記為．①當(dāng)時(shí)，為四邊形；②當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿足；③當(dāng)時(shí)，為六邊形；④當(dāng)時(shí)，的面積為．則下列選項(xiàng)正確的是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【分析】根據(jù)點(diǎn)Q在線段上的變化，分別作出過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面S，并判斷其正誤即可．【詳解】對(duì)于①，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，當(dāng)時(shí)，過A，P，Q三點(diǎn)的截面與正方體表面的交點(diǎn)在棱上，截面為四邊形，如圖（a）所示，故①正確；對(duì)于②，如圖（b）所示，當(dāng)時(shí)，，又為的中點(diǎn)，故，得，故②正確；對(duì)于③，如圖（c）所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面為五邊形，故③不正確；對(duì)于④，如圖（d）所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，，的截面為，其截面為菱形，對(duì)角線，，所以的面積為，故④正確．綜上所述，正確的命題序號(hào)是①②④．故選：B6.如圖，在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），則下列說法不正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.過，，三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形D.DP