2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.7-直線與橢圓、雙曲線【課件】

第八章平面解析幾何第7節(jié)直線與橢圓、雙曲線KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析1將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.解

將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.解

將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).這時(shí)直線l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn).(3)沒(méi)有公共點(diǎn).將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.解

將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，解析法一由于直線y＝kx＋1恒過(guò)點(diǎn)(0，1)，所以點(diǎn)(0，1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，D故m≥1且m≠5.消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由題意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0對(duì)一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對(duì)一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1－5k2恒成立，∴m≥1且m≠5.1解析法一易知此弦所在直線的斜率存在，

∴設(shè)其方程為y－1＝k(x－1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2).角度1中點(diǎn)弦問(wèn)題x＋2y－3＝0消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，即x＋2y－3＝0.∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，法二易知此弦所在直線的斜率存在，∴設(shè)斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，角度2弦長(zhǎng)問(wèn)題解

①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿足條件.②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得k＝±1，所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.解析設(shè)A(2，1)是弦P1P2的中點(diǎn)，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，訓(xùn)練2(1)以A(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線C：2x2－y2＝2的弦所在直線的方程為_(kāi)______________.4x－y－7＝0∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，∴以A(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.∴以A(2，1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為4x－y－7＝0.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，解

由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B(2，0).代入橢圓方程得b2＝1，消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)因直線l與E有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程(*)有不等的兩實(shí)根，故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與E相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外時(shí)，求直線l斜率的取值范圍.解

依題意得，直線l的斜率存在，方程設(shè)為y＝kx－2.因坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4則滿足條件的斜率k的取值范圍為解

假設(shè)存在定點(diǎn)Q.設(shè)定點(diǎn)Q(t，0)，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，∴m2－4≠0，且Δ＝4m2＋12(m2－4)＞0，解得m2＞3且m2≠4.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(xiàn)ENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3解析直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過(guò)定點(diǎn)(1，1)，又點(diǎn)(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交.A因?yàn)檫^(guò)F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，2.已知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為(

)C解析法一設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，AADAC曲線y＝ex－2－1經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)(2，0)，故C正確；聯(lián)立直線和雙曲線C的方程，得Δ＝0，故有一個(gè)公共點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.解析由雙曲線的性質(zhì)知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，則c＝3，雙曲線右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，解析由題意知c＝4，不妨取A(a，b)，所以(a－4)2＋b2＝16，又a2＋b2＝16，∴a＝2，b2＝12，解析根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四邊形PF1QF2為對(duì)角線相等的平行四邊形，所以四邊形PF1QF2為矩形.設(shè)|PF1|＝m，則|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，則|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.8解

因?yàn)橹本€l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F(1，0)，且斜率為1，所以直線l的方程為y＝x－1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(2)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求△POQ的面積；(3)若以O(shè)P，OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程.解

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為x＝1，此時(shí)∠POQ小于90°，以O(shè)P，OQ為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形.當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1).∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，當(dāng)m＝0時(shí)，直線PQ的方程是x＝－2，也符合x(chóng)＝my－2的形式.(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，T為直線x＝－3上一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓于P，Q.當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時(shí)，求四邊形OPTQ的面積.消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2).此時(shí)，四邊形OPTQ的面積解析對(duì)于A，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，|OF1|＝|OF2|，|OA|＝|OB|，故四邊形AF1BF2為平行四邊形.故A正確；ABC解析由雙曲線的定義，知|PF1|－