2.3函數(shù)的奇偶性周期性對(duì)稱性

2.3函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義,會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性函數(shù)的奇偶性通過函數(shù)的奇偶性的判斷及其應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的素養(yǎng)函數(shù)的周期性通過函數(shù)的周期性及其應(yīng)用,培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)雙對(duì)稱函數(shù)的周期性通過函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列結(jié)論正確的有().A.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件B.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0C.若T是函數(shù)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)的周期D.若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱2.(對(duì)接教材)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3+x+1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)的解析式為().A.f(x)=x3+x1 B.f(x)=x3x1C.f(x)=x3x+1 D.f(x)=x3x+13.(對(duì)接教材)設(shè)m為實(shí)數(shù),若函數(shù)f(x)=x2mx+m+2(x∈R)是偶函數(shù),則m的值為.

4.(易錯(cuò)自糾)函數(shù)f(x)=lg(1?x2)|x+3|?3是5.(真題演練)(2023·全國(guó)乙卷)已知f(x)=xexeax-1是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)A.2 B.1 C.1 D.2函數(shù)的奇偶性典例1試判斷下列函數(shù)的奇偶性:f(x)=xlgx+x2+1;(2)f(x)=(1(3)f(x)=-x2+2x+1,x>0,x2+2x-1,x<0;(4判斷函數(shù)奇偶性的三種常用方法(1)定義法:確定函數(shù)的奇偶性時(shí),必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若對(duì)稱,再化簡(jiǎn)解析式后驗(yàn)證f(x)=±f(x)或其等價(jià)形式f(x)±f(x)=0是否成立.(2)圖象法:(3)性質(zhì)法:設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ex,g(x)=exex,f(x),g(x)的定義域均為R,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是().A.|g(x)|是偶函數(shù)B.f(x)g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是偶函數(shù)D.f(x)+g(x)是奇函數(shù)典例2(1)已知f(x)是定義在[m5,12m]上的奇函數(shù),當(dāng)滿足x>0時(shí),f(x)=2x1,則f(m)的值為().A.15 B.7C.3 D.15(2)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x2x)是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=.

函數(shù)奇偶性相關(guān)問題及解題策略(1)求函數(shù)的值:利用奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)求函數(shù)解析式:先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.(3)求解析式中的參數(shù)值:在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下,利用f(x)為奇函數(shù)?f(x)=f(x),f(x)為偶函數(shù)?f(x)=f(x),列式求解,也可利用特殊值法求解;對(duì)于在x=0處有定義的奇函數(shù)f(x),可考慮列等式f(0)=0求解.訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx5+2.若f(x)在區(qū)間[t,t]上的最大值為M,最小值為m,則M+m=.

(2)已知函數(shù)f(x)=2x2x-1+a為奇函數(shù),函數(shù)的周期性典例3(1)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=f(x),則函數(shù)的周期為;當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2xx2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=.

(2)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)0≤x<2時(shí),f(x)=x3x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為().A.6 B.7 C.8 D.9函數(shù)周期性相關(guān)問題及求解策略(1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問題,應(yīng)根據(jù)函數(shù)特征及周期性的定義,求出函數(shù)的周期.(2)周期函數(shù)的圖象具有周期性,如果發(fā)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)的圖象具有兩個(gè)對(duì)稱性(注意:對(duì)稱中心在垂直于y軸的直線上,對(duì)稱軸垂直于x軸),那么這個(gè)函數(shù)一定具有周期性.訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,f(x2)=f(x+2),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=x2,則f132=()A.94 B.14C.14(2)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)x∈[1,1)時(shí),f(x)=-4x2+2,?1≤x<0,x,0≤x函數(shù)的對(duì)稱性典例4(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=x24x,則f(2025)=.

(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+2)為偶函數(shù),f(2x+1)為奇函數(shù),則f(1)=.

由函數(shù)圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸可以推出函數(shù)的周期,結(jié)合已知條件解題.訓(xùn)練4(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2x)=f(x),且當(dāng)1≤x<0時(shí),f(x)=2x,則f92=()A.22 B.22C.12(2)(多選)設(shè)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),滿足f(x+1)=f(x),且在[1,0]上是增函數(shù),下列關(guān)于函數(shù)y=f(x)的判斷正確的是().A.y=f(x)是周期為2的函數(shù)B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱C.y=f(x)在[0,1]上是增函數(shù)D.f12=抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用典例若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y),f(1)=1,則∑k=122f(k)等于(3 B.2C.0 D.11.已知f(x)是周期函數(shù)且為偶(奇)函數(shù),求函數(shù)值,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi),把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解.2.函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì),在高考中常將它們綜合命題,解題時(shí),往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性來實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換,再解決相關(guān)問題.訓(xùn)練(多選)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若f(x+4)=f(x)且f(1)=2,則f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*)的值可能為().A.2 B.0 C.2 D.4一、單選題1.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是().A.f(x)=3x B.f(x)=x3C.f(x)=log3x D.f(x)=3x2.已知f(x)=x5+ax3+bx8(a,b是常數(shù)),且f(3)=5,則f(3)=().A.21 B.21C.26 D.263.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,若不等式f(m+2)≥f(12m)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是().A.-∞,-13∪[3,+∞)B.-∞,-13C.[3,+∞)D.(∞,4.(2024·江蘇淮安模擬)“a=1”是“函數(shù)f(x)=log2ax+1x-1是奇函數(shù)”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件二、多選題5.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x),且當(dāng)x∈(2,3)時(shí),f(x)=|2x5|,則下列結(jié)論正確的有().A.函數(shù)f(x)的周期為2B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,0)上單調(diào)遞增C.f(2.5)=0D.f(2023.2)=0.66.(2024·江蘇南通模擬)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),f(1+x)為偶函數(shù),則().A.f(2x)+f(x)=0 B.f(1x)=f(1+x)C.f(x+2)=f(x2) D.f(2023)=0三、填空題7.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ex,則g(x)=.

8.(原創(chuàng))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f34+x=f34-x,f32+x+f32-x=0,當(dāng)x∈[1,1]時(shí),f(x)=2+2-四、解答題9.已知函數(shù)f(x)=x2+(2a)x+4在定義域[b1,b+1]上為偶函數(shù),函數(shù)g(x)=x+(1)判斷g(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(2)若f(3t2)>f(1t),求t的取值范圍.10.已知定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x32x(1)求f(x)的解析式;(2)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t22t)+f(2t2k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.11.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2x)=f(x),且當(dāng)1≤x≤2時(shí),f(x)=x1,則f72的值為()A.52 B.32 C.12 D.12.(2024·江蘇揚(yáng)州模擬)(多選)定義:若存在非零常數(shù)k,T,使得函數(shù)f(x)滿足f(x+T)=f(x)+k對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x恒成立,則稱